基于拓撲優(yōu)化和形狀優(yōu)化的槳葉結(jié)構(gòu)設(shè)計

周丞，林杰，劉勇

(南京航空航天大學(xué) 直升機旋翼動力學(xué)國家級重點實驗室，南京 210016)

0 引 言

直升機與固定翼飛機不同，它由旋翼提供升力和前飛所需拉力，在前飛時旋翼處在復(fù)雜周期變化的氣動環(huán)境中[1]。旋翼是直升機關(guān)鍵的部件之一，對直升機的整體性能有巨大影響。傳統(tǒng)的旋翼槳葉結(jié)構(gòu)設(shè)計在很大程度上是依賴于設(shè)計人員的經(jīng)驗，性能差異明顯，通常得不到最優(yōu)的設(shè)計構(gòu)型。目前，旋翼槳葉結(jié)構(gòu)設(shè)計大多是基于固定的槳葉剖面構(gòu)型，以槳葉的剖面結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計變量展開優(yōu)化設(shè)計[2-3]，導(dǎo)致槳葉減重設(shè)計面臨巨大挑戰(zhàn)。

拓撲優(yōu)化和形狀優(yōu)化技術(shù)廣泛應(yīng)用于固定翼飛機結(jié)構(gòu)設(shè)計中。王偉等[4]對某型大展弦比復(fù)合材料飛翼結(jié)構(gòu)進行形狀與尺寸綜合優(yōu)化設(shè)計，實現(xiàn)減重并改善應(yīng)力水平；董瑞星[5]基于MSC.Patran和Matlab平臺進行二次開發(fā)，對機翼翼肋進行拓撲優(yōu)化，在滿足穩(wěn)定性的前提下，節(jié)約材料23.2%；張碧輝等[6]基于雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，提出一種太陽能飛機二維翼肋結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計方法；Niels Aage等[7]對波音機翼進行全尺寸拓撲優(yōu)化，與現(xiàn)有的機翼相比，減重2%～5%。但在直升機旋翼結(jié)構(gòu)設(shè)計方面，梁剖面拓撲優(yōu)化最早是Yoon Young Kim等[8]提出的，大多以剛度或者柔度為優(yōu)化目標，以面積或材料用量為約束條件建立比較優(yōu)化模型[9]，不涉及強度約束，而且沒有考慮后續(xù)的形狀優(yōu)化。趙志敏[10]對槳轂柔性梁扭轉(zhuǎn)功能段的截面優(yōu)化，其設(shè)計目標為最小化扭轉(zhuǎn)剛度；沈賽男[11]采用有限元法和類似于變密度法的拓撲優(yōu)化設(shè)計方法，以剖面剛度為約束及目標，集成有限元軟件、梁剖面特性分析軟件以及優(yōu)化軟件實現(xiàn)無鉸旋翼柔性梁剖面構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計；任毅如等[12]提出基于變密度法的直升機旋翼槳葉剖面拓撲優(yōu)化設(shè)計方法，以梁柔度或者剖面剛度為設(shè)計目標，質(zhì)量為約束。

拓撲優(yōu)化和形狀優(yōu)化用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的不同階段。拓撲優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于概念設(shè)計階段，用來確定一個最佳載荷傳遞路徑的槳葉結(jié)構(gòu)設(shè)計方案，當采用拓撲優(yōu)化技術(shù)確定結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型后，再進行形狀優(yōu)化，對現(xiàn)有構(gòu)型的CAD設(shè)計進行調(diào)整優(yōu)化。槳葉結(jié)構(gòu)設(shè)計大多單獨采用形狀優(yōu)化技術(shù)或者尺寸優(yōu)化技術(shù)，并沒有從源頭開始設(shè)計。因此，本文把拓撲優(yōu)化和形狀優(yōu)化兩級優(yōu)化方法引入到旋翼槳葉剖面結(jié)構(gòu)設(shè)計中，以減重為設(shè)計目標，把應(yīng)力與節(jié)點位移作為約束，建立優(yōu)化模型。第一級優(yōu)化采用拓撲優(yōu)化技術(shù)得到基本的槳葉構(gòu)型，在此構(gòu)型上進行第二級優(yōu)化，采用形狀優(yōu)化技術(shù)，進行局部調(diào)整。

1 優(yōu)化模型

1.1 優(yōu)化流程

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計包括三方面：設(shè)計變量、目標函數(shù)以及約束條件。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

minf(X)=f(x1,x2,…,xn)

(1)

s.t.H(X)≤0 (h=1,2,…,n)

G(X)≤0 (g=1,2,…,n)

式中：X=(x1,x2,…,xn)，為設(shè)計變量，比如單元的密度；f(X)為設(shè)計目標，比如體積或者質(zhì)量最小化；H(X)和G(X)為響應(yīng)約束，比如應(yīng)力水平和位移。

