錯(cuò)誤不糾正，考后兩行淚

張雷

[摘? 要] 填空題在江蘇省高考數(shù)學(xué)卷中占有較大比例，通過(guò)對(duì)學(xué)生在填空題中出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤的分析和歸因，提出具體應(yīng)對(duì)辦法，以期提高學(xué)生解答此類(lèi)題型的準(zhǔn)確率.

[關(guān)鍵詞] 填空題;常見(jiàn)錯(cuò)誤;辨析;對(duì)策

■問(wèn)題的提出

江蘇省數(shù)學(xué)中的填空題，因其分值高，考試內(nèi)容廣泛，一直為師生所重視. 該題型僅有一條下畫(huà)橫線來(lái)填答案，真可謂“方法千百條，做對(duì)第一條”. 在教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)該題型的錯(cuò)誤率較高. 盡管平時(shí)教師一再?gòu)?qiáng)調(diào)糾錯(cuò)，但學(xué)生仍會(huì)在考試中出現(xiàn)各種錯(cuò)誤. 每次考試后，總會(huì)有學(xué)生痛心疾首：要么這題看錯(cuò)了，要么那題算錯(cuò)了，要么該用的公式忘記了，等等. 雖說(shuō)錯(cuò)誤與學(xué)習(xí)總是相伴的，甚至是如影隨形，但作為教師應(yīng)精準(zhǔn)地分析學(xué)生在填空題上出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤，化錯(cuò)為寶. 筆者以學(xué)生在填空題上出現(xiàn)的各種問(wèn)題為例，嘗試分析其出錯(cuò)的原因，提出有效糾正的對(duì)策.

■案例與分析

1. 粗枝大葉，丟三落四？搖

例1：（1）設(shè)全集U={xx≥2，x∈N}，A={xx2≥5，x∈N}，則CUA=________.

正解：U={xx≥2，x∈N}，A={xx≥3，x∈N}，所以CUA={2}.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：忽視了“x∈N”這一條件，導(dǎo)致結(jié)果為[2，■）. （備注：本題是蘇州市2016年高三上學(xué)期期末考試填空題的第一題，全班錯(cuò)誤率竟然高達(dá)近三分之一！考后師生都震驚了. ）

（2）若橢圓■+■=1的離心率e=■，則k的值等于________.

正解：本題分k+2>4與0

常見(jiàn)錯(cuò)誤：看到解析式，直接默認(rèn)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，以為k+2>4，算出k=■了事，忽視了橢圓的焦點(diǎn)在y軸上的情形.

（3）若直線y=x+b與曲線x=■恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.

正解：先將x=■兩邊平方，得到曲線方程：x2+y2=1（x≥0），再利用數(shù)形結(jié)合方法可得-1

常見(jiàn)錯(cuò)誤：有學(xué)生把曲線方程化為x2+y2=1后，以為是一個(gè)完整的單位圓，忽視了隱含條件“x≥0”，因?yàn)樗鲌D像不正確，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.

評(píng)析：這種因疏忽遺漏致錯(cuò)的情況很常見(jiàn)，考試時(shí)不少學(xué)生心浮氣躁，盲目追求速度，輕視前面的基礎(chǔ)題，想留足時(shí)間做后面難度大的題目，導(dǎo)致這些基礎(chǔ)填空題一看就會(huì)，但一做就錯(cuò). 教師有時(shí)在課堂上為追求講解速度，會(huì)代替學(xué)生包辦審題過(guò)程，使得學(xué)生在審題時(shí)容易蜻蜓點(diǎn)水走過(guò)場(chǎng).

對(duì)策：教育學(xué)生做題要心態(tài)平穩(wěn)，審題要仔細(xì). 建議至少讀兩遍題目，看清題意，并且勾畫(huà)出關(guān)鍵詞，明察題目中的隱含條件，兩遍審題下來(lái)無(wú)異議再動(dòng)筆. 用數(shù)形結(jié)合法解題需要結(jié)合準(zhǔn)確的圖像，否則會(huì)導(dǎo)致數(shù)“多”于形或數(shù)“少”于形的錯(cuò)誤.

2. 先入為主，感性至上

例2：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×5×…×（2n-1）（n∈N*）時(shí)，從n=k到n=k+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是________.

正解：（2k+1）×（2k+2）÷（k+1）=4k+2. 所以答案是4k+2.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：憑直覺(jué)以為所添的項(xiàng)“（2k+1）×（2k+2）”就是答案，殊不知首項(xiàng)也發(fā)生了變化，是k+2而不是k+1.

（2）函數(shù)f（x）=■的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.

