習(xí)題優(yōu)化重組，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系

李杰 彭飛

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就像通過(guò)一個(gè)門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”作業(yè)講評(píng)教學(xué)中，教師可以把孤立的習(xí)題重組起來(lái)，形成習(xí)題題組，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，通過(guò)解決題組中的問(wèn)題，幫助學(xué)生形成易于遷移的知識(shí)結(jié)構(gòu).

[關(guān)鍵詞] 習(xí)題重組;知識(shí)聯(lián)系;系統(tǒng)化

在教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)問(wèn)題，不少學(xué)生只會(huì)解決一些簡(jiǎn)單易操作的題型，當(dāng)遇到稍許綜合的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往存在找不到思路，或者思路斷裂的現(xiàn)象，學(xué)生自己將此現(xiàn)象描述為“有公式，無(wú)方法”. 筆者以等差數(shù)列為例，談?wù)勛约涸诮鉀Q上述問(wèn)題的一點(diǎn)想法，不當(dāng)之處，還請(qǐng)讀者批評(píng)指正.

■問(wèn)題呈現(xiàn)

筆者在講述等差數(shù)列時(shí)，就遇到了上述學(xué)生所描述的問(wèn)題.

例1：在等差數(shù)列{an}中，若a1=-3， 11a■=5a■-13，那么該數(shù)列前幾項(xiàng)的和最小是多少？

筆者批改本題時(shí)發(fā)現(xiàn)，絕大部分學(xué)生都能做對(duì). 經(jīng)過(guò)訪談，學(xué)生回憶了解題過(guò)程. 因?yàn)橛浀霉絘■=a■+（n-1）d，S■=na■+■，幾乎不需要經(jīng)過(guò)分析，自然就會(huì)想到先求出d，再用a■，d求出S■就可以解決了.

而當(dāng)問(wèn)題發(fā)生改變時(shí)，如：

例2：已知等差數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和為S■，若a■=12，S■>0，S■<0.

（1）求公差d的范圍;

（2）問(wèn)：S■，S■，…，S■中哪一個(gè)的值最大？并說(shuō)明理由.

同樣記得公式a■=a■+（n-1）d，S■=na■+■，不少學(xué)生在解答第二問(wèn)時(shí)思維卻不自然、不順暢了. 為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況？在作業(yè)講評(píng)教學(xué)中又該如何處理？筆者試談?wù)剬?duì)此的理解與思考.

■分析問(wèn)題，探求方案

學(xué)生在求解例1時(shí)，“只要記住公式a■=a■+（n-1）d，S■=na■+■就不需要分析，自然就會(huì)想到先求出d，再求出S■”，這是什么意思？從知識(shí)的聯(lián)系角度來(lái)看，例1中的a■，a■與a■，d有了a■=a■+（n-1）d的聯(lián)系直接可以求出d，有了S■=na■+■的聯(lián)系直接可以求出S■. 整個(gè)解題過(guò)程各個(gè)量之間的聯(lián)系簡(jiǎn)單而直接，從“已知”到“目標(biāo)”幾乎不需要拐彎，所以就很容易求解. 而對(duì)于例2，沿用原來(lái)的思路，不少學(xué)生的頭腦中各個(gè)量之間的聯(lián)系很快就會(huì)中斷，如利用a■=a■+（n-1）d的聯(lián)系，a■，d不能直接求出，從而S■就不能求出，因此S■什么時(shí)候有最值就無(wú)法得知.