采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法，通過求解靈敏度構(gòu)造近似顯示模型，采用小步長迭代找到最優(yōu)解[13]。當連續(xù)兩次迭代的目標值的差值小于給定收斂容差時，該優(yōu)化求解完成收斂。收斂容差默認值為0.005。具體的優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 優(yōu)化流程

本文采用兩種優(yōu)化技術(shù)，包括拓撲優(yōu)化技術(shù)和形狀優(yōu)化技術(shù)。第一級優(yōu)化中，拓撲優(yōu)化的材料插值方法為變密度法(SIMP)[14]，即把模型離散的每個單元的“單元密度”作為設(shè)計變量，在0和1之間連續(xù)取值。優(yōu)化后，保留單元密度靠近1的區(qū)域，刪除單元密度靠近0的區(qū)域，實現(xiàn)材料在傳力路徑當中的最佳分配。第二級優(yōu)化是形狀優(yōu)化技術(shù)，基于手工實現(xiàn)網(wǎng)格變形的形狀優(yōu)化技術(shù)和基于邊界節(jié)點自由變形的自由形狀優(yōu)化技術(shù)[13]，在原有的模型網(wǎng)格基礎(chǔ)上通過移動網(wǎng)格節(jié)點來高效優(yōu)化幾何形狀，提高整體的力學(xué)性能。形狀優(yōu)化技術(shù)可以提供細節(jié)優(yōu)化處理，無需重新劃分網(wǎng)格，節(jié)約操作時間。

1.2 設(shè)計靈敏度

設(shè)計靈敏度是響應(yīng)優(yōu)化變量的偏導(dǎo)數(shù)。直接法求解適用于形狀優(yōu)化。

有限元方程：

KU=P

(2)

兩邊對設(shè)計變量X求偏導(dǎo)數(shù)：

(3)

則對位移向量U的偏導(dǎo)數(shù)為

(4)

設(shè)計響應(yīng)一般是位移向量U的函數(shù)：

g=QTU

(5)

故設(shè)計響應(yīng)對設(shè)計變量的偏導(dǎo)數(shù)為

(6)

對于拓撲優(yōu)化，在計算靈敏度的時候，采用伴隨變量法。引入伴隨變量E，使其滿足

KE=Q

(7)

(8)

式中：K為剛度矩陣；U為單元位移向量；P為單元載荷向量；g為約束函數(shù)；Q為伴隨載荷向量。

2 拓撲優(yōu)化技術(shù)

直升機旋翼槳葉結(jié)構(gòu)展弦比大，一般采用非線性一維梁整體運動模型加線性的二維剖面模型來處理。本文的優(yōu)化對象是各向同性的金屬槳葉剖面。槳葉剖面形狀為多空腔不規(guī)則形狀。

給槳葉內(nèi)部(除中心孔外)全部填充材料，作為初始方案。建立槳葉幾何模型，如圖2所示。選用殼單元來模擬槳葉二維結(jié)構(gòu),并通過截面屬性來定義殼單元的厚度。與實體模型相比，其網(wǎng)格數(shù)量會大幅減少，縮短優(yōu)化的時間。將槳葉模型分為設(shè)計區(qū)域和非設(shè)計區(qū)域。槳葉的氣動外形和中心孔的形狀保持不變，故上下蒙皮和中心孔為非設(shè)計區(qū)域，其余內(nèi)腔區(qū)域均作為設(shè)計區(qū)域。

圖2 槳葉幾何模型

離散的網(wǎng)格以四邊形單元為主，允許少量的區(qū)域是三角形單元?？紤]網(wǎng)格的經(jīng)濟適用性，槳葉模型單元數(shù)量為9 161個，節(jié)點數(shù)量為9 454個。最小成員尺寸要大于三倍的單元平均尺寸。施加最小成員尺寸約束可以消除優(yōu)化結(jié)果中細小的傳力路徑，得到比較均勻的材料分布。分別設(shè)置最小成員尺寸為1.5和1.0 mm時的拓撲優(yōu)化構(gòu)型如圖3～圖4所示。

圖3 設(shè)置最小成員尺寸為1.5 mm時的拓撲優(yōu)化構(gòu)型

圖4 設(shè)置最小成員尺寸為1.0 mm時的拓撲優(yōu)化構(gòu)型

從圖3～圖4可以看出：在網(wǎng)格數(shù)量確定后，最小成員尺寸越小，傳力路徑分叉越多，應(yīng)力分布越不穩(wěn)定。

同時，最大成員尺寸要大于兩倍的最小成員尺寸，以防止優(yōu)化過程中材料的堆積。根據(jù)劃分的網(wǎng)格單元大小，確定選用最大成員尺寸為4 mm,最小成員尺寸為2 mm。

