耦合矩陣故障條件下非線性復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

翟春艷，孟祥雪，王國良

（遼寧石油化工大學信息與控制工程學院，遼寧撫順113001）

隨著時代不斷的進步與發(fā)展，很多事情都可以運用復雜網(wǎng)絡進行處理[1-3]。生活中的網(wǎng)絡通常指的是互聯(lián)網(wǎng)、通信網(wǎng)和人際網(wǎng)等。本文所研究的復雜網(wǎng)絡與上述提到的是截然不同的，是指具有高度復雜性的網(wǎng)絡。20世紀80年代，復雜性科學理念被提出，在復雜系統(tǒng)中不能用簡單的方式去解決問題，并且部分系統(tǒng)還具有自適應性和不確定性等因素。其復雜性可以從以下幾方面進行解釋：系統(tǒng)結構的復雜性、網(wǎng)絡節(jié)點的進化度、節(jié)點之間連接的多樣性和多種復雜網(wǎng)絡之間的相融合。復雜網(wǎng)絡有同步控制[4-7]、結構控制[8-9]、牽制控制[10-11]、自適應控制[12-13]等多種控制方式。一般情況下，經(jīng)驗證穩(wěn)定的復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)才能被應用到實際的工程中。復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指在一個正常運轉的網(wǎng)絡系統(tǒng)中，當系統(tǒng)受到非人為干擾的情況后，本身可以恢復到穩(wěn)定的過程。通常使用李雅普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性理論[14-17]判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

本文以具有非線性的復雜網(wǎng)絡[18]系統(tǒng)作為研究對象，運用Lyapunov穩(wěn)定性理論的方法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。研究過程中考慮了復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的時間節(jié)點、拓撲結構[19-21]和矩陣耦合性等因素，為了在研究過程中減小運算過程的復雜程度，將系統(tǒng)模型轉化為Kronecker積的形式進行等價描述。針對子系統(tǒng)的切換時刻，提出將其轉化為離散化形式的方法，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。最后通過仿真算例進一步驗證提出方法的有效性。

1 非線性系統(tǒng)問題描述

考慮由如下N個非線性節(jié)點組成的復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)為：

令G=(gij)N×N是的和，表示復雜網(wǎng)絡耦合矩陣，代表復雜網(wǎng)絡的拓撲結構。特別地，系統(tǒng)（1）的時間端點定義為：

（1）在區(qū)間[t2n,t2n+1)的駐留時間τ=t2n+1-t2n,n∈N；

（2）在區(qū)間[t2n+1,t2n+2)的駐留時間φ=t2n+2-t2n+1,n∈N。

定義α(t)為：

變量α(t)表示網(wǎng)絡中的關聯(lián)存在與否，并可以將系統(tǒng)（1）統(tǒng)一表示為：

基于Kronecker積，式（3）等價于：

假設1存在大于零的常數(shù)ρ，系統(tǒng)（4）中的非線性滿足：

定義1設系統(tǒng)（4）漸近穩(wěn)定，如果系統(tǒng)（4）的解滿足：

引理1對于任意矩陣有：

2 主要結果

定理1在假設1條件下，稱非線性復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)（1）是漸近穩(wěn)定的，如果對給定的參數(shù)ωˉi＞ 0、-ωi＞ 0,i=1,2，存在矩陣Pi＞ 0，i=1,2且滿足：

式中，*為任意矩陣。

其中，、ˉ與α、β分別針對矩(ΙN?A+G?Ιn)與(ΙN?A)滿足引理 1。

證明針對系統(tǒng)（4）定義Lyapunov函數(shù)為：

式（13）可以改寫為：

對式（14）進行求導得：

當t∈ [t2n,t2n+1)時，α(t)=1，根據(jù)Schur補引理和條件（8）有：

同理，當t∈[t2n+1,t2n+2)，α(t)=0，根據(jù)Schur補引理和條件（9）有：

由此可知上述子系統(tǒng)的能量函數(shù)V(t)=xT(t)Pσ(t)x(t)在[t2n,t2n+1)和[t2n+1,t2n+2)區(qū)間內(nèi)分別單調(diào)遞減。當t∈[t2n,t2n+1)時，即α(t)=1，系統(tǒng)（4）變?yōu)椋?/p>

其解為：

特別地，當t=t2n+1時有：

將式（20）簡記為：

同理，當t∈[t2n+1,t2n+2

)時，即α(t)=0，系統(tǒng)（4）可以表示為：

相應解為：

其中，當t=t2n+2時根據(jù)式（23）得：

簡記為：

根據(jù)式（21）和式（25）得：

對上述系統(tǒng)定義如下Lyapunov函數(shù)：

從而

當k=2n時，τ=t2n+1-t2n,n∈N，有：

基于條件（12），其中交叉項處理為：

因此，

當k=2n+1時，φ=t2n+2-t2n+1,n∈N，可得：

同理，其中的交叉項處理為：

因此，

根據(jù)式（30）和式（32）得：

基于非線性節(jié)點組成的復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)式（5），在非線性項等于零時，線性復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)為：

基于Kronecker積式（35）等價于：

推論1線性復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)（35）漸近穩(wěn)定，如果對給定的參數(shù)ωˉi＞ 0、-ωi＞ 0，i=1,2，存在矩陣Pi＞0,i=1,2且滿足：

以上條件的線性復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)穩(wěn)定，其中式（39）和式（40）中τ=t2n+1-t2n,n∈N，φ=t2n+2-t2n+1,n∈N。

3 仿真案例

為方便研究，考慮5個節(jié)點的復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)，根據(jù)式（1）將系統(tǒng)矩陣A和網(wǎng)絡耦合矩陣G的參數(shù)分別描述為：

根據(jù)引理1，計算得β=2.458 2和α=-3.256 7，其中根據(jù)式（5）進行計算得ρ=0.16。系統(tǒng)狀態(tài)x(t)的響應曲線的仿真結果如圖1所示。仿真結果表明，復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x(t)的響應曲線的仿真結果

復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)α(t)的響應曲線的仿真結果如圖2所示。其中，τ=1、φ=1。從圖2可以看出，α(t)在奇數(shù)區(qū)間為1，偶數(shù)區(qū)間為0。

圖2 復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)α(t)的響應曲線的仿真結果

4 結 論

研究了非線性復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，在大規(guī)模復雜網(wǎng)絡中通過設計不同節(jié)點組成的網(wǎng)路耦合矩陣解決其網(wǎng)絡問題。針對非線性的復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)，選取合適的Lyapunov函數(shù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并進行嚴謹?shù)倪\算，得到了非線性復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件,并且將該方法推廣到線性復雜網(wǎng)絡的穩(wěn)定性分析中。最后通過數(shù)值例子進行仿真，進一步驗證了所提出方法的適用性和有效性。