通過(guò)調(diào)查研究，筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生的思路是，表示S■總是想著一定要具體求出a■，d的值，或者在求解二次函數(shù)的最值時(shí)總是希望求出二次函數(shù)具體的解析式. 通過(guò)筆者對(duì)上述問(wèn)題的思考，筆者認(rèn)為學(xué)生對(duì)知識(shí)是淺層次的理解，往往只能應(yīng)對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題;如若學(xué)生能打破知識(shí)間的隔閡，對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系有深刻的理解，不再是只看到表層知識(shí)，那么對(duì)綜合問(wèn)題的求解就會(huì)越有利. 因此可以從打破學(xué)生頭腦中知識(shí)間的隔閡，加強(qiáng)知識(shí)間聯(lián)系的角度出發(fā)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

問(wèn)題解決當(dāng)然也不能離開(kāi)好的問(wèn)題■[1]，數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就像通過(guò)一個(gè)門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”作業(yè)講評(píng)教學(xué)中，教師就可以把孤立的習(xí)題重組起來(lái)，形成新的問(wèn)題、好的問(wèn)題，去幫助學(xué)生挖掘出問(wèn)題的各個(gè)方面，讓學(xué)生形成聯(lián)系豐富的知識(shí)體系.

■習(xí)題重組，試探前行

作業(yè)中的習(xí)題編排，一般由易到難，循序漸進(jìn)，有時(shí)為了避免知識(shí)點(diǎn)的重復(fù)，會(huì)把類似的問(wèn)題分散編排. 作業(yè)講評(píng)之前，需要根據(jù)學(xué)生的完成情況，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握得怎么樣、知識(shí)結(jié)構(gòu)是否良好. 作業(yè)講評(píng)時(shí)，可以根據(jù)學(xué)生掌握的情況，把相關(guān)習(xí)題集中編排，形成結(jié)構(gòu)良好的習(xí)題組.這樣有助于學(xué)生從整體上重新審視作業(yè)中的這些知識(shí)點(diǎn)，溝通與相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，加深對(duì)知識(shí)的理解，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而有利于問(wèn)題的解決. 現(xiàn)將習(xí)題重新組織呈現(xiàn)如下：

例3：（1）在等差數(shù)列{a■}中，若a■= -3，11a■=5a■-13，那么該數(shù)列前______項(xiàng)和最小.

（2）已知等差數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和為S■，若a■=12，S■>0，S■<0.

①求公差d的范圍;

②問(wèn)：S■，S■，…，S■中哪一個(gè)的值最大？并說(shuō)明理由.

（3）在等差數(shù)列{a■}中，a■=13且S■=S■，那么n取何值時(shí)，S■取最大值？

（4）若{a■}是等差數(shù)列，S■為前n項(xiàng)和，且S■S■，求n為何值時(shí)S■有最值.

（5）設(shè)等比數(shù)列{a■}滿足a■+a■=10，a■+a■=5，求a■a■…a■的最大值.

■教學(xué)過(guò)程，片段展示

1. 片段一

師：同學(xué)們，以上幾題是我們最近作業(yè)中的關(guān)于S■最值的問(wèn)題，有同學(xué)反映“記得公式，但沒(méi)有方法”. 今天我們準(zhǔn)備通過(guò)這幾道題深入思考，看能否從中獲得關(guān)于相關(guān)知識(shí)與方法的更深刻的理解.

師：在批改過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)絕大部分同學(xué)都能解決第一道題，下面的幾題有不同程度的困難. 其實(shí)，解決下面幾題的方法、想法都能在第一題的解法中找到，我們需要好好挖掘一下這個(gè)寶藏. 先請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)第一題的解法和想法.

生1：我先把公差d求出來(lái)了，等于■;然后把S■表示出來(lái)了，是S■=■n2-■n;求出對(duì)稱軸n■=5.9，取最靠近的整數(shù)，所以當(dāng)n=6時(shí)S■最小.

師：不錯(cuò)，你能說(shuō)說(shuō)想法嗎？

生1：要求S■什么時(shí)候最小，我就先把S■表示出來(lái)，是關(guān)于n的二次函數(shù)，從函數(shù)的角度來(lái)看，就是要找到其對(duì)稱軸，數(shù)列中n只能取整數(shù)，所以取最靠近的6就解決了.