殼單元所用的材料是鑄造鋁合金AlSi10Mg，其具有良好的工藝性，密度低，抗腐蝕性好，在航空領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。材料特性如表1所示。

表1 AlSi10Mg材料特性

通過Rigid剛性單元對中心孔施加位移約束，Reb3柔性單元定義槳葉剖面載荷的施加位置。

直升機的飛行狀態(tài)包括超扭、超轉(zhuǎn)、水平飛行、螺旋轉(zhuǎn)彎、自轉(zhuǎn)等。特定展向和周向位置槳葉剖面的載荷在不同的飛行狀態(tài)下是不一樣的。通過動力學(xué)綜合分析軟件CAMRAD Ⅱ?qū)δ承⌒蛙E蹺板構(gòu)型的直升機在水平前飛80 km/h狀態(tài)下的旋翼載荷計算分析，得到某個槳葉剖面的載荷，包括揮-擺-扭力矩、徑向力、弦向力及垂向力，具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 槳葉剖面的載荷

將有限元模型的單元相對密度作為設(shè)計變量，約束條件為最大Von mises應(yīng)力不超過230 MPa且最大節(jié)點位移小于1.5 mm，優(yōu)化目標為槳葉的體積最小化。目標函數(shù)迭代曲線如圖5所示。

圖5 目標函數(shù)迭代曲線

從圖5可以看出：經(jīng)過72次優(yōu)化迭代求解，目標量收斂。

拓撲優(yōu)化后的模型、動畫及應(yīng)力應(yīng)變云圖等都可以在HyperView[15]可視化環(huán)境查看。拓撲優(yōu)化后的模型如圖6所示。

圖6 拓撲優(yōu)化后的模型

Fig.6 Topology optimized model

從圖6可以看出：槳葉前端傳力路徑清晰，呈現(xiàn)幾乎正交斜置的網(wǎng)格路徑，是主要承受載荷的區(qū)域；槳葉中段出現(xiàn)“Z”形樣式的結(jié)構(gòu)，對提高槳葉的抗扭剛度產(chǎn)生重要影響；槳葉尾端呈現(xiàn)折線形的結(jié)構(gòu)，可以用來調(diào)節(jié)擺振剛度。傳力路徑之外的區(qū)域，單元密度接近于0，在重構(gòu)時刪除。設(shè)定value=0.505，刪除中間密度單元，保留主要的承力結(jié)構(gòu)。

通過OSSmooth模塊，導(dǎo)出STEP格式的文件。拓撲優(yōu)化后的模型邊緣有鋸齒狀、有不連續(xù)的結(jié)構(gòu)，需要重構(gòu)?；谌S建模軟件，用樣條曲線和直線重構(gòu)槳葉的中心孔、蒙皮、支撐桿及墊塊，如圖7所示。

圖7 槳葉剖面重構(gòu)圖

對重構(gòu)后的模型和拓撲優(yōu)化后的模型分別進行受力分析，最大Von mises應(yīng)力誤差為-2.140%。從工程設(shè)計的角度來看，重構(gòu)對結(jié)構(gòu)性能的影響可以忽略。拓撲優(yōu)化后，采用形狀優(yōu)化對槳葉模型進行參數(shù)化建模及細化處理。

3 形狀優(yōu)化技術(shù)

3.1 自由形狀優(yōu)化技術(shù)

重構(gòu)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布如圖8所示。

圖8 重構(gòu)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布

從圖8可以看出：槳葉在中心孔附近和腹腔中段出現(xiàn)局部應(yīng)力集中，且最大Von mises應(yīng)力為233.9 MPa，超過了材料的屈服強度。

基于重構(gòu)槳葉的有限元模型，對應(yīng)力集中的區(qū)域細化網(wǎng)格，進行自由形狀優(yōu)化。選擇應(yīng)力集中區(qū)域?qū)?yīng)的邊界節(jié)點位置的集合為設(shè)計變量，其擾動變形范圍由軟件自動控制，設(shè)置最大Von mises應(yīng)力小于230 MPa為優(yōu)化約束，體積最小化為優(yōu)化目標，通過OptiStruct優(yōu)化求解。

優(yōu)化后的形狀變量變形云圖如圖9所示，節(jié)點最大移動量為1.015 mm，體積為63 955.671 mm3。

優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布情況如圖10所示。最大Von mises應(yīng)力降至211.5 MPa,應(yīng)力分布趨于平緩，支撐桿和墊塊部件的應(yīng)力值比較小，表明還有優(yōu)化余地。保留本次優(yōu)化后的網(wǎng)格信息。

圖9 形狀變量的變形

圖10 自由形狀優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布

3.2 基于人工驅(qū)動網(wǎng)格變形的形狀優(yōu)化技術(shù)

