基于相關(guān)系數(shù)和灰色模型的振蕩序列預(yù)測

田紅麗，李成群，閆會強(qiáng)，陳 昕

(1.河北工業(yè)大學(xué) 人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，天津 300130；2.河北工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院， 天津 300130；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

灰色模型(grey model，GM)在振蕩變化時間序列的預(yù)測研究一直是大家關(guān)注的熱點(diǎn)問題，雖有很多研究成果呈現(xiàn)[1-4]，但預(yù)測結(jié)果仍然不夠理想。預(yù)測結(jié)果或?qū)е虏B(tài)結(jié)果出現(xiàn)，或得到的包絡(luò)、區(qū)間形式，只能給出預(yù)測的大致區(qū)域。此外，現(xiàn)有的灰色模型在預(yù)測建模時，較少利用歷史數(shù)據(jù)或完全舍棄歷史數(shù)據(jù)[5,6]。實際上，隨著數(shù)據(jù)的積累，振蕩序列數(shù)據(jù)中的波動特性存在著一定的相似性。隨著時間周期的積累，振蕩序列也將呈現(xiàn)一定的周期性。

本文嘗試充分利用歷史數(shù)據(jù)信息，針對當(dāng)前預(yù)測數(shù)據(jù)，利用本文提出的殘差相關(guān)系數(shù)，在歷史數(shù)據(jù)中尋找其相似數(shù)據(jù)段，在該相似數(shù)據(jù)段中利用遺傳算法尋優(yōu)得到灰色模型的權(quán)重系數(shù)。然后，利用最優(yōu)權(quán)重系數(shù)灰色模型對當(dāng)前數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，得到的預(yù)測結(jié)果再與歷史數(shù)據(jù)結(jié)合，得到最終的預(yù)測結(jié)果。

1 基本理論

1.1 殘差相關(guān)系數(shù)

文獻(xiàn)[7]提出了一種綜合考慮縱向偏差和橫向殘差的相關(guān)系數(shù)，相比其它相關(guān)系數(shù)可以更好地反映數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性。但是該相關(guān)系數(shù)計算得到的相關(guān)系數(shù)數(shù)值普遍偏大，使得數(shù)據(jù)之間的區(qū)分性不明顯。因此，本文提出一種新的殘差相關(guān)系數(shù)(residual correlation coefficient，RCC)。該相關(guān)系數(shù)考慮了兩個數(shù)據(jù)序列之間的空間距離及每個序列內(nèi)橫向殘差之間的相似度。

給定兩組數(shù)據(jù)X和Y， 它們之間的歐氏距離表示為

(1)

式中： T為轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。

則二者之間的空間距離度量表示為

D(X,Y)=exp(-Δ(X,Y))

(2)

在式(2)中，利用指數(shù)運(yùn)算可保證X和Y之間的距離呈現(xiàn)平穩(wěn)過渡趨勢，且0

在單一數(shù)據(jù)序列內(nèi)，殘差定義為

(3)

(4)

因此，可以得到殘差相關(guān)系數(shù)表示為

(5)

所以， 0

1.2 灰色預(yù)測模型

灰色預(yù)測模型是灰色系統(tǒng)理論的核心和基礎(chǔ)，是一種客觀的基于不確定性描述的預(yù)測模型。該模型巧妙地運(yùn)用累加累減計算而放寬了對數(shù)據(jù)的苛刻要求，即該模型無需大量歷史數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性特征即可實現(xiàn)快速的中短期預(yù)測。但是，該模型及推廣模型也普遍存在以下不足：①預(yù)測精度對模型參數(shù)選取比較敏感；②振蕩數(shù)據(jù)的預(yù)測效果不理想。這也是本文主要解決的兩個重點(diǎn)問題。

最常用的灰色預(yù)測模型為GM(1，1)模型。建立GM(1，1) 模型的基本流程和方法如下：給定X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(t),…,x(0)(n)} 為一個時間序列模型，t=1,2,…,n，n稱為歷史數(shù)據(jù)維度。對其元素迭代累加后得到累加序列

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(T),…,x(1)(n)}

(6)

由此得到緊鄰加權(quán)值生成序列為

z(1)={z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)}

(7)

式中：z(1)(k)=μx(1)(t-1)+(1-μ)x(1)(t)，t≥2，μ為緊鄰權(quán)重系數(shù)， 1>μ>0。

建立白化微分方程

x(0)(t)+az(1)(t)=u

(8)

式中：a為發(fā)展系數(shù)，代表數(shù)據(jù)的發(fā)展態(tài)勢；u為灰作用量，代表數(shù)據(jù)的不確定性。兩個參數(shù)可按最小二乘法進(jìn)行辨識獲取

(9)

式中

(10)

(11)

(12)

則可解得離散時間響應(yīng)函數(shù)為

(13)

然后利用累減運(yùn)算求解預(yù)測結(jié)果為

x(0)(t+1)=x(1)(T+1)-x(1)(T)

(14)

2 組合預(yù)測模型

在最相似歷史數(shù)據(jù)段Xh中，根據(jù)歷史預(yù)測結(jié)果，以最小相對誤差為目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法尋找最佳的緊鄰權(quán)重系數(shù)μ。

相對誤差公式為

(15)

結(jié)合歷史預(yù)測結(jié)果和當(dāng)前預(yù)測結(jié)果，則可以得到最終的預(yù)測結(jié)果表示為

(16)

因此，可設(shè)計基于遺傳算法尋優(yōu)的組合預(yù)測模型一般過程如下：

步驟1 截取當(dāng)前預(yù)測所需的訓(xùn)練數(shù)據(jù)序列Xc；

步驟2 在所有歷史數(shù)據(jù)序列XA中，遍歷計算每個等長序列與Xc的相關(guān)系數(shù)，找到具有最大相關(guān)系數(shù)的歷史序列段Xh；

