圓錐曲線“定點”“定值”問題的同源與分流

羅毅

[摘? 要] 定點問題與定值問題是圓錐曲線中的兩種常見問題類型，它們有相似的幾何背景和邏輯基礎(chǔ)，而在解題的運算方式上又有區(qū)別. 通過高考試題解析，對比分析這兩類問題在邏輯架構(gòu)、代數(shù)形態(tài)等方面的同與異，解構(gòu)它們在數(shù)學(xué)思想方法層面的互異性和關(guān)聯(lián)性，從而更好地建立這兩類問題的解題體系.

[關(guān)鍵詞] 定點;定值;邏輯;運算

定點與定值，是圓錐曲線中的兩類常見問題.在圓錐曲線的解題教學(xué)研究中，這兩類問題在題目形態(tài)和解題策略上，常被歸為同一研究類，而與最值（范圍）問題形成對立研究類. 文[1]和文[2]分別探究了定點與定值問題的解題方法與技巧.然而，作為數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究，除了著眼于表層的解題技術(shù)，還應(yīng)關(guān)注同一研究類問題的聯(lián)系與區(qū)別，以及不同研究類問題的關(guān)聯(lián)，使其更加具備“數(shù)學(xué)思想屬性和理性思維屬性”[3]，也使得對這樣問題的解題教學(xué)能夠更好地幫助學(xué)生“構(gòu)建知識體系，整體把握知識的來龍去脈，抓住問題的本質(zhì)”[3]. 本文擬從邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等層面對定點與定值問題進行分析，追溯其邏輯內(nèi)涵和算法原理的源與流.

■定點與定值問題在邏輯架構(gòu)上的“同源”

定點與定值問題的共同特征是：在一個動態(tài)過程中，有些量不會隨著運動變化而發(fā)生改變，形成了所謂的“定”. 這包含兩個層面的意思，第一個層面是：這是一個“動態(tài)過程”，如果圖形是靜止的，那么圖形上的每個點都是定點，每個值都是定值，缺乏研究的價值;第二個層面是“不變性”，在動態(tài)過程中，變是常態(tài)，不變是非常態(tài)，不變常常是由特定的幾何性質(zhì)決定的，比如方程（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=1所刻畫的曲線始終經(jīng)過點（0，0），它不會因為θ的變化而發(fā)生改變，點（0，0）就是曲線（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=1經(jīng)過的“定點”，這是由圓系方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)確定的圓的幾何特征;又如橢圓上的任意一點M到兩個焦點F■，F(xiàn)■的距離之和為常數(shù)，這個常數(shù)不會隨著點M的運動變化而發(fā)生改變，這就是“定值”，這是由橢圓的定義確定的橢圓的幾何特征.

由于解析幾何的核心是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)以及圖形與圖形之間的關(guān)系，而這樣的“定”，反映在代數(shù)邏輯形態(tài)上就是與方程或表達式中變元的取值無關(guān). 所以，定點與定值問題在代數(shù)邏輯架構(gòu)上是同源的.

■定點與定值問題在代數(shù)形態(tài)上的“分流”

雖然定點與定值存在幾何背景和邏輯上的同理，但它們在代數(shù)運算形態(tài)上是有區(qū)別的.

1. 定點問題的代數(shù)形態(tài)特征

通常我們研究直線過定點問題，意味著直線處于旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，其斜率在發(fā)生變化，從而我們可以通過研究直線l的方程y=kx+b（k，b是參數(shù)）形態(tài)，考察該直線是否經(jīng)過一個定點.

如果b=λk+μ（λ，μ是常數(shù)），由直線的點斜式方程，知直線l經(jīng)過定點（-λ，μ）. 特別的，若b=μ（μ是常數(shù)），那么直線l經(jīng)過y軸上的定點（0，μ）;若b=λk（λ是常數(shù)），那么直線l經(jīng)過x軸上的定點（-λ，0）. 對斜率不存在的直線，可在此基礎(chǔ)上進行驗證.更一般地，通過直線l的點斜式方程A（x-x■）+B（y-y■）=0（A，B是參數(shù)，x■，y■是常數(shù)），也能夠判斷直線l經(jīng)過定點（x■，y■）.

借助以上兩種直線方程形式，可以發(fā)現(xiàn)，研究直線過定點問題，其邏輯本質(zhì)就是“關(guān)于變元（x，y）的等式恒成立，即與參數(shù)的取值無關(guān)”. 在曲線系理論下，易知曲線λf（x，y）+μg（x，y）=0總是經(jīng)過f（x，y）=0與g（x，y）=0的公共點. 這里強調(diào)方程的構(gòu)建，以及對所建立方程的邏輯解構(gòu).