根據(jù)合理的設(shè)計空間域以及設(shè)計者的工程經(jīng)驗，基于人工驅(qū)動網(wǎng)格變形的形狀優(yōu)化技術(shù)允許網(wǎng)格節(jié)點在有限空間內(nèi)移動，滿足設(shè)計要求后，確定最佳的變形位置。直接在自由形狀優(yōu)化后的網(wǎng)格信息基礎(chǔ)上，采用映射到線幾何的方式來定義設(shè)計變量，如圖11所示，支撐桿i的厚度為bi(i為正整數(shù)，1≤i≤15)，緊貼上翼面墊塊的厚度為h1,緊貼下翼面的墊塊的厚度為h2。定義支撐桿和墊塊的厚度為設(shè)計變量，約束為最大Von mises應(yīng)力不超過230 MPa和模型最大節(jié)點位移小于1.5 mm，優(yōu)化目標為模型的體積最小化。

圖11 設(shè)計變量

經(jīng)過形狀優(yōu)化迭代求解，得到網(wǎng)格分布的最佳位置。形狀優(yōu)化后的形狀變量變形如圖12所示。

圖12 形狀優(yōu)化后的形狀變量變形

從圖12可以看出：支撐桿和墊塊的網(wǎng)格節(jié)點的位置集合發(fā)生不同程度的變化，其中支撐桿6和支撐桿7發(fā)生最大形狀變化，數(shù)值為0.707 1 mm。

形狀優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布情況如圖13所示，可以看出：相比較自由形狀優(yōu)化后的結(jié)果，最大Von mises應(yīng)力略微上升至215.2 MPa，增大了1.749%，仍滿足屈服強度。

圖13 形狀優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布

優(yōu)化后體積為603 953.56 mm3,減少了5.566 5%，如圖14所示，模型節(jié)點最大位移為1.239 mm。槳葉一階屈曲云圖如圖15所示，屈曲因子為6.196 76，大于1，表示槳葉沒有失穩(wěn)。

圖14 形狀優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移

圖15 形狀優(yōu)化后屈曲一階圖

4 優(yōu)化結(jié)果分析

已知槳葉的氣動外形，即在確定的設(shè)計空間內(nèi)，通過拓撲優(yōu)化找到合理的材料分布路徑。相比較初始的方案，重構(gòu)后模型體積下降50.790%，最大Von mises應(yīng)力增大了142.32 MPa。在重構(gòu)的槳葉模型基礎(chǔ)上，驅(qū)動有限元網(wǎng)格節(jié)點變形進行形狀優(yōu)化。與拓撲優(yōu)化后的重構(gòu)模型相比，形狀優(yōu)化后的槳葉體積減少了5.117%，最大Von mises應(yīng)力下降7.99%，局部集中應(yīng)力的情況有所改善，材料得到了更加高效地使用。

優(yōu)化前后的數(shù)據(jù)對比如表3所示。

表3 優(yōu)化前后的數(shù)據(jù)對比

體積和應(yīng)力的變化趨勢分別如圖16～圖17所示，可以看出：最終方案和初始方案對比，槳葉結(jié)構(gòu)減重53.508%，應(yīng)力上升123.62 MPa，但仍然滿足設(shè)計需求。

圖16 體積變化趨勢

圖17 最大Von mises應(yīng)力變化趨勢

通過拓撲優(yōu)化和形狀優(yōu)化，槳葉滿足強度和穩(wěn)定性的要求，幾何模型如圖18所示。

圖18 優(yōu)化后槳葉結(jié)構(gòu)

5 結(jié) 論

(1) 在網(wǎng)格數(shù)量確定后，最小成員尺寸越小，槳葉內(nèi)部結(jié)構(gòu)的傳力路徑分叉越多，應(yīng)力分布越不穩(wěn)定。結(jié)合劃分的網(wǎng)格尺寸和工程設(shè)計經(jīng)驗，找到合適的最小成員尺寸和最大成員尺寸的組合。

(2) 通過第一級拓撲優(yōu)化找到清晰的槳葉內(nèi)腔的材料分布結(jié)構(gòu)，包括斜置的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)、“Z”形結(jié)構(gòu)和后緣的折線形結(jié)構(gòu)。

(3) 通過第二級形狀優(yōu)化，能降低局部應(yīng)力，找到合理的邊界節(jié)點位置，確定槳葉幾何構(gòu)型。

(4) 對拓撲優(yōu)化和形狀優(yōu)化后的模型進行有限元分析，最終槳葉結(jié)構(gòu)滿足強度和穩(wěn)定性的要求，證明基于拓撲優(yōu)化和形狀優(yōu)化的槳葉結(jié)構(gòu)設(shè)計的方法是可行的，為金屬槳葉設(shè)計提供了借鑒和參考。