以能力為導向的大學數學思想方法的教學研究

侯江霞 劉德民

摘? 要：文章討論了在大學數學課程教學中的若干思想方法與能力培養(yǎng)方面的問題。首先探討了大學數學課程教學中的三種思想方法：逼近的思想與方法，由簡入繁思想方法和化繁為簡的思想與方法;再次討論了五種基本能力的培養(yǎng)：具體問題數學化的能力、定性描述與定量表述的能力、數學對象具體化的能力、數學理論應用推廣的能力及數學語言的使用能力。

關鍵詞：大學數學;數學思想和方法;數學能力

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）07-0114-04

Abstract： In this paper， we talk about some methods of mathematical thoughts and the development of mathematical abilities. The approximation idea， the methods from simple to complicate and from complicated to simple are three methods on teaching advanced mathematics. The abilities of transforming concrete problems to mathematical problems， qualitative description and quantitative description， make the pure mathematical object to special problems， application of mathematical theory and mathematical notation.

Keywords： Advanced Mathematics; methods of mathematical thoughts; Mathematical abilities

引言

眾所周知，現代高等教育的四大職能是教育教學、科學研究、服務社會和文化傳承，而促進人的全面發(fā)展是高等教育的終極目的。在現代高等教育的實施過程中，也即人才的培養(yǎng)過程中，尤其是理工科人才的培養(yǎng)方面，數學知識與理論的教學是重中之重。正如李大潛院士所述[1]：“數學是一種科學的語言和工具，是眾多科學與技術的基礎，而且是一門博大精深的科學，更是一種先進的文化，在人類認識世界和改造世界的過程中一直發(fā)揮著重要的作用與影響。”數學教育和學習的目的正是通過數學的學習，理解數學的重要性，領會到數學的精神實質和思想方法，提高并具備將數學應用于解決實際問題的能力。

大學階段的理工科數學教學主要以高等數學、線性代數為基礎，結合工程數學及復變函數等內容而展開;文科專業(yè)主要以一元函數微積分和概率統(tǒng)計初步知識為基礎進行講授。在具體的課程學習階段，由于課程內容、師資力量與教學水平、學生人數與數學基礎、以及教學軟、硬件設施等多方面的原因，使得大學數學課程的教學并不總能收到滿意的效果。甚至于很多大學生僅能做到會求導數、會算積分、會求解簡單的常微分方程等簡單的操作，不理解數學的思想與方法，更不能在其它課程與學科的學習中起到促進作用。因此，大學數學課程的有效講授與學習至關重要，尤其是高等數學課程的教學。

一、三種重要的數學思想與方法

作為數學學科的教育與科研工作者，我們深切的體會到數學課程的思想與方法的重要性，一旦領會了思想與方法，便能舉一反三，融會貫通。結合多年的教學實踐，這里首先談一談高等數學課程教學中的三點思想與方法，即逼近的思想與方法、由簡入繁的思想與方法，以及化繁為簡的思想與方法。

（一）逼近的思想與方法

“逼近”，簡單的說就是逐步靠近，包含近似與逐步細化兩個內容，它既是解決問題的思想之一，也是解決問題的方法之一。“逼近”可以起到化抽象為具體、化繁為簡、化難為易等作用，它可以有效的促進人腦對抽象知識的理解和推廣，提高人的認知能力。

縱觀數學課程的內容，可以發(fā)現逼近無處不在，甚至可以毫不夸張的說，沒有逼近就沒有現代微積分理論及其發(fā)展應用。尤其在大學數學課程的內容中，以下幾類逼近思想與方法尤為突出[2]。

1. 以直代曲（或以平代曲），即以平直的線（或者曲面）代替曲線（或曲面）。

例如，小學時學習圓面積的計算公式S=？仔r2，其求法可如圖1所示。將圓的面積歸結為若干個扇形面積的和，進一步利用直邊三角形代替扇形得到每個扇形的近似面積，通過對圓弧的進一步細分，得到圓面積的公式。這里用到了最簡單的逼近“以直代曲”，該方法在大學數學課程中比比皆是。例如，再求曲線的弧長（如圖2），曲線所圍圖形的面積（如圖3），曲頂六面體的體積（如圖4）等等。

2. 以勻代變，即以均勻的量代替變化的量。

例如在學習變力（x，y）沿著由點A至點B的曲線l做功時，如圖5所示，通常是先將曲線l劃分為很多段（以直代曲），在適當的假設下可以認為在每一段上力（x，y）的變化不大，從而可以某一點的力（？孜，？濁）作為該段上力