師：解決得很好，其他同學(xué)也是這么解決的嗎？

生：是的. （異口同聲，說(shuō)明大部分學(xué)生都是這樣的）

師：這么好的方法，為什么不用到第二個(gè)題目中來(lái)呢？再找一位同學(xué)來(lái)說(shuō)一下.

（第二題的第一問(wèn)學(xué)生基本上都做對(duì)了，其結(jié)果是-■

生2：我本來(lái)也是想用同樣的方法，從函數(shù)的角度來(lái)解決第二問(wèn)的，可是遇到了問(wèn)題.

師：什么問(wèn)題？能否跟第一題做個(gè)比較.

生2：我也準(zhǔn)備把S■表示出來(lái)，可是不行，第一題之所以能表示S■是因?yàn)閍■，d都能求出來(lái)，而第二題中的a■，d都求不出來(lái)，所以就不行了.

2. 片段二

師：原來(lái)如此，我們一起來(lái)反思一下這個(gè)問(wèn)題，你認(rèn)為a■，d不能求出來(lái)，S■就不能被表示出來(lái)，對(duì)嗎？

生2：是的，求不出來(lái)值就不能表示……（停頓、思考）好像字母也可以表示：S■=na■+■=■n2+a■-■n，可是表示出來(lái)也不能解決……

師：我們?cè)賮?lái)回顧一下目標(biāo)，從函數(shù)的角度來(lái)看，S■什么時(shí)候取最值，關(guān)鍵是看什么？

生2：由于S■是二次函數(shù)，所以關(guān)鍵是看開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，由于d<0，所以開(kāi)口向下，對(duì)稱軸n■=-■=■-■，可是a■，d沒(méi)有具體的數(shù)值而且是兩個(gè)字母……

師：是不是一定要求出具體的數(shù)值才可以？這兩個(gè)字母有沒(méi)有聯(lián)系？

生2：由于a■=12，則a■+2d=12，兩個(gè)字母有聯(lián)系，可以消去一個(gè)，n■=■-■，由于d有范圍，所以可求得n■的范圍是（6，6.5）. 噢，所以當(dāng)n=6時(shí)，S■取最大值.

師：很不錯(cuò)，看來(lái)目標(biāo)很重要，而且字母并不可怕，字母也是數(shù)，是可以變化的數(shù).

師：上述過(guò)程我們是否可以再進(jìn)行優(yōu)化呢？我們?cè)賮?lái)研究一下上述過(guò)程中用到的S■的公式：S■=na■+■=■n2+a■-■n，這個(gè)公式從函數(shù)的角度來(lái)看，d≠0的情況下，一定是二次函數(shù)，大家能畫(huà)出它的簡(jiǎn)圖嗎？看看有什么特點(diǎn).

生：如圖1、圖2所示. d>0時(shí)，開(kāi)口向上;d<0時(shí)，開(kāi)口向下時(shí)，并且圖像都過(guò)（0，0）.

師：很好，本題已知d<0時(shí)，開(kāi)口向下，關(guān)鍵是對(duì)稱軸，能否在圖上標(biāo)出S■，S■，并建立對(duì)稱軸與S■，S■的關(guān)系呢？

生2：從圖3可知，可用函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)0，n■表示對(duì)稱軸n■=■=■，而n■∈（12，13），則n■∈（6，6.5），所以當(dāng)n=6時(shí)，S■取最大值.

生：掌聲……？搖？搖

3. 片段三

師：從上述的解題中，我們挖到了很多寶藏. 比如，要求S■的最值，可以從函數(shù)的角度來(lái)解決，如果是二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，可以從代數(shù)的角度來(lái)表示，也可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.

師：我們還能從其他角度來(lái)思考解決嗎？這個(gè)角度從哪里來(lái)呢？

生：……

師：要求S■的最值，與等差數(shù)列S■相關(guān)的公式共有哪些？

生：S■=■=na■+■，還有S■=a■+a■+…+a■.

