論張敦仁《求一算術(shù)》的當(dāng)代社會(huì)價(jià)值*

楊玲霞,楊小明

(東華大學(xué) 人文學(xué)院,上海 200052)

清代數(shù)學(xué)家張敦仁的《求一算術(shù)》作為一本在前人理論基礎(chǔ)之上的研究性數(shù)學(xué)著作,從術(shù)文的解讀、計(jì)算方法的深度推敲以及在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用等多個(gè)方面的詮釋,讓“大衍求一術(shù)”這朵奇葩在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域再次綻放光彩.一方面,《求一算術(shù)》融入了很多先進(jìn)的研究理念和詮釋方法,對(duì)后人整理與研究數(shù)學(xué)古籍可以提供有價(jià)值的實(shí)施方法;另一方面,《求一算術(shù)》所囊括的許多傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的算法、數(shù)理和運(yùn)用依然遍布于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角角落落,譬如輾轉(zhuǎn)相除、一次同余式組、推算上元積年以及日月之行程等問題,這無疑將會(huì)成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)相互交融的歷史津梁.

1 與現(xiàn)代科技的契合

說到中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué),其核心思想便是算法,亦即算法的改進(jìn)和拓廣是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的核心內(nèi)容.張敦仁《求一算術(shù)》的算法體系依然是以算籌為工具,通過籌算來表達(dá)各種數(shù)學(xué)關(guān)系和建立各種基本模型,如在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中所呈現(xiàn)的連環(huán)求等算法、更相減損算法等.這些算法的共性便是均具有中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的構(gòu)造性和機(jī)械化的特點(diǎn).正是這些機(jī)械化算法體系的不斷改進(jìn)和提高,把中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)體系有機(jī)地結(jié)合起來.通常認(rèn)為古代算籌相當(dāng)于現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)的一種“硬件”,而把算法當(dāng)作一種“軟件”,這樣就可以將其比作計(jì)算機(jī)的程序設(shè)計(jì).[1]

《求一算術(shù)》無論從化問數(shù)為定數(shù)、求乘率,還是一次同余式組等一系列內(nèi)容無不呈現(xiàn)出程序化的特征,也就是說,它們各自都是一種純機(jī)械化的算法.張敦仁將這些內(nèi)容所依據(jù)的原理和設(shè)計(jì)的理念構(gòu)思巧妙地體現(xiàn)在其算法程序中,即中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的定理和演算程序都是以“術(shù)”的形式出現(xiàn),按照術(shù)的步驟解題,并且所有的數(shù)學(xué)都有計(jì)算程序.熟悉計(jì)算機(jī)的人不難看出,這些算法稍加修飾便可以轉(zhuǎn)化為我們所熟知的C語(yǔ)言,甚至編成相應(yīng)的程序應(yīng)用到計(jì)算機(jī)信息行業(yè),這無疑對(duì)秦九韶“大衍求一術(shù)”廣泛示人和進(jìn)一步深入研究是一個(gè)很好的契機(jī).

2 傳統(tǒng)與現(xiàn)代的相互交融

同余式可以說是初等數(shù)論中非常重要的一部分內(nèi)容.在初等數(shù)論中,針對(duì)一次同余(組)的解法依然是一個(gè)比較熱門的話題以及考究的熱點(diǎn),盡管有關(guān)一次同余式的解法層出不窮,比如代入法、變換系數(shù)法、變換模數(shù)法,即孫子定理、系數(shù)不一定是一的情形、模數(shù)非兩兩互素的情形等,但是仔細(xì)觀察與深究,基本上與張敦仁《求一算術(shù)》有關(guān)一次同余式的解法雷同或相似,有些甚至是在此基礎(chǔ)上所做的改進(jìn)和突破,唯一不同就在于求解一次同余式組之前需要根據(jù)解與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)一步判斷解的情況.

另外,張敦仁《求一算術(shù)》求“乘率”比秦九韶求“乘率”更具條理性與規(guī)則性.整個(gè)“布籌”看起來類似于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“列表格”,這個(gè)“表格”共兩“列”,從上到下同行依次左右相乘加上上一行右列數(shù)所得結(jié)果作為下一行右列數(shù),反復(fù)疊加,一直到最后一行所得結(jié)果即為“乘率”,其過程更像現(xiàn)代數(shù)學(xué)中按照一定的運(yùn)算法則所進(jìn)行的表格運(yùn)算.基于這一點(diǎn),可以認(rèn)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的表格運(yùn)算在張敦仁《求一算術(shù)》已初現(xiàn)雛形.

同時(shí),中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)缺乏系統(tǒng)且嚴(yán)格的推理和求真過程(不過,術(shù)文和細(xì)草用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)方法去推理證明大部分也都是正確的),所以其求解過程一般都比較簡(jiǎn)略和草率.但張敦仁《求一算術(shù)》在中卷和下卷應(yīng)用題的求解過程相較之前有明顯的改觀,語(yǔ)句雖然仍是文言文,但是“白話”了很多,讓人讀起來沒有那么拗口,這樣理解起來也會(huì)更加輕松.因?yàn)榻忸}過程相較之前更加詳細(xì)與完整,并且其中增添了許多必要的解釋與說明,所以張敦仁《求一算術(shù)》無論從求解過程還是文字梳理都在逐步地靠近近現(xiàn)代數(shù)學(xué).故其在中國(guó)數(shù)學(xué)史上起到了承上啟下的功能.

