譜元法在空間可展開結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙分析中的應(yīng)用①

張 震，李團(tuán)結(jié)，王作為，唐雅瓊，范葉森

(1.西安工業(yè)大學(xué)，西安 710021；2.西安電子科技大學(xué)，西安 710071；3.中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710000)

0 引言

空間可展開結(jié)構(gòu)是一種典型的輕質(zhì)、多柔體周期結(jié)構(gòu)，其在展開、調(diào)姿以及空間交變熱環(huán)境下所產(chǎn)生的振動(dòng)幅度較大、持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，嚴(yán)重影響設(shè)備的正常運(yùn)行[1-2]。由于空間環(huán)境的特殊性及空間設(shè)備輕質(zhì)性等要求，使得結(jié)構(gòu)減振成為了空間可展開結(jié)構(gòu)的主要難題。近幾十年來(lái)，周期結(jié)構(gòu)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-4]。他們對(duì)一維周期結(jié)構(gòu)和一些簡(jiǎn)單的二維、三維周期性梁的波傳播特性進(jìn)行了的研究，如板梁結(jié)構(gòu)、調(diào)制棒和加強(qiáng)板等[5-6]。他們的研究揭示了兩種帶隙機(jī)制，即 Bragg 散射機(jī)制和局域共振(LR)散射機(jī)制。其中，周期結(jié)構(gòu)的帶隙主要是 Bragg 散射機(jī)制引起的。相關(guān)研究表明，經(jīng)過(guò)特殊設(shè)計(jì)的周期結(jié)構(gòu)具有能夠抑制彈性波傳播的的頻率范圍，這個(gè)頻率范圍稱為帶隙。通過(guò)調(diào)節(jié)周期結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、幾何形狀及尺寸等，可以人為調(diào)節(jié)帶隙的位置、寬度以及對(duì)彈性波傳播的抑制能力[7-8]。因此，可以利用周期結(jié)構(gòu)的帶隙機(jī)理來(lái)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的減振特性。

對(duì)于空間可展開結(jié)構(gòu)，其基本構(gòu)件為輕質(zhì)、柔性桿梁結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)中的振動(dòng)可看作是不同頻率彈性波的疊加[9]。于是可將空間可展開結(jié)構(gòu)中的彈性波分解成拉壓波、扭轉(zhuǎn)波和彎曲波等特征波來(lái)分別研究。因此，為了保證空間可展開結(jié)構(gòu)具有良好的結(jié)構(gòu)減振特性，有必要對(duì)周期性空間可展開結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙進(jìn)行研究和設(shè)計(jì)。

由 Doyle 提出的基于傅里葉變換的譜元法，是在頻域內(nèi)建模，并能基于波動(dòng)解建立與頻率相關(guān)的插值函數(shù)，由此得到的頻域解能夠精確滿足運(yùn)動(dòng)方程[10]，可提供精確的頻域解。同時(shí)，譜元法還對(duì)復(fù)雜邊界具有廣泛的適應(yīng)性、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，有重要的應(yīng)用價(jià)值[11]。

本文采用譜元法推導(dǎo)可展開結(jié)構(gòu)主體框架的通用剛度矩陣和譜元方程，并以二維復(fù)合梁框架結(jié)構(gòu)和ADAM伸展臂為例，論述譜元法在可展開結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙特性分析中的應(yīng)用。

1 空間可展開結(jié)構(gòu)

由于空間可展開結(jié)構(gòu)需要長(zhǎng)時(shí)間在展開態(tài)的下工作，并且要求具有一定的承載能力和保形能力，因此可展開結(jié)構(gòu)的主體結(jié)構(gòu)一般都采用桁架或框架結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)建，其基本結(jié)構(gòu)構(gòu)件是較為規(guī)則的桿單元或梁?jiǎn)卧虼丝梢圆捎米V元法對(duì)各結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行建模并裝配得到整體框架結(jié)構(gòu)的譜元?jiǎng)偠纫约白V元方程，進(jìn)而計(jì)算彈性波在框架結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)的振動(dòng)頻率響應(yīng)，輔助預(yù)測(cè)和判斷結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題。

1.1 彎曲波譜元?jiǎng)恿W(xué)方程

假設(shè)可展開結(jié)構(gòu)主體結(jié)構(gòu)為框架結(jié)構(gòu)，其基本單元采用 Bernoulli-Euler 梁?jiǎn)卧?，則其對(duì)應(yīng)彎曲波的振動(dòng)方程為：