例1：（2017全國卷課標(biāo)Ⅰ理，20）已知橢圓C：■+■=1（a>b>0），四點P■（1，1），P■（0，1），P■-1，■，P■1，■中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P■點且與C相交于A，B兩點.若直線P■A與直線P■B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

解題過程：（1）■+y2=1（過程略）;

（2）設(shè)直線P■A與直線P■B的斜率分別為k■和k■.

若l與x軸垂直，設(shè)l：x=a，其中a≠0，且a<2，則Aa，■，Ba，-■.

由條件，k■+k■=■-■=-1，解得a=2，不符合題設(shè)，所以直線l的斜率存在.

設(shè)l：y=kx+b（b≠1），代入■+y2=1，消去y，得：

（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0.

由條件，知Δ=64k2b2-16（4k2+1）（b2-1）>0.

設(shè)A（x■，y■），B（x■，y■），則

x■+x■=-■①，x■x■=■②，

k■+k■=■+■=■+■=■.

因為k■+k■=-1，所以（2k+1）x■x■+（b-1）（x■+x■）=0③，

將①②代入③，化簡得b=-2k-1，于是l：y=kx-2k-1，即y+1=k（x-2），所以直線l經(jīng)過定點（2，-1）.■[4]

問題分析：結(jié)合解題過程，不難看到，解決問題的關(guān)鍵是引入直線l的方程y=kx+b，通過條件“直線P■A與直線P■B的斜率的和為-1”，建立關(guān)于k與b的二元方程，進而化簡得到b關(guān)于k的線性表達式，達到確定直線經(jīng)過定點的目標(biāo). 我們可以通過圖示（圖1），展現(xiàn)解決這個題目的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的并行過程.

例2：（2009江西理，21）已知點P■（x■，y■）為雙曲線■-■=1（b為正常數(shù)）上任一點，F(xiàn)■為雙曲線的右焦點，過P■作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接F■A并延長交y軸于P■.

（1）求線段P■P■的中點P的軌跡E的方程;

（2）設(shè)軌跡E與x軸交于B，D兩點，在E上任取一點Q（x■，y■）（y■≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓過兩定點.

解題過程：（1）點P的軌跡E的方程為：■-■=1（過程略）.

（2）M0，■，N0，■，則以MN為直徑的圓的方程為：

x2+y-■y+■=0，

即x2+y2+■y-25b2=0①，

令x2+y2-25b2=0且y=0，得該圓經(jīng)過定點（5b，0）和（-5b，0）.

問題分析：題目的第（2）小問實際上在探究經(jīng)過個兩定點的圓系方程，很難以某種形式化的方法來解決它，所以，從定點問題的邏輯認(rèn)知角度——等式恒成立，對這個題目進行推理和運算就尤其重要.在這樣的邏輯基礎(chǔ)上，通過代數(shù)變形，得到方程①. “與變元y■的取值無關(guān)”，是取■的系數(shù)y=0及常數(shù)項x2+y2-25b2=0的邏輯依據(jù)，是解決問題的關(guān)鍵，通過這一過程，達成了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的并行目標(biāo)，從而找到定點（5b，0）和（-5b，0）.

上面兩個的例題，雖然研究的對象不同——一個探究動直線經(jīng)過某一個定點，一個探究動圓經(jīng)過某兩個定點，解決問題的過程表征也有所差異——一個探究關(guān)于參數(shù)k與b的線性關(guān)系，一個探究關(guān)于坐標(biāo)y■的方程. 但可以發(fā)現(xiàn)，他們共同特征是在“使等式恒成立”這個邏輯要求下，對方程中的參數(shù)形成限制性條件，這個條件的實現(xiàn)則對應(yīng)地產(chǎn)生了某個（或者某幾個）定點.

2. 定值問題的代數(shù)形態(tài)特征

定值問題在代數(shù)邏輯上與最值（范圍）問題屬于同一個范疇. 在解析幾何體系中，研究最值問題的基本數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想，通常研究對象隨著某個本源變量（如直線的斜率、點的坐標(biāo)等）的變化而發(fā)生相應(yīng)變化，從而形成研究對象與本源變量之間的函數(shù)關(guān)系，所以只需根據(jù)幾何條件，建立函數(shù)表達式，并借助這個函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合具體幾何條件的限制，探求研究對象的最值（范圍）. 定值問題則意味著建立了一個常數(shù)函數(shù)，它不會隨著本源變量的變化而變化，從而產(chǎn)生“定值”. 按照設(shè)問方式的不同，這類問題又可以分為“證明型定值問題”和“探究型定值問題”.