師：剛才是從函數(shù)的角度來(lái)看，你能從一般求和角度S■=a■+a■+…+a■來(lái)說(shuō)說(shuō)S■為什么有最值嗎？

生3：S■是由一個(gè)一個(gè)的數(shù)相加得到的，如果一直加正數(shù)，那么S■會(huì)一直變大，S■沒(méi)有最大只有更大;如果一直加負(fù)數(shù)，那么S■會(huì)一直變小，S■沒(méi)有最小只有更小. 所以如果要使得S■有最大值或最小值，一定是a■變號(hào)的時(shí)候.

師：很好，其他同學(xué)覺(jué)得他說(shuō)得對(duì)嗎？

生：對(duì)的?。ㄈw）

師：現(xiàn)在可以從這個(gè)角度重新解決第一題嗎？試試看？

生：可以. 由a■=-3，d=■，可得a■=■n-■，令a■≤0，a■>0，得■

師：我們現(xiàn)在有了函數(shù)角度、一般求和角度，函數(shù)角度還有具體不同的操作，同學(xué)們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候，就需要選擇、需要優(yōu)化了. 下面請(qǐng)同學(xué)們自己試試第二、第三、第四、第五題.

最后這幾道題都有了不同的角度、不同的解法.摘錄第五題的解法如下：

方法一：設(shè){an}的公比為q，聯(lián)立方程組a■（1+q2）=10 ①，a■（q+q3）=5②，

聯(lián)立方程①②得a■=8，q=■.

所以a■=24-n.

所以a■a■…a■=2■=2-■（n-■2-■.

所以當(dāng)n=3或n=4時(shí)，a■a■…a■有最大值為64.

方法二：同方法一可得a■=24-n.

令a■≥1，0

可知{a■}中的前四項(xiàng)是大于或等于1的，第五項(xiàng)開(kāi)始大于0且小于1，其中a■=1.

所以當(dāng)n=3或n=4時(shí)，a■a■…a■有最大值為64.

■教后反思

1. 習(xí)題重組，構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)，深化知識(shí)間聯(lián)系

知識(shí)的系統(tǒng)化，是指從整體、全局或聯(lián)系中去掌握具體的概念和原理，使所學(xué)的概念和原理回到知識(shí)系統(tǒng)中應(yīng)有的位置上去[2]. 章建躍先生指出：“系統(tǒng)掌握”是指學(xué)生頭腦中有清晰的、穩(wěn)定可辨別的、遷移能力強(qiáng)的“數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”，不僅理解知識(shí)及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，而且懂得知識(shí)間的邏輯關(guān)系、聯(lián)系方式. 作業(yè)講評(píng)課如何促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)掌握課本知識(shí)？筆者覺(jué)得重新組織作業(yè)中的習(xí)題使之形成一個(gè)整體，有助于知識(shí)系統(tǒng)化. 重新組織習(xí)題時(shí)要盡量做到少而精，有梯度有聯(lián)系，其作用會(huì)深而廣. 組織習(xí)題時(shí)盡量先選擇作業(yè)中已有的習(xí)題，以達(dá)到資源利用的最大化，同時(shí)時(shí)間的使用也最經(jīng)濟(jì). 若作業(yè)中習(xí)題不能組織成結(jié)構(gòu)良好的題組，則可以適當(dāng)補(bǔ)充習(xí)題或變式，使之形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu).這樣在講評(píng)作業(yè)時(shí)也可以突出重點(diǎn)、詳略得當(dāng)，而不需要面面俱到. 系統(tǒng)掌握知識(shí)，聯(lián)系緊密而深刻，牽一發(fā)而動(dòng)全身，有利于知識(shí)運(yùn)用時(shí)得以提取和遷移.