(1)

其中，wy(x,t)是中軸線法向位移，E是楊氏彈性模量，A0是橫截面積，ρ是密度，Iz是關(guān)于中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的截面矩。通過(guò)譜元法求解可得到 Bernoulli-Euler 梁彎曲波的譜元方程為：

(2)

其中

(3)

以及

(4)

1.2 拉壓波和扭轉(zhuǎn)波譜元?jiǎng)恿W(xué)方程

同理，可以得到 Bernoulli-Euler 梁拉壓波和扭轉(zhuǎn)波的譜元方程如下：

(5)

其中

(6)

以及

(7)

1.3 可展開結(jié)構(gòu)主體框架譜元?jiǎng)恿W(xué)方程

在理想狀態(tài)下，空間可展開結(jié)構(gòu)的展開態(tài)可近似成排列比較規(guī)則的周期結(jié)構(gòu)，結(jié)合復(fù)合梁結(jié)構(gòu)構(gòu)件在空間位置關(guān)系，可以得到空間可展開結(jié)構(gòu)展開態(tài)的譜元方程為：

S6N×6N(ω)d6N×1=f6N×1

(8)

其中

N=8mnp-7Rcenter-3Rface-Redge

Rcenter=(m-1)(n-1)(p-1)

Rface=2[(m-1)(n-1)+(m-1)(p-1)+(n-1)(p-1)]

Redge=4[(m-1)+(n-1)+(p-1)](9)

式中，N 表示p層框架的不重復(fù)節(jié)點(diǎn)總數(shù)，m和n分別表示底層單元格的行數(shù)和列數(shù)，Rcenter表示結(jié)構(gòu)體內(nèi)部相鄰單元間共用的重復(fù)節(jié)點(diǎn)數(shù)，Rface表示結(jié)構(gòu)體外表面相鄰單元間共用的重復(fù)節(jié)點(diǎn)數(shù)，Redge表示結(jié)構(gòu)體外部側(cè)棱相鄰單元間共用的重復(fù)節(jié)點(diǎn)數(shù)。

2 數(shù)值算例

2.1 二維復(fù)合梁框架結(jié)構(gòu)

圖1是一種由A和B兩種材料組成而成的復(fù)合結(jié)構(gòu)構(gòu)件，圖2是由該復(fù)合構(gòu)件構(gòu)建的二維復(fù)合梁框架結(jié)構(gòu)。材料A和材料B的具體參數(shù)如表1所示，P點(diǎn)是外部激勵(lì)，Q是檢測(cè)點(diǎn)。其中，F(xiàn)=F0eiωt，F(xiàn)0=1N。

圖1 復(fù)合梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of composite beam structure

圖2 二維復(fù)合梁周期框架結(jié)結(jié)構(gòu)Fig.2 Two-dimensional composite beam periodic frame structure

表1 等截面復(fù)合梁的幾何參數(shù)和材料屬性Tab.1 Geometric parameters and material properties of composite beams with uniform cross-section

圖3是圖2所示框架結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)單元在0-800 Hz范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)與Ansys仿真結(jié)果的對(duì)比。從圖3不難看出，譜元法結(jié)果與Ansys仿真結(jié)果的前4階固有頻率幾乎完全重合，第5-7階固有頻率出現(xiàn)較小誤差，第8-9 階誤差較大。例如：第4-7階固有頻率的偏移率分別是1.52%、0.43%和0.90%，第8-9階固有頻率的偏移率分別是2.63%和3.27%。顯然，采用譜元法得到的前9階固有頻率與采用有限元法的結(jié)果誤差在5%以內(nèi)，是可以用來(lái)求解結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)以及振動(dòng)帶隙問(wèn)題的。事實(shí)上，上述誤差主要是有限元法引起的，因?yàn)椴捎迷摲椒ㄗ鲰憫?yīng)分析時(shí)高頻誤差較大。

圖3 框架結(jié)構(gòu)單元頻率響應(yīng)與 Ansys 仿真結(jié)果對(duì)比Fig.3 The comparison of frequency response of the structural unit with the results of Ansys simulation