3 研究與整理數(shù)學(xué)古籍的引領(lǐng)者

中國(guó)數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長(zhǎng),大致可以分為兩個(gè)階段:第一個(gè)階段為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué);第二階段為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)(與世界數(shù)學(xué)接軌).曾經(jīng)在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史上誕生了很多的數(shù)學(xué)著作,其中不斷記錄著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展軌跡.但是部分由于保存不善、善本本身流傳比較稀少等問題,導(dǎo)致很多的數(shù)學(xué)古籍中間失傳甚至絕跡,其數(shù)學(xué)價(jià)值被淹沒.另外,在中國(guó)數(shù)學(xué)史上傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形成了以籌算為主體的一個(gè)斷崖式的發(fā)展過程,即在宋朝和元朝的前半期,接連涌現(xiàn)出如賈憲、沈括、秦九韶、李冶、楊輝、郭守敬、朱世杰等當(dāng)時(shí)世界上第一流的數(shù)學(xué)家,他們的數(shù)學(xué)成就在當(dāng)時(shí)世界上是處于遙遙領(lǐng)先的地位.但是明末清初隨著傳教士傳入西方數(shù)學(xué),嚴(yán)重地影響了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展速度,尤其之后因?yàn)槟承┰蚴沟弥袊?guó)古代數(shù)學(xué)再次遭受重創(chuàng),這樣導(dǎo)致傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展被迫中斷,之后就是近現(xiàn)代數(shù)學(xué).在整個(gè)發(fā)展過程中每種數(shù)學(xué)類型都是獨(dú)立的個(gè)體,因此后人要想深入了解傳統(tǒng)數(shù)學(xué)只能依賴于古籍、文獻(xiàn)、善本,一旦中間失傳、遺失,對(duì)于研究者和復(fù)原者將會(huì)是毀滅性的打擊,故對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)研究、整理與保護(hù)迫在眉睫.張敦仁《求一算術(shù)》作為一本研究與整理性數(shù)學(xué)著作在很多方面可以提供科學(xué)性的建議和指導(dǎo).

3.1 有針對(duì)性、選擇性地搜集與保護(hù)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)

明萬歷年間,王應(yīng)麟自文淵閣中抄出,趙琦美再轉(zhuǎn)錄,書名為《數(shù)書九章》.張敦仁于李潢家得趙琦美抄本,與李銳日夕討論,最終簡(jiǎn)化、改進(jìn)了晦澀難懂的“大衍求一術(shù)”,著成《求一算術(shù)》三卷,為后人研習(xí)“大衍求一術(shù)”提供了依據(jù).

眾所周知,數(shù)學(xué)文化的傳承需要以古籍文獻(xiàn)及史料為依托.由于數(shù)學(xué)文獻(xiàn)自身利用周期較長(zhǎng),使得數(shù)學(xué)學(xué)者的研究活動(dòng)對(duì)原始文獻(xiàn)的依賴性增強(qiáng),因此保護(hù)、研究數(shù)學(xué)古籍以及保存數(shù)學(xué)善本尤為重要.同時(shí),在進(jìn)行文獻(xiàn)搜集整理的過程中需要知道善本所處的年代及重要性、前人對(duì)此研究的進(jìn)展如何、研究?jī)r(jià)值如何等一系列問題.由于有的善本流傳的數(shù)量比較多,時(shí)間比較久遠(yuǎn),因此在搜集的過程中需要仔細(xì)甄別;有的本身流傳的數(shù)量就比較少,并且又由于某些原因中間中斷遺失或者殘缺不全,此時(shí)還需要溯本求源、搜集信息進(jìn)行有效的復(fù)原.所以,在搜集、尋求數(shù)學(xué)文獻(xiàn)及善本的過程中更要注重保護(hù).首先,要對(duì)殘缺遺失文獻(xiàn)給予針對(duì)性和科學(xué)性的復(fù)原工作.其次,對(duì)于完整的重要數(shù)學(xué)文獻(xiàn)要進(jìn)行歸檔甚至數(shù)字化處理.最后,對(duì)于散落“民間”的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)要注重對(duì)其進(jìn)行梳理歸整甚至編纂,最終還要進(jìn)行必要的數(shù)字化處理.

