基于壓縮感知與VMD的船舶推進(jìn)軸系軸承振動(dòng)故障分析?

張 涵 萬振剛

（江蘇科技大學(xué) 鎮(zhèn)江 212000）

1 引言

在船舶推進(jìn)軸系中，軸承是船舶動(dòng)力裝置系統(tǒng)中的重要部件，因此軸承的穩(wěn)靠性對(duì)于船舶安全具有重大意義。一般在船舶推進(jìn)軸系軸承振動(dòng)狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷中，振動(dòng)信號(hào)采集都是傳統(tǒng)信號(hào)采樣方式，不僅對(duì)數(shù)據(jù)采集設(shè)備提出高要求，而且?guī)砭薮蟮臄?shù)據(jù)傳輸及存儲(chǔ)壓力。壓縮感知理論（Compressive sensing，CS）是基于Candès，Donoho 等于2006年提出的信號(hào)稀疏表示的信號(hào)采集理論。該理論指出如果信號(hào)在某個(gè)變換基上具有稀疏性，則可以通過與該變換基不相干的一個(gè)觀測矩陣得到遠(yuǎn)少于原始信號(hào)維數(shù)的“壓縮”數(shù)據(jù)，并且以高概率重構(gòu)出原始信號(hào)［1～2］。目前壓縮感知在圖形圖像處理、人臉識(shí)別［3］、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、超分辨率重構(gòu)［4］等領(lǐng)域已開展廣泛的研究，但在軸承信號(hào)的處理方面相關(guān)研究較少。

變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposi?tion，VMD）是在優(yōu)化EMD的基礎(chǔ)上提出的一種新的關(guān)于信號(hào)時(shí)頻處理的方法，它采用非遞歸的求解方式，可以自適應(yīng)的將信號(hào)進(jìn)行各模態(tài)分量的分離和頻域剖分。與EMD的分解模式不同的地方是，VMD采用的分解模式是變分、非遞歸的，這樣則避免了模態(tài)混疊現(xiàn)象而且分解信號(hào)有了更好的穩(wěn)定性［5～7］，可以在復(fù)雜的工業(yè)環(huán)境中以更好的方式來提取所處理信號(hào)的關(guān)鍵信息，已經(jīng)在風(fēng)電機(jī)組故障診斷、滾動(dòng)軸承故障診斷［8］等方面成功應(yīng)用。因此本文在針對(duì)VMD在提取信號(hào)故障特征方面的這一優(yōu)越性能，提出了一種基于壓縮感知及VMD結(jié)合的船舶推進(jìn)軸系軸承故障診斷方法。

2 壓縮感知原理

2.1 信號(hào)的稀疏表示

設(shè)Rn空間的正交基向量為，組成正交基矩陣ψ=。在Rn空間中任意向量x都可以表示為

如果信號(hào)是可壓縮的，則θ∈Rn×1中僅僅存在k個(gè)非零項(xiàng)，且k?n。即可稱θ是k-稀疏的，或者x在基Ψ上是k項(xiàng)稀疏的。

2.2 信號(hào)的觀測

通過m×n維的觀測矩陣Φ進(jìn)行信號(hào)觀測，這個(gè)過程等價(jià)于數(shù)據(jù)降維，得到觀測數(shù)據(jù)y∈Rm×1。

由于m＜n，該問題是一個(gè)欠定問題。一般會(huì)將重構(gòu)原始信號(hào)x的過程轉(zhuǎn)換成求解一個(gè)最優(yōu)化l0范數(shù)的問題，如果滿足以下兩點(diǎn)即可，其一信號(hào)x是稀疏（可壓縮）的，其二Φ若滿足約束等距性質(zhì)（Restricted Isometry Property，RIP）［9］。

2.3 信號(hào)的重構(gòu)

信號(hào)的重構(gòu)問題可以如下式描述：

即將恢復(fù)原始信號(hào)x的過程轉(zhuǎn)換成了求解l1范數(shù)最小的問題［10］。

文獻(xiàn)［11］指出，如果信號(hào) x∈Rn在正交基Ψ下的變換系數(shù)是K稀疏的，隨機(jī)測量矩陣Φ和正交基Ψ的互相干為μ(?,ψ )，則式（3）所示的問題在滿足式（4）的條件下將大概率有準(zhǔn)確解，換句話說，要想實(shí)現(xiàn)壓縮感知框架下精確的信號(hào)重構(gòu)，觀測值則必須滿足如下條件：