為了更加直觀地反映波的傳播特性，這里引入振動(dòng)傳遞系數(shù)。假設(shè)符號(hào)wi和wo分別表示激勵(lì)位置和檢測(cè)位置的橫向位移，則彎曲波的傳遞系數(shù)TN可以通過(guò)TN=lg|wo/wi|來(lái)計(jì)算。圖4和圖5分別是圖2所示結(jié)構(gòu)單元和整體框架結(jié)構(gòu)在0-4500 Hz范圍內(nèi)的振動(dòng)頻率響應(yīng)。

(a)

從圖4可以看出，當(dāng)檢測(cè)到的位移響應(yīng)幅度在-8 dB以下且其對(duì)應(yīng)的傳輸系數(shù)在0 dB以下時(shí)，其對(duì)應(yīng)的頻率范圍對(duì)波的傳播的抑制能力較強(qiáng)，極有可能在這些區(qū)域產(chǎn)生帶隙。

從圖5可以看出，結(jié)構(gòu)的帶隙范圍可以通過(guò)圖4進(jìn)行預(yù)測(cè)。圖5中1065-1360 Hz、1540-1740 Hz、1870-2320 Hz和3010-3780 Hz區(qū)域產(chǎn)生了較為明顯的帶隙，結(jié)合圖4的相關(guān)分析不難發(fā)現(xiàn)，圖5中帶隙的頻率范圍正好對(duì)應(yīng)圖4中對(duì)波的傳播的抑制能力較強(qiáng)的區(qū)域。

從圖5還可以看出，帶隙的基本形狀可以從圖4進(jìn)行預(yù)測(cè)。例如：圖4(b)中1040 Hz、3114 Hz以及3248 Hz對(duì)應(yīng)的傳播系數(shù)較大但寬度較窄，其位置正好處于抑制能力較強(qiáng)的區(qū)域，則在整體結(jié)構(gòu)中可能形成較窄的透射尖峰或者幅值較小的帶隙。如圖4與圖5中實(shí)線橢圓形標(biāo)記區(qū)域。再如1740-1870 Hz區(qū)域，其傳播系數(shù)較大、寬度較寬，但其整體傳輸系數(shù)在0 dB以上附近，此部分正好對(duì)應(yīng)圖5中對(duì)應(yīng)范圍的通帶，且能看出明顯的兩處透射尖峰，如圖與圖5中虛線橢圓形標(biāo)記區(qū)域。

圖5 復(fù)合梁框架結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)Fig.5 Frequency response of composite beam frame structure

2.2 空間伸展臂

圖6是可展開構(gòu)架式伸展臂(ADAM)[12]，其中，圖6(a)和(b)分別是ADAM伸展臂的折展原理和結(jié)構(gòu)單元構(gòu)成示意圖。伸展臂結(jié)構(gòu)單元的長(zhǎng)、寬和高分別用L、W和H表示，伸展臂結(jié)構(gòu)的材料用A和B表示。

(a) (b)圖6 ADAM 伸展臂及其結(jié)構(gòu)單元Fig.6 ADAM structures and its structural unit

若伸展臂的結(jié)構(gòu)單元的長(zhǎng)寬高都是 1 m，且暫時(shí)忽略索單元對(duì)伸展臂帶隙的影響，可以得到圖6所示伸展臂主體框架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率響應(yīng)如圖7所示。

圖7 ADAM 伸展臂(1×10)振動(dòng)頻率響應(yīng)Fig.7 Frequency response of ADAM structures (1×10)

綜上所述，采用譜元法可以求解可展開結(jié)構(gòu)主體框架的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題，且頻域解具有較高的準(zhǔn)確性；可以通過(guò)周期框架結(jié)構(gòu)單元的頻率響應(yīng)來(lái)預(yù)測(cè)整體結(jié)構(gòu)的帶隙位置和范圍，同時(shí)也可以預(yù)測(cè)帶隙中的部分透射尖峰。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)譜元法推導(dǎo)了空間可展開結(jié)構(gòu)主體框架的通用剛度和譜元方程。以二維復(fù)合梁框架結(jié)構(gòu)為例，討論了譜元法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)中僅需要較少單元個(gè)數(shù)就可獲得較高的精確度，并采用有 Ansys 對(duì)其結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。分析了位移響應(yīng)幅度和傳輸系數(shù)的相關(guān)特性和聯(lián)系，提出了一種預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)帶隙位置和寬度的方法，并用一般框架結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)進(jìn)行了驗(yàn)證。此外，還以ADAM空間伸展臂的振動(dòng)頻率響應(yīng)為例，說(shuō)明了譜元法在結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性方面具有較為廣闊的應(yīng)用空間。