正解：■′=■=0，所以lnx=■，所以x=■. 當(dāng)00，所以f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x>■，則f（x）′<0，所以f（x）單調(diào)遞減. 由數(shù)形結(jié)合，函數(shù)f（x）=■有一個(gè)零點(diǎn).

常見(jiàn)錯(cuò)誤：正確得出函數(shù)f（x）=■的單調(diào)性后，以為該函數(shù)理所當(dāng)然有2個(gè)零點(diǎn)，豈料x(chóng)→+∞時(shí)，f（x）>0，不可能與x軸有交點(diǎn).

評(píng)析：有些學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)欠缺，邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)，只看到了內(nèi)心期望看到的東西，利用非等價(jià)轉(zhuǎn)化解題，又缺少等價(jià)性檢驗(yàn)，導(dǎo)致解題時(shí)直覺(jué)當(dāng)先，即根據(jù)感覺(jué)就近（知識(shí)點(diǎn)、題型）切入，不進(jìn)行深入思考，結(jié)果失誤頻發(fā).

對(duì)策：教師應(yīng)讓學(xué)生明白：解題時(shí)需少目測(cè)，多動(dòng)筆，其中一些步驟不應(yīng)只憑想象來(lái)代替求解過(guò)程，應(yīng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度把題目做完整、到位. 平時(shí)教學(xué)中不僅要重視學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的熟練與完整應(yīng)用，還要多舉一些實(shí)例提問(wèn)，比如：兩個(gè)實(shí)數(shù)a>b，那么■<■就一定成立？?jī)芍本€不相交，那么就一定平行？使學(xué)生養(yǎng)成理性探究問(wèn)題的習(xí)慣.

3. “雙基”不牢，任性胡來(lái)？搖

例3：（1）已知函數(shù)f（x）=x2+mx+lnx是單調(diào)遞增函數(shù)，則m的取值范圍是_____.

正解：f′（x）=2x+m+■=■≥0，因?yàn)閤>0，所以2x2+mx+1≥0，mx≥ -2x2-1，所以m≥-2x-■■=-2■.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：認(rèn)為函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果大于0，得到2x2+mx+1>0，結(jié)果為m>-2■，說(shuō)明基礎(chǔ)知識(shí)不過(guò)關(guān).

（2）函數(shù)f（x）=log■（-x2-2x+3）的單調(diào)遞增區(qū)間是________？搖.

正解：由-x2-2x+3>0得到x∈（-3，1），而y=log■x在定義域上是單調(diào)遞減的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1）.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：①不注意真數(shù)部分為正，缺失“-x2-2x+3>0”的計(jì)算;②外層函數(shù)單調(diào)遞減，有學(xué)生認(rèn)為遞增;③對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)“同增異減”的掌握不牢，弄成“同減異增”了.

評(píng)析：學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的一個(gè)重要原因是概念與原理比較模糊，知識(shí)形成的過(guò)程不清楚，知識(shí)適用的條件不明確，導(dǎo)致其不按章法而任性做題. 這里面教師通常也有一定責(zé)任，比如為了趕進(jìn)度而淡化概念原理的生成過(guò)程，甚至直接去灌輸，讓學(xué)生機(jī)械地背公式. 學(xué)生囫圇吞棗，致使運(yùn)用中常會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題. 數(shù)學(xué)畢竟是思維的學(xué)科，對(duì)概念不求甚解，就難以獲得題目的要求與知識(shí)點(diǎn)的準(zhǔn)確聯(lián)系.

對(duì)策：教師要重視教學(xué)過(guò)程中知識(shí)點(diǎn)的生成過(guò)程，擯棄“理論不夠，記憶來(lái)湊”的做法，根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)與認(rèn)知，肯花時(shí)間，進(jìn)行真實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)與數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自然又清楚地理解、掌握概念、公式、原理，不僅知其然，也知其所以然. 此外，重要的知識(shí)點(diǎn)要重點(diǎn)圈出，強(qiáng)化學(xué)生記憶，從而達(dá)到準(zhǔn)確運(yùn)用的效果.

4. 指鹿為馬，生搬硬套

例4：（1）若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x+y=1，則■+■的最小值是________.

正解：■+■=■+■+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即y=2x，x=■，y=■時(shí)等號(hào)成立.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：變形到■+■=■+■·（x+y），再展開(kāi)后就無(wú)法進(jìn)行下去了，主要是學(xué)生受一類(lèi)固定題型“若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x+y=1，求■+■的最小值”的影響，機(jī)械模仿之故.

（2）等差數(shù)列{a■}的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，則它的前3m項(xiàng)的和為_(kāi)_______.