步驟3 在歷史數(shù)據(jù)段Xh中，對緊鄰權(quán)重系數(shù)μ通過選擇、交叉、變異操作，在最大進(jìn)化代數(shù)范圍內(nèi)找到使得相對誤差最小的緊鄰權(quán)重系數(shù)；

步驟4 利用最優(yōu)緊鄰權(quán)重系數(shù)對當(dāng)前數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)測，包括累加序列生成、緊鄰生成、白化微分方程參數(shù)求解、方程求解和累減運(yùn)算輸出結(jié)果；

步驟5 根據(jù)式(16)得到最終的預(yù)測結(jié)果。

3 數(shù)值實驗

3.1 數(shù)據(jù)來源及實驗設(shè)定

為驗證本文所提模型的有效性，選取美國天然氣數(shù)據(jù)作為研究對象，截取2010年1月1日至2018年11月30日期間每周的天然氣價格，單位為美元/Btu(British Thermal Unit)。原始數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 天然氣價格原始走勢

通過圖1可以看出，所使用的天然氣數(shù)據(jù)序列為典型的振蕩數(shù)據(jù)。

對比實驗包括兩部分，第一部分為殘差相關(guān)系數(shù)的驗證實驗，第二部分為預(yù)測驗證實驗。在殘差相關(guān)系數(shù)驗證實驗中，對比的相關(guān)系數(shù)包括余弦相似度(cosine similarity，CS)、廣義雅可比相關(guān)系數(shù)(generalized Jaccarb coef-ficient，GJC)、皮爾遜相關(guān)系數(shù)(Pearson correlation coef-ficient，PCC)和橫向殘差與縱向相關(guān)系數(shù)(longitudinal and transverse correlation coefficient，LTCC)[7]。在預(yù)測驗證中，選取的對比方法包括向前滾動灰色模型(forward rolling grey model，F(xiàn)RGM)[8]、新陳代謝灰色模型(metabolism grey model，MGM)[9]和改進(jìn)灰色模型(revised grey model，RGM)[10]。其中，本文簡記為GARGM(genetic algorithm based residual grey model)。

在本文的組合預(yù)測模型中，初始?xì)v史數(shù)據(jù)個數(shù)為60，當(dāng)前歷史數(shù)據(jù)個數(shù)n為10，遺傳算法進(jìn)化代數(shù)為100，初始種群數(shù)為100，二進(jìn)制編碼長度為10，交叉概率為0.6，變異概率為0.001，緊鄰權(quán)重系數(shù)變化范圍為0<μ<1。

3.2 對比實驗與結(jié)果分析

3.2.1 相關(guān)系數(shù)對比實驗

在本部分實驗中，同樣選取文獻(xiàn)[7]中所用的人工數(shù)據(jù)作為測試對象，其分布如圖2所示。

圖2 人工數(shù)據(jù)走勢

在計算相關(guān)系數(shù)時，以x1為參考基準(zhǔn)，分別計算序列x2至x7與x1的相關(guān)系數(shù)?？梢缘玫礁鞣N方法的相關(guān)系數(shù)結(jié)果見表1。

表1 相似灰色模型預(yù)測結(jié)果

3.2.2 預(yù)測對比實驗

各種對比方法得到的預(yù)測結(jié)果如圖3-圖6所示，所得的平均相對誤差見表2。

圖3 FRGM預(yù)測結(jié)果

圖4 MGM預(yù)測結(jié)果

圖5 RGM預(yù)測結(jié)果

圖3-圖6的預(yù)測結(jié)果表明，向前滾動灰色預(yù)測模型由于不恰當(dāng)?shù)厥褂昧藲v史數(shù)據(jù)，導(dǎo)致其預(yù)測結(jié)果只能大致跟蹤數(shù)據(jù)的走勢，但無法實現(xiàn)較為精準(zhǔn)的預(yù)測；新陳代謝灰色模型通過舍棄歷史數(shù)據(jù)對新數(shù)據(jù)進(jìn)行更新，而得到了相對較好的趨勢保持結(jié)果；改進(jìn)的灰色模型，通過在歷史數(shù)

圖6 GARGM預(yù)測結(jié)果

FRGMMGMRGMGARGM平均相對誤差18.182110.64115.10814.5900

據(jù)中尋找較優(yōu)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)維度，而實現(xiàn)了較好的預(yù)測效果；而圖6中本文所提方法則通過合理地利用歷史數(shù)據(jù)信息，使得預(yù)測結(jié)果與真實結(jié)果具有更好的貼合效果。表2中的平均相對誤差結(jié)果再次驗證了上述分析結(jié)果。

4 結(jié)束語

針對灰色模型在振蕩序列中預(yù)測的不足，提出一種基于殘差相關(guān)系數(shù)和灰色模型組合的預(yù)測方法。首先，根據(jù)時間序列特點(diǎn)，提出殘差相關(guān)系數(shù)。然后，將殘差相關(guān)系數(shù)和灰色模型結(jié)合，利用遺傳算法對灰色模型參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。最后，得到一種加權(quán)預(yù)測結(jié)果?；谌斯?shù)據(jù)的對比實驗結(jié)果表明，殘差相關(guān)系數(shù)更符合人們的自然認(rèn)知，更適用于時間序列間的相似關(guān)系計算?；谔烊粴鈨r格預(yù)測的對比實驗結(jié)果表明，本文所提的組合預(yù)測方法預(yù)測精度更高，適用于振蕩序列的預(yù)測。