（x，y）的近似值（以勻代變）。例如沿著弧? ?所做的功近似等于（？孜，？濁）。

3. 以熟代生，即以熟悉的數學形式代替陌生的數學形式。

例如，無窮小量的等價替換。簡單的線性函數x及冪函數xi，i=2，3，...，的表達形式及幾何直觀是大家熟知的，從而當x→0時，通過無窮小等價替換可以得到sinx～x，tanx～x，cosx～1-x2，～1x等，利用這些關系可以更好地了解這些函數的局部性質。又如指數函數ex和多項式函數是學生所熟悉的。雖然求ex的函數值是困難的，但是學習了泰勒展式之后，知道ex可以用熟悉的多項式函數來近似，ex=1+x++…++…，x∈（-∞，+∞），困難的問題也會變得容易解決了。

（二）由簡入繁的思想與方法

“由簡入繁”即由簡單的數學對象過渡到復雜的數學對象;或由簡單的數學理論過渡到復雜的數學理論;或由一個數學分支過渡到另外的數學分支等?！坝珊喨敕薄蓖瑯蛹仁茄芯繂栴}的思想之一，也是研究問題的方法之一?！坝珊喨敕彼枷肱c方法”可以建立良好的知識架構和思維規(guī)律，并形成完備的知識體系。

結合大學數學課程的內容，我們可以看到很多“由簡入繁”的例子。例如，在高等數學教學內容的安排上，由一元函數的極限、連續(xù)、導數，微分、積分等過渡到多元函數的相應內容;由數列、函數到數項級數、函數項級數、冪級數、三角級數等;由點、向量、直線、平面到曲線、曲面、體等;由數量函數到向量函數、場論等。

在學習無窮級數時，已知有限項的和比較容易，對于級數這類無窮多項和的數學對象就變的困難多。將級數求和轉化為部分和序列的極限問題，即先求有限項的和，再求這有限項和的極限。部分和序列有極限，則級數收斂，此時通常可以用一個解析的關系表達級數的和。相對于級數的復雜形式，級數和的解析形式就簡單很多，如

（三）化繁為簡的思想與方法

“化繁為簡”是將待解決問題逐步劃分為幾個或一系列簡單的問題加以解決的思想和方法。“化繁為簡”是一個將問題拆分、知識點逐步細化、知識點綜合應用、知識點相互關聯形成系統(tǒng)的一個過程和方法。通過“化繁為簡”可以有效地促進把握知識點、加深對知識點間內部關聯、構建一個系統(tǒng)的知識體系及解決大問題的能力。

“化繁為簡”通常包含細化知識點和綜合知識點的兩個過程。例如，要研究一個函數f（x）在區(qū)間（a，b]上的連續(xù)性。首先來進行知識點的逐步細化。利用函數在一個區(qū)間連續(xù)的定義，則對函數f（x）在區(qū)間（a，b]上的連續(xù)性研究轉化為函數f（x）在區(qū)間（a，b]內任一點x的連續(xù)性問題，進一步轉化為研究函數f（x）該點x處的左連續(xù)、右連續(xù)及函數在該點的取值問題，再進一步轉化為函數f（x）在該點x處的左極限、右極限及函數定義的問題。再次來看知識點的綜合應用。通過上述細化過程，發(fā)現如果能夠知道函數

f（x）在任一點x∈（a，b）處的左極限、右極限、函數的定義，以及f（x）在區(qū)間左端點a處的右極限及定義、f（x）在區(qū)間右端點b處的左極限和定義，則函數f（x）在區(qū)間（a，b]上的連續(xù)性就得到解決。

二、五種能力的培養(yǎng)

以上我們討論了高等數學課程教學中的三種重要思想與方法，接下來談一談在教學中五種能力的培養(yǎng)。

（一）具體問題數學化的能力

具體問題數學化簡單的講就是將生產實踐中的具體問題用數學的形式表達出來。通常需要人為的引入相關的變量、函數、限定條件，建立相應的圖表、公式、表達式等，將已知的量、條件與未知的量等用特定的數字數學符號表達出來。

例如，《莊子·天下》記錄了莊子的好朋友、名家人物惠施的命題之“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”， 其含義是：一尺長的桿，每天截去它的一半，千秋萬代也截不完。數學上我們來看怎么解釋，假設桿的長度為1個標準單位，通過引入變量n代表第n天，以及an表示第n天所取的桿的長度，則容易得到，

所以命題是在說

按照等比級數的求和，上述關系顯然是正確的，從而惠施的命題是成立的。

（二）定性描述與定量演繹的能力

以定量代替定性，即以一個確定的量的關系去表達一個性質。

例如函數f（x）在一點x=x0的極限定義。定性描述為當x趨近于x0時，對應的函數值f（x）無限趨近于某個確定的值A，就稱函數f（x）在點x=x0處的極限為A。定性描述總是很容易理解，但是卻不便于演繹推理。借助于？著-？啄語言的定量關系，則問題變得容易解決。