正解：由S■，S■-S■，S■-S■也成等差數(shù)列，所以2（S■-S■）=S■+（S■-S■），所以S■=3（S■-S■）=210.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：由{a■}是等差數(shù)列，將S■，S■，S■誤解為成等差數(shù)列，從而做錯(cuò).

（3）若方程■+■=1表示雙曲線，則k的取值范圍是________？搖.

正解：由雙曲線的方程的定義，得（k-2）·（5-k）<0，所以k-2>0，5-k<0或k-2<0，5-k>0，可得-25.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：采用了兩個(gè)分母分別大于0，且（k-2）≠（5-k），顯然是和橢圓方程相混淆了.

評(píng)析：暴露出一些學(xué)生對(duì)相似的知識(shí)點(diǎn)容易混淆，只看到題目的表象就開(kāi)始運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解題，不加區(qū)別去照搬，是一種思維慣性的現(xiàn)象. 雖說(shuō)思維定式有助于人們進(jìn)行類(lèi)比思維，從而更加順利和快捷地解決部分問(wèn)題，但容易使學(xué)生盲目地運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣來(lái)對(duì)待一些貌似而神異的問(wèn)題，造成解題錯(cuò)誤.

對(duì)策：在學(xué)習(xí)新的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)提前考慮到學(xué)生可能受到舊知識(shí)點(diǎn)的影響，做好干預(yù)，把它們的區(qū)別和聯(lián)系指出來(lái)，避免隨意套用. 比如數(shù)列中的等差數(shù)列與等比數(shù)列，抽樣方法中的系統(tǒng)抽樣與分層抽樣，圓錐曲線中的橢圓和雙曲線，以及一些情境類(lèi)似的題型，等等. 教師在教學(xué)中，要求學(xué)生一定要具體情況具體分析，并不能用一種方法解決所有問(wèn)題.

5. 思路不寬，策略缺乏

例5：（1）函數(shù)f（x）=lgx-1+■的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.

正解：轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)y=lgx-1與y=-■的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由數(shù)形結(jié)合知道答案為3.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：①主要是沒(méi)想到上述的轉(zhuǎn)化思想，直接考慮用求導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)研究該函數(shù)的單調(diào)性了，因真數(shù)含有絕對(duì)值，故需要討論x<1，x>1兩種情形，致使其陷入了繁雜的計(jì)算過(guò)程而做不出來(lái);②對(duì)y=lgx的圖像是熟悉的，但對(duì)y=lgx以及y=lgx-1掌握得不好.

（2）正方體ABCD-A■B■C■D■的棱長(zhǎng)為2■，則四面體A-B■CD■的外接球的體積為_(kāi)_______.

正解：由于四面體A-B■CD■與正方體ABCD-A■B■C■D■有相同的外接球，故（2■）2×3=（2R）2，所以R=3，所以V=■πR3=36π.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：?jiǎn)为?dú)對(duì)四面體A-B■CD■進(jìn)行外接球的計(jì)算與研究，沒(méi)有借助正方體外接球的作用，把問(wèn)題復(fù)雜化了，難以解出.

（3）一根2米的竹竿AB斜靠在直角墻壁上，假設(shè)竹竿在同一個(gè)平面內(nèi)移動(dòng)，當(dāng)竹竿的下端點(diǎn)A從距離墻角O點(diǎn)1米的地方移動(dòng)到■米的地方，則AB的中點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)_______.

正解：令D′是竹竿移動(dòng)后D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由△OAB是斜邊為2的直角三角形，所以O(shè)D=OD′=1，所以D是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓弧上的一點(diǎn)，易得∠DOD′=■，所以由弧長(zhǎng)公式可得路程為■×1=■.

常見(jiàn)錯(cuò)誤：學(xué)生的思維局限在研究動(dòng)態(tài)的直角三角形上，不懂變通，沒(méi)有從OD=OD′=1入手轉(zhuǎn)化為求圓的軌跡問(wèn)題.

評(píng)析：一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解策略有很多種，好的策略會(huì)使得解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明快，差的策略由于產(chǎn)生了曲折的思維回路，費(fèi)時(shí)又費(fèi)力. 現(xiàn)實(shí)中，一些學(xué)生解題的思路狹窄不活絡(luò)，不會(huì)從多個(gè)方面切入，或者思考角度不當(dāng)，增加了求解的難度和長(zhǎng)度，從而陷入困境. 而數(shù)學(xué)是一種思維的體操，只有動(dòng)腦思考了，才能做好題.