例3：（2018全國卷課標(biāo)Ⅰ理，19）設(shè)橢圓C：■+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

解題過程：（1）略.

（2）若l與y軸垂直，則∠OMA=∠OMB=0，命題得證.

若l與y軸不垂直，由條件，設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入■+y2=1，整理得：

（m2+2）y2+2my-1=0.

設(shè)A（x■，y■），B（x■，y■），則y■+y■= -■，y■y■=-■.

設(shè)直線AM，BM的斜率分別為k■，k■，則原問題即證明k■+k■=0.

k■+k■=■+■=■=■=■=■·-■+■=0，命題得證.

問題分析：在本題中可以看到，k■和k■均隨著參數(shù)m的變化而發(fā)生相應(yīng)變化，所以k■和k■是關(guān)于m的非常數(shù)函數(shù)，在對k■+k■進行運算分析時，初始方向是構(gòu)建函數(shù)，最終結(jié)果是形成常數(shù)函數(shù)k■+k■=f（m）=0.

■定點與定值問題的“合流”

在數(shù)學(xué)體系中，函數(shù)與方程之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，函數(shù)與方程作為基本數(shù)學(xué)思想方法，“既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想.”■[5]雖然解決定點問題主要依托于方程，而解決定值問題主要依托于函數(shù)，但是我們不能孤立地看待函數(shù)和方程，割裂它們之間的關(guān)聯(lián)，在函數(shù)與方程思想整合下，它們的運算路徑又可以實現(xiàn)一定程度上的“合流”.

例4：（2019全國卷課標(biāo)Ⅰ文，21）已知點A，B關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，AB=4，圓M過點A，B且與直線x+2=0相切.

（1）若點A在直線x+y=0上，求圓M的半徑;

（2）是否存在定點P，使得當(dāng)A運動時，MA-MP為定值？并說明理由.

解題過程：（1）略.

（2）設(shè)A（x■，y■），B（-x■，-y■），P（m，n），則由AB=4，得x■+y■=4.

由條件知，圓M的圓心M軌跡是線段AB的垂直平分線，其方程為x■x+y■y=0，

若x■y■≠0，設(shè)Mx■，-■ （x■≠0），

則由x■+2=■，整理得x■=■.

所以MA-MP=x■+2-■=■+2-■，

令z=f（x■，y■）=■+2-■①，

則8（m-z）■-8n■+z2-4z-m2-n2+4=0②，

若z為定值，則m-z=0，n=0，z2-4z-m2-n2+4=0.從而m=1，n=0，z=1.

即存在定點P（1，0），使得MA-MP為定值1.

問題分析：本題的第（2）小問作為“探究型定值問題”，在建立起MA-MP關(guān)于x■，y■的函數(shù)（如①式所示）之后，難點在于如何取m，n的值，使得這個函數(shù)為常數(shù)函數(shù). 若把①式看作關(guān)于■的方程，并將其變形為形式②，那么，原問題就轉(zhuǎn)化為方程②對■恒成立，從而令系數(shù)8（m-z）=0，8n=0，且常數(shù)項z2-4z-m2-n2+4=0，得到坐標(biāo)P（1，0）以及定值1.

這里m=1，n=0是z=f（x■，y■）=■+2-■為常數(shù)函數(shù)的充分必要條件. 若m≠1或n≠0，則MA-MP=z=f（x■，y■）不為常函數(shù)，即MA-MP不是定值，我們就可以探究其值域（范圍）. 如當(dāng)m=n=0時，z=f（x■，y■）=■+2-■，此時MA-MP∈（0，2].

通過這個問題的分析，可以看到，方程與函數(shù)在邏輯和算理上的統(tǒng)一性，又為定點與定值問題的推理和運算提供了一個通道，從而可以實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換，形成“合流”.

參考文獻：

[1]? 高慧明. 也談解析幾何中的定點、定值問題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（5）.

[2]? 張靜，徐小琴. 高考圓錐曲線中定點與定值問題解析[J]. 理科考試研究，2020（5）.

[3]? 史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[4]? 教育部考試中心編. 高考理科試題分析：2018年版，語文、數(shù)學(xué)、英語分冊[M]. 北京：高等教育出版社，2017.

[5]? 教育部考試中心編. 2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明，理科[M]. 北京：高等教育出版社，2012.