（三）數學對象具體化的能力

數學對象具體化即是將數學上的字母、數字、函數、矩陣等具體的數學對象轉化為生產實際中具體研究對象。高等數學課程中會采用很多的字母、數字、符號等數學對象，而這些數學對象通常都是可以和生產實際中的具體對象相對應的。

例如在區(qū)間[a，b]上的一個函數f（x）?？梢詫（x）看做一個化學反應從時刻a變化到時刻b的反應物濃度，此時x是時間變量;也可以將f（x）看做是從河道的一端a到河道的另外一端b之間河道每一點處的寬度或深度等，此時x 是空間變量。一個矩陣A=0 12 0可以看做是一個線性變換x1=yy1=2x的變換矩陣;也可以看做是兩個機場I、II間的航班情況，如下圖：

（四）數學理論應用推廣的能力

數學理論應用推廣能力主要包含兩點，第一點是將簡單問題上的數學理論推廣到復雜問題上;第二是指將數學理論推廣應用到具體的實際問題。

關于第一點，例如學習了一階導數的求法，則二階導數就是對一階導函數再求導;n階導數就是對n-1階導函數再求導。再比如講完一元函數的積分，則二元函數的積分可以先將其中一個被積變量看做固定，而關于另外一個被積變量做一元函數的積分，所得積分結果再關于剛才假設固定的變量做積分，這個思想很容易推廣到三重積分及更高維數的積分概念當中。

關于第二點，更多的體現在利用數學的定理、性質去解決生產實際問題。例如利用極值理論解決用料最省體積最大問題;利用隱函數定理解決非線性方程的求解問題等。

（五）數學語言的使用能力

數學語言分為符號語言、文字語言、圖表語言和公式語言等，是表達數學思想的專門語言，具有抽象性、準確性、簡約性和形式化等特點[3，4，5]。有效地使用數學語言，能夠促進知識點的掌握、改善數學思維、增強數學表達和交流、提高學習的興趣與能力、提升理論與實際的轉化能力等。

符號語言是在人類數學思維長期發(fā)展過程中不斷使用并凝練下來的一種語言表達形式，往往具有確定的意義與通用的使用規(guī)則。2011年頒布的《義務教育數學課程標準》將符號意識作為10個核心素養(yǎng)之一[6]。從中小學的初等數學介紹的“+”、“-”、“×”、“÷”，取對數符號“l(fā)og”到高等數學介紹的導數符號“” ，“”，積分符號“∫”、以及“？坌”，“？堝”等符號，在大學數學教學中更要有意加強學生對符號的寫法、意義的理解，并鼓勵使用。

數學中的文字語言是指數學理論中經過對自然語言加工改造后具有精確的意義及嚴謹地使用規(guī)則的一類語義單位。例如“區(qū)域”、 “極限”、“微分”、“洛必達法則”、“積分中值定理”等。圖表語言指包含一定數學信息的各種圖、表。例如“柱面”、“單葉雙曲面”、“馬鞍面”、“函數導數表”、“一元函數積分表”等。公式語言是指包含特殊的關系及明確意義的表達式。如歐拉公式：eix=cos（x）+isin（x）;格林公式、高斯公式等。

在《教育部關于一流本科課程建設的實施意見》中提到“課程是人才培養(yǎng)的核心要素，課程質量直接決定人才培養(yǎng)質量”。大學數學課程的學習既是為學好專業(yè)課打基礎，又是培養(yǎng)學生發(fā)現問題、分析問題、解決問題能力的重要時期。對教師而言，在教學過程中除了要講好必要的知識點，還要注重以能力為導向，將數學思想和方法融會貫通，杜絕單純知識傳遞，才能真正將大學數學課程起到培養(yǎng)創(chuàng)新型、復合型人才的作用。

參考文獻：

[1]李大潛.漫談大學數學教學的目標與方法[J].中國大學教學，2009（1）：7-10.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊、下冊）[M].高等教育出版社，2007.

[3]鮑建生.數學語言的教學[J].數學通報，1992（10）：2-2.

[4]邵光華，劉明海.數學語言及其教學研究[J].課程·教材·教法，2005（2）：36-41+35.

[5]A·斯托利亞爾.數學教育學[M].丁爾升，等，譯.北京;人民教育出版社，1984.

[6]朱立明，馬云鵬.學生數學符號意識PORE評價框架的構建[J].數學教育學報，2016，25（1）：84-87.