3.2 團(tuán)隊(duì)合作和自我突破相結(jié)合

張敦仁的《求一算術(shù)》嚴(yán)格來說是在李銳等眾人的協(xié)助下共同完成的,其中加進(jìn)去了一些自己的理解和進(jìn)一步的闡釋.這本書的成功之處就在于在“大衍求一術(shù)”理論基礎(chǔ)上增添了一些自己的創(chuàng)新點(diǎn).中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)曾經(jīng)也取得了一些輝煌的成就,比如“天元術(shù)”“大衍求一術(shù)”“正負(fù)開方術(shù)”“四元術(shù)”等,由于受當(dāng)時(shí)條件、環(huán)境等客觀條件的限制,相當(dāng)一部分“數(shù)術(shù)”和“細(xì)草”缺乏嚴(yán)格的推理和證明.雖然大部分內(nèi)容后來經(jīng)過驗(yàn)證之后都是正確的,但是還是會(huì)有一些瑕疵和不完美的地方.后人在研究和整理的過程中需要牢牢把握“取其精華,棄其糟粕”的核心內(nèi)容,張敦仁《求一算術(shù)》在研究數(shù)學(xué)古籍方面就提供了可參考的方法和建議.

由于數(shù)學(xué)古籍和善本利用周期比較長(zhǎng),跨越年代比較久遠(yuǎn),所以在研究與整理古籍的時(shí)候更需要一個(gè)“專業(yè)團(tuán)隊(duì)”.如李銳等人當(dāng)時(shí)是張敦仁的“幕僚”,甚至是“志同道合的戰(zhàn)友”,這樣可以聚力有甄別性、選擇性地進(jìn)行文獻(xiàn)的搜集和梳理;找準(zhǔn)突破口有針對(duì)性地進(jìn)行研究和篩選;集中精力不斷輸入新的有效信息進(jìn)行全面分析和總結(jié);得出有效結(jié)論;逐個(gè)排查尋求新的研究對(duì)象;結(jié)合與之相關(guān)的文獻(xiàn)善本找出與其迥異的有價(jià)值的東西.當(dāng)然,除了需要一個(gè)“專業(yè)團(tuán)隊(duì)”作為輔助以外,還需要在研究和整理的過程中不斷突破自我,對(duì)之前的研究成果要有進(jìn)一步質(zhì)疑甚至推翻的態(tài)度;更重要的是在了解傳統(tǒng)數(shù)學(xué)運(yùn)理和數(shù)理的情況下,要不斷地?cái)U(kuò)大自己的認(rèn)知視角以及科學(xué)地切換自己的聚焦點(diǎn),以便對(duì)文獻(xiàn)善本做全面地了解和熟知,進(jìn)而找到新的創(chuàng)新點(diǎn).

3.3 在實(shí)際應(yīng)用中不斷改進(jìn)算法

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)具有濃郁的應(yīng)用色彩,因此中國(guó)古代相當(dāng)多的數(shù)學(xué)著作都與社會(huì)生活和實(shí)際生產(chǎn)密切相關(guān),其重心是以解決實(shí)際問題為目標(biāo).數(shù)學(xué)研究主要圍繞建立算法與提高計(jì)算技術(shù)而展開.《求一算術(shù)》中卷4道應(yīng)用題和下卷5道應(yīng)用題的整個(gè)解題過程就充分印證了這一點(diǎn).張敦仁一方面把已研究、整理的理論深入到實(shí)際生活中,另一方面在解題的過程中也在不斷地摸索、完善和改進(jìn)解題的方法和技巧,比如求上元積年、一次同余式等等.從這個(gè)角度來分析,中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不光重視應(yīng)用,而且更注重應(yīng)用中的“新算法”.只有如此,才能不斷地完善和彌補(bǔ)籌算中的缺憾,進(jìn)而讓其更好地服務(wù)于生活,應(yīng)用于生活.

4 結(jié)語(yǔ)

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會(huì)中有許多出人意料的應(yīng)用,在許多場(chǎng)合,它已經(jīng)不再單純是一種輔助性的工具或“佐料”,而是成為解決許多重大問題的關(guān)鍵性的思想和方法.由此產(chǎn)生了許多有價(jià)值的成果,同時(shí)極大地改變了我們的生活方式,因此可以說,社會(huì)公眾現(xiàn)已生活在“傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)相互交融”的新文化時(shí)代.張敦仁是清代第一個(gè)挖掘整理南宋數(shù)學(xué)家秦九韶《數(shù)學(xué)九章》中所記載的“大衍求一術(shù)”的研究者,其與現(xiàn)代的一次同余式理論相似,與歷算家計(jì)算歷法所用的“上元積年”方法等都有著密切關(guān)系,甚至在現(xiàn)代社會(huì)中俱得以廣泛的應(yīng)用,無論是其算法還是思想在科技領(lǐng)域和社會(huì)發(fā)展方面都起著至關(guān)重要的作用.有言道:中國(guó)的第一顆原子彈是算出來的,日月軌道、衛(wèi)星的上天、神舟遨游太空,同樣也是精心模擬計(jì)算出來的,而這些都有著中國(guó)傳統(tǒng)科技?xì)v史包括張敦仁《求一算術(shù)》的元素.可以說:“衛(wèi)星上天,神舟遨游太空等等當(dāng)今最前沿的科技,也有清朝張敦仁之功勞,絲毫不為過分.”[2]