對(duì)策：教師應(yīng)重視學(xué)生探究題的訓(xùn)練，并善于進(jìn)行遷移，通過(guò)一題多解、舉一反三讓學(xué)生拓寬思路，發(fā)散思維，對(duì)學(xué)生解題的一些奇思妙想加以鼓勵(lì)和引導(dǎo)，養(yǎng)成學(xué)生愛(ài)思考、愛(ài)動(dòng)腦的習(xí)慣，善于透過(guò)現(xiàn)象看出本質(zhì). 這樣既有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目所含的知識(shí)點(diǎn)，也有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)出題人的考查意圖，從而找準(zhǔn)解題的正確方向，提高和優(yōu)化學(xué)生解決中高檔題的能力.

6. 缺乏毅力，半途而廢？搖

例6：平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：■+4y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F■，F(xiàn)■.若直線l：y=kx+1與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且P在第二象限，直線PF■交y軸于點(diǎn)Q，則以PQ為直徑的圓與點(diǎn)F■的位置關(guān)系是________.

正解：由■+■=1，y=kx+1得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2-a2b2=0（*），則Δ=（2ka2）2-4（b2+a2k2）（a2-a2b2）=0，化簡(jiǎn)得1-b2-a2k2=0. 又a2=■，b2=■，所以k2=■=1﹒ 因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以k=1. 把k=1代入方程（*），得x2+2a2x+a4=0，解得x=-a2，從而y=b2，所以P（-a2，b2）. 又F■的坐標(biāo)為（c，0），從而直線PF■的方程為y-b2=■（x+a2）. 令x=0，得y=■，所以Q0，■﹒又F■的坐標(biāo)為（-c，0），從而■=（-a2+c，b2），■=c，■，從而■·■=c（-a2+c）+■=■=■. 又因?yàn)閍2+b2=1，a2=b2+c2，所以b2-a2=-c2，所以■·■=0，所以點(diǎn)F■在以PQ為直徑的圓上﹒？搖？搖

常見(jiàn)錯(cuò)誤：①?zèng)]有準(zhǔn)確地化簡(jiǎn)到（*）式;②Δ=0的式子沒(méi)有化簡(jiǎn)到位;③沒(méi)有算出k=1;④■·■后面的展開(kāi)式算不下去或者算錯(cuò).

評(píng)析：高中階段的考試對(duì)運(yùn)算要求較高，特別是解析幾何題. 一些學(xué)生雖有正確的解題思路，但眼高手低，在遇到較復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題時(shí)有畏難情緒，缺乏戰(zhàn)勝困難的意志，心理層面產(chǎn)生了厭煩與緊張，以至中途放棄. 長(zhǎng)期下去這也直接影響、制約、阻礙了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性以及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的效率，這就需要學(xué)生培養(yǎng)扎實(shí)的基本運(yùn)算功夫. 有時(shí)教師為追求講解速度常常代替學(xué)生計(jì)算，或經(jīng)常跳步以回避復(fù)雜的計(jì)算，這是“重方法，輕計(jì)算”的做法.

對(duì)策：講解繁雜的計(jì)算題時(shí)，注重展示完整的解題過(guò)程，從分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、估計(jì)范圍到選擇運(yùn)算公式乃至遇到障礙時(shí)如何調(diào)整運(yùn)算，各個(gè)步驟都要講解并書(shū)寫(xiě)到位，而且要探索簡(jiǎn)便變形的方法. 有時(shí)可請(qǐng)學(xué)生到黑板上計(jì)算，直接暴露他們普遍存在的計(jì)算問(wèn)題，當(dāng)場(chǎng)予以指導(dǎo)解決，使學(xué)生不僅能積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)和信心，還有助于培養(yǎng)堅(jiān)強(qiáng)的意志.

■結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)高中生解決填空題出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤進(jìn)行了歸類(lèi)辨析及對(duì)策. 客觀上，高中生在面對(duì)數(shù)學(xué)時(shí)是存在一定困難的，出現(xiàn)各種錯(cuò)誤也是很難避免的. 但愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“一個(gè)人在科學(xué)探索的道路上走過(guò)彎路犯過(guò)錯(cuò)誤并不是壞事，更不是什么恥辱，要在實(shí)踐中勇于承認(rèn)和改正錯(cuò)誤. ”

教師應(yīng)善待學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中所犯的錯(cuò)誤，并且要視之為寶貴的學(xué)習(xí)資源. 在平時(shí)教學(xué)中，做好應(yīng)對(duì)策略，進(jìn)行提前干預(yù)，啟發(fā)探究和解后反思. 長(zhǎng)期堅(jiān)持下去，學(xué)生做填空題不僅是一個(gè)吸取教訓(xùn)、積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，更是一個(gè)收獲希望、逐步提高解題能力的過(guò)程.