利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性巧解阻尼振動(dòng)問題

(江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)，江蘇 江陰 214437)

1 引言

近幾年，在江蘇省高考物理試題、模擬試題中常常出現(xiàn)彈簧振子在摩擦力作用下運(yùn)動(dòng)的物理模型(阻尼振動(dòng)模型)，如2013年第9題、2018年第7題、2019年第8題。彈簧振子在不受摩擦力作用時(shí)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，對(duì)此考生可熟練利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性解決相關(guān)問題。然而，當(dāng)振子做阻尼振動(dòng)時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)就不再呈現(xiàn)完美的對(duì)稱性，整個(gè)過程中機(jī)械能不斷減少，振幅會(huì)越來(lái)越小，最終停止。這時(shí)考生因無(wú)法在腦海中形成正確的運(yùn)動(dòng)圖景而找不到切入點(diǎn)。實(shí)際上，當(dāng)彈簧振子在單方向運(yùn)動(dòng)的過程中，彈簧振子即使存在彈簧彈力之外的恒力作用，振子仍然可視為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。所以，我們依舊可以利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性巧解相關(guān)問題，下面對(duì)幾個(gè)典型例題進(jìn)行分析。

2 典型例題分析

例1:物體從與水平面成α角的斜面上端開始下滑，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ隨著物體到斜面上端的距離按μ=bx(b為大于零的常數(shù))的規(guī)律變化，物體未到斜面的底部就停下來(lái)了，試求物體從開始運(yùn)動(dòng)到停下來(lái)所經(jīng)歷的時(shí)間t。

解析：物體受力如圖1所示,設(shè)某一時(shí)刻物體距離斜面上端的距離為x,根據(jù)牛頓第二定律，有：mgsinα-bxmgcosα=ma,當(dāng)a=0時(shí)，有mgsinα=bx0mgcosα，x0即為物體運(yùn)動(dòng)的平衡位置，所以:mgsinα-bxmgcosα=bmgcosα(x0-x)，規(guī)定沿斜面向下為正方向，物體相對(duì)于平衡位置的位移Δx=-(x0-x)，當(dāng)xx0時(shí)，Δx沿斜面向下為正值，合力為負(fù)值。所以有：F=ma=-bmgcosαΔx。

圖1

我們還可利用等效法，即斜面摩擦力相當(dāng)于一根平行于斜面的彈簧產(chǎn)生的彈力，物體的下滑運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于彈簧振子在平行于斜面方向的重力分力作用下的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

例2:如圖2所示，一輕質(zhì)彈簧左端固定，右端系一小物塊，物塊與水平面的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力都為f，彈簧無(wú)形變時(shí)，物塊位于O點(diǎn)。每次把物塊拉到O點(diǎn)右側(cè)不同位置由靜止釋放，釋放時(shí)彈力F大于f，物塊沿水平面滑動(dòng)一段路程直到停止，下列說法中正確的是( )。

圖2

A. 釋放時(shí)的彈性勢(shì)能等于全過程中克服摩擦力做的功

B. 每次釋放后物塊速度達(dá)到最大的位置保持不變

C. 物塊能夠返回到O點(diǎn)右側(cè)的臨界條件為F>3f

D. 物塊能夠返回到O點(diǎn)右側(cè)的臨界條件為F>4f

解析：因?yàn)橛心Σ磷枇Φ拇嬖?，物塊最終停下來(lái)的位置不一定在平衡位置O，所以最終可能依然存在彈性勢(shì)能，當(dāng)有彈性勢(shì)能存在的時(shí)候，原來(lái)的彈性勢(shì)能可能只有部分用來(lái)克服摩擦力做功，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；彈簧彈力與摩擦力平衡的位置為物塊速度最大的位置，根據(jù)f=F=kx，因?yàn)槟Σ亮Σ蛔?，所以物塊速度達(dá)到最大的位置保持不變，B選項(xiàng)正確；設(shè)物塊在最左端受到的彈力是F′，物塊向左運(yùn)動(dòng)的過程可視為一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，物塊向右運(yùn)動(dòng)的過程同樣也可視為另一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，在最大位移處回復(fù)力大小相等，第一次從最右邊運(yùn)動(dòng)到最左邊的過程中：F-f=F′+f，再恰好向右運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)：F′-f=f，聯(lián)立解得：F=4f，故物塊能返回到O點(diǎn)右側(cè)的臨界條件為：F>4f，故D選項(xiàng)正確。

通過與例1的類比，可知振子從一端向另一端單方向的運(yùn)動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，與一般簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不同的是：由于運(yùn)動(dòng)方向的改變，振子的平衡位置不斷地發(fā)生改變。所以此題我們對(duì)兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)分別運(yùn)用對(duì)稱性來(lái)解答。

例3:如圖3所示，水平桌面上的輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與小物塊相連。彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)物塊位于O點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)。物塊的質(zhì)量為m，AB=a，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ?，F(xiàn)用水平向右的力將物塊從O點(diǎn)拉至A點(diǎn)，拉力做的功為W。撤去拉力后物塊由靜止向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)O點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為零。重力加速度為g,則上述過程中( )。

圖3

C. 經(jīng)O點(diǎn)時(shí)，物塊的動(dòng)能小于W-μmga

D. 物塊動(dòng)能最大時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能小于物塊在B點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能

圖4

3 結(jié)語(yǔ)

當(dāng)我們?cè)诮鉀Q阻尼振動(dòng)問題時(shí)可利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，如在例1、例2中阻尼振動(dòng)單方向上仍然具備簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，再如在例3中我們可以假設(shè)振子不受摩擦阻力的作用，利用我們熟悉的對(duì)稱性找到振子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱位置，可以相對(duì)容易地了解物塊運(yùn)動(dòng)的過程，從而容易找到解決問題的切入點(diǎn)。