精心設(shè)計(jì)問題，加深概念理解

李福蓮

問題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn).教師要在探究內(nèi)容和設(shè)問層次上進(jìn)行深入分析研究，以確保課堂中在教師的組織啟發(fā)下，師生之間、學(xué)生之間共同深入探討，提高數(shù)學(xué)課堂效率.以下結(jié)合《數(shù)學(xué)歸納法》的這一節(jié)課的內(nèi)容及設(shè)計(jì)進(jìn)行分析，談?wù)勛约旱囊恍├斫?

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

問題 2：你怎么得到an表達(dá)式的？這個(gè)表達(dá)式正確嗎？

學(xué)生：從特殊概括出一般的推理，即歸納推理.因此前4項(xiàng)是正確的，后面的某一項(xiàng)都要逐個(gè)驗(yàn)證，并不能肯定對所有的正整數(shù)n都成立.

問題3：在這個(gè)問題中，如果嚴(yán)格證明需要驗(yàn)證無限次，有什么辦法解決呢？

設(shè)計(jì)意圖：由問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想的過程，學(xué)生由歸納推理猜想出結(jié)論，但是結(jié)論未必正確，學(xué)生遇到了困難：不可能一一進(jìn)行驗(yàn)證.為解決這個(gè)問題，學(xué)生就在思考怎么用有限次的步驟來證明這個(gè)難點(diǎn)，這樣就形成了主動(dòng)尋求知識(shí)的動(dòng)力.

二、感受生活，探索解決方法

以多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)為例，教師先播放自制的“多米諾骨牌”實(shí)驗(yàn)一：視頻中在一只手推倒第一塊后所有的多米諾骨牌能全部倒下.

問題4：如果桌上現(xiàn)有n塊直立的骨牌，試探究：怎樣才能讓所有的骨牌倒下？

學(xué)生：要保證前一塊倒下時(shí)，一定導(dǎo)致后一塊倒下，也就是說骨牌的高度要小于兩塊骨牌的間距.

教師展示動(dòng)畫實(shí)驗(yàn)二：在該實(shí)驗(yàn)中，第2塊骨牌和第3塊骨牌的間距拉大，其他間距不變.教師用手推倒第1 塊骨牌，結(jié)果只倒下第1和第2塊骨牌，實(shí)驗(yàn)失敗.

實(shí)驗(yàn)三：在該實(shí)驗(yàn)中，第3塊骨牌和第4塊骨牌的間距拉大，其他間距不變.教師用手推倒第1 塊骨牌，結(jié)果只倒下第1、2、3塊骨牌，實(shí)驗(yàn)失敗.

問題5：對比實(shí)驗(yàn)二、三和實(shí)驗(yàn)一，討論實(shí)驗(yàn)失敗的原因，如何用數(shù)學(xué)語言描述上述結(jié)論？

學(xué)生：假設(shè)第k塊倒下，則第k+1塊也倒下.

教師展示動(dòng)畫實(shí)驗(yàn)四：在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距和實(shí)驗(yàn)1相同，教師用手推第1塊骨牌，沒有推倒，實(shí)驗(yàn)失敗.

問題6：對比實(shí)驗(yàn)四和實(shí)驗(yàn)一，思考實(shí)驗(yàn)中“手”的作用是什么？

學(xué)生：實(shí)驗(yàn)成功的第一個(gè)條件是：第1塊骨牌必須倒下.

師：通過這4個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)生得到了骨牌要全部倒下的條件有兩個(gè)：（1）第1塊骨牌必須倒下; （2）若第k塊倒下，則第k+1塊也倒下.

問題7：你認(rèn)為這兩個(gè)條件的作用是什么？

師生共同討論，可以得到：條件（1）是起步作用，條件（2）是遞推作用，它總是能把某一塊倒下的結(jié)果傳遞到下一塊骨牌.這樣無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）都成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)歸納法這個(gè)概念具有高度的抽象性，需要組織形象、生動(dòng)的素材，引導(dǎo)學(xué)生從素材中感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，最終產(chǎn)生遷移效果，抽象出數(shù)學(xué)歸納法原理，這個(gè)實(shí)驗(yàn)便是充當(dāng)了這樣一個(gè)角色.通過課堂觀察，對于條件（2）學(xué)生比較容易得到，只是比較難想到用數(shù)學(xué)語言描述，因此教師做了實(shí)驗(yàn)二和實(shí)驗(yàn)三啟發(fā)學(xué)生，并通過設(shè)問，讓學(xué)生理解其實(shí)條件（2）給出的就是一個(gè)遞推關(guān)系.對于條件（1）通過教師提問“手”的作用，學(xué)生可以得到，如果沒有推倒第一塊骨牌，后面的骨牌不會(huì)倒下.

三、類比遷移，感悟概念形成

教師：多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)使我們感受到了可以只要保證了條件（1）（2），就能使所有的骨牌都倒下，這使同學(xué)們興奮不已.但這并不能用來證明數(shù)學(xué)問題，需要抽象概括出其中所蘊(yùn)含的原理，才能遷移到數(shù)學(xué)問題的解決上.

問題8：那個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式的證明問題和多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)有相似之處嗎？你能通過類比解決這個(gè)數(shù)列問題嗎？

師生探索：都存在一種遞推特征，并得出下表.

設(shè)計(jì)意圖：問題10的設(shè)計(jì)主要針對左邊的表達(dá)式開始是哪一項(xiàng)、結(jié)束是哪一項(xiàng)、共有多少項(xiàng)這三個(gè)難點(diǎn)而設(shè)計(jì).問題11的設(shè)計(jì)主要是突破兩點(diǎn)，一是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析第一步該證明什么，二是引導(dǎo)學(xué)生分析從n=k到n=k+1時(shí)，左邊增加哪些項(xiàng).這些問題是學(xué)生的常見錯(cuò)誤，旨在通過培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密的邏輯推理能力.通過這些問題的分步解決，最終讓學(xué)生形成解決問題的綜合能力.設(shè)計(jì)問題時(shí)，遵循由易到難的原則，進(jìn)一步加強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的理解.

五、回顧小結(jié)，升華數(shù)學(xué)思維

教師設(shè)置4個(gè)問題：

（1）數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？

（2）數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？

（3）數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？

（4）數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的反思與提煉，再次感受數(shù)學(xué)歸納法的核心思想是遞推思想，運(yùn)用有限的手段，來解決無限的問題.并且證明過程中兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可，關(guān)鍵是在第二步，即歸納假設(shè)要用到.通過這些問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的理解再升華.

總之，教師不能以“一個(gè)定義+幾項(xiàng)注意”來進(jìn)行概念課的教學(xué)，必須在舍得在概念課上花時(shí)間，要精心設(shè)計(jì)好每個(gè)問題，并學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析、概括等過程，只有這樣，概念課的教學(xué)才能讓學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)，才會(huì)在學(xué)生的積極參考和合作探索下顯得生動(dòng)高效.

責(zé)任編輯 韋英哲