3 壓縮感知與VMD的綜合

基于壓縮感知與VMD相結(jié)合的故障診斷算法主要包括兩個(gè)核心部分，首先是用高斯隨機(jī)矩陣測量將要診斷的振動(dòng)信號(hào)x∈Rn，并利用觀測矩陣Φ進(jìn)行降維觀測，然后得到觀測數(shù)據(jù) y∈Rm×1，接著利用構(gòu)造的矩陣A=?ψ重構(gòu)信號(hào)；其次將重構(gòu)好的振動(dòng)信號(hào)采用VMD進(jìn)行分解，通過文獻(xiàn)［12］提及的峭度準(zhǔn)則選取出峭度值最大的模態(tài)，將其作為故障特征最敏感分量并分析其包絡(luò)譜，然后將所得包絡(luò)譜與計(jì)算所得的故障特征頻率進(jìn)行匹配，最終診斷出船舶推進(jìn)軸系故障所在。步驟如下：

1）得到觀測數(shù)據(jù) y∈Rm×1，即對(duì)原信號(hào) x∈Rn進(jìn)行隨機(jī)測量，采用觀測矩陣Φ進(jìn)行線性投影；

2）構(gòu)造重構(gòu)矩陣 A=?ψ，并且本文采用OMP算法［12］對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，即壓縮感知信號(hào)重構(gòu)可以歸結(jié)為求解l1范數(shù)最小問題，并且針對(duì)振動(dòng)信號(hào)無法預(yù)知頻域上稀疏度的問題本文采用設(shè)置停止閾值λ的方法來解決，當(dāng)信號(hào)重構(gòu)的誤差小于閾值λ的時(shí)候就停止循環(huán)，同時(shí)設(shè)定循環(huán)次數(shù)初值，當(dāng)循環(huán)次數(shù)大于該設(shè)定初值時(shí)，亦停止循環(huán)，以保證算法實(shí)時(shí)性。

OMP流程如下：

初始值：

故障特征庫A，待測樣本y，待測樣本長度M，停止閾值λ，最大循環(huán)次數(shù)為Itermax，Itermax=M。初始?xì)堄鄏0=y，初始索引集Λ0和存儲(chǔ)集Θ0均為空集。

迭代步驟（m次循環(huán)中）：

1）將待測樣本y與故障特征庫A中的每一列進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，用ηm表示最大內(nèi)積值對(duì)應(yīng)的A列數(shù)，則將ηm放入索引集Λm=Λm-1∪{ηm}，然后將A的第ηm列保存進(jìn)存儲(chǔ)集。

2）求解式子tm=mint‖-Θmt2‖y。

3）求待測樣本的逼近值 cm，更新殘差；rm=y-cm。如果‖rm‖2‖y2＞‖λ且m＜Itermax則繼續(xù)循環(huán)，否則停止循環(huán)。

最終tm和Λm均包含m個(gè)元素。t中的非零元素即為tm，Λm則表示這m個(gè)非零元素的位置。

4）用如上步驟所示的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)后，接著利用VMD進(jìn)行分解；

5）根據(jù)峭度準(zhǔn)則選取步驟三所得一系列模態(tài)分量的最大峭度值，并分析其包絡(luò)譜；

6）匹配所得包絡(luò)譜與船舶推進(jìn)軸系故障特征頻率，進(jìn)行準(zhǔn)確的故障診斷。

4 軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)的分析與驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選取美國凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心的軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)，軸承型號(hào)為SKF 6205-2RS型深溝球軸承，采用電火花加工的單點(diǎn)損傷模擬故障，故障直徑為0.1778 mm，轉(zhuǎn)速為1797 r/min，采樣頻率為12kHz，由經(jīng)驗(yàn)式（5）、（6）計(jì)算得162.18Hz、107.31Hz分別對(duì)應(yīng)軸承內(nèi)外圈的故障特征頻率。圖1為對(duì)軸承內(nèi)圈故障及正常狀態(tài)的加速度信號(hào)進(jìn)行采樣后得到的兩種狀態(tài)的時(shí)域頻域波形。由圖得，發(fā)生故障時(shí)振動(dòng)幅值增大顯著，而且時(shí)域信號(hào)有明顯的周期脈沖成分。

式中：n為滾動(dòng)體數(shù)目；d為滾動(dòng)體直徑；D為軸承節(jié)徑。

表1 深溝球軸承的規(guī)格信息

本文研究軸承振動(dòng)信號(hào)測量和重構(gòu)時(shí)，稀疏矩陣使用DCT變換矩陣，高斯隨機(jī)測量作為觀測矩陣，在利用OMP重構(gòu)過程中，λ的取值與重構(gòu)信號(hào)和原始信號(hào)的能量差成正比，但與計(jì)算法雜度成反比，為了選取最優(yōu)λ，令其取不同的值，研究重構(gòu)信號(hào)的VMD分量包絡(luò)譜故障頻率的識(shí)別情況。

圖1 軸承正常狀態(tài)與故障狀態(tài)時(shí)頻域圖

由圖2看出，令閾值 λ分別取0.001、0.01、0.1，特征頻率均可以清晰地被識(shí)別出來，因此在不影響故障識(shí)別效果的情況下，可以適當(dāng)選取較大的閾值λ提高重構(gòu)效率。

圖2 重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜特征頻率識(shí)別效果

在