2. 習(xí)題重組，自然習(xí)得，助學(xué)生更易學(xué)

自然的過(guò)程指的是自然的思維過(guò)程. 怎樣的思維過(guò)程才自然呢？比如：（1）來(lái)源于學(xué)生的想法是自然的，學(xué)生的想法有時(shí)候可能并不能完全解決問(wèn)題，但是肯定接地氣，有群眾基礎(chǔ)，不要急于否定，多從學(xué)生的角度看問(wèn)題，一定有其合理的地方，加以發(fā)展和改進(jìn)，從而自然過(guò)渡到正確的思路上來(lái). 同時(shí)，學(xué)生也能感到老師的尊重和重視，從情感上產(chǎn)生更大的投入，也非常有利于學(xué)好數(shù)學(xué). （2）來(lái)源于課本知識(shí)的想法是自然的，有時(shí)候老師提出的想法或方法，會(huì)讓學(xué)生有一種“魔術(shù)師帽子中拎出來(lái)一只兔子”的感覺(jué). 這樣提出的方法或想法就不容易學(xué)會(huì)，長(zhǎng)此以往，反而會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理，甚至產(chǎn)生厭學(xué)情緒.若能溝通與課本知識(shí)的聯(lián)系，學(xué)生會(huì)感到方法更自然，更容易接近. 例如，前面求S■最值的一般求和角度，怎么會(huì)想到的呢？因?yàn)榍皀項(xiàng)和S■=a■+a■+…+a■，那么可以從“加上一個(gè)數(shù)a■，S■是變大還是變小”這個(gè)角度來(lái)思考，類似求a■a■…a■的最大值，可以從“乘一個(gè)數(shù)a■，a■a■…a■是變大還是變小”的角度來(lái)考慮.

3. 習(xí)題重組，深度認(rèn)知，打開(kāi)學(xué)生數(shù)學(xué)思維之泉

“講的沒(méi)有考，考的沒(méi)有講”，這是不少學(xué)生在考試后會(huì)發(fā)出的感慨. 當(dāng)然這應(yīng)該也是這些學(xué)生的真實(shí)感受，但在不少老師看來(lái)，哪兒會(huì)有沒(méi)講過(guò)的東西呢，最多也就是換湯不換藥罷了.這就需要老師加強(qiáng)指導(dǎo)辨認(rèn)“藥”是怎么沒(méi)有換的，而“湯”又是如何換的. 比如，對(duì)等差數(shù)列的定義a■-a■=d的理解，很多學(xué)生認(rèn)為a■-a■=2符合等差數(shù)列的定義，{an}是等差數(shù)列;而a■-a■=2中，就看不到{a■}是等差數(shù)列了. 這時(shí)可以通過(guò)多舉幾個(gè)例子，如■-■=2，■-■=2，（n+1）a■-na■=2，等等. 讓學(xué)生回歸到等差數(shù)列的定義，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)常數(shù)，這里的“后一項(xiàng)”與“前一項(xiàng)”的內(nèi)容（湯）可以換，但實(shí)質(zhì)（藥）沒(méi)有換. 當(dāng)然，隨著理解的深化，將來(lái)定義中的d也是可以換的，但由定義推導(dǎo)an的過(guò)程方法還可以繼續(xù)使用. 加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，相當(dāng)于建立四通八達(dá)的渠道，可以更容易引到源頭活水，甚至還可以引到更優(yōu)質(zhì)的水源. 比如，在學(xué)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式時(shí)，加強(qiáng)從函數(shù)的角度看數(shù)列，將來(lái)解決問(wèn)題時(shí)可以活化從函數(shù)角度解決問(wèn)題的思路，在此基礎(chǔ)上如果能夠再加強(qiáng)目標(biāo)與已知之間的聯(lián)系，可以優(yōu)化解題過(guò)程，減少解題長(zhǎng)度，獲得對(duì)知識(shí)的深刻理解.

作業(yè)是課堂的延伸和補(bǔ)充，講評(píng)的意義在于加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力，對(duì)學(xué)生和教師都有非常積極的意義.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 趙峰.一題多變導(dǎo)數(shù)題[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2015（Z2）.

[2]? 章建躍. 數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 浙江教育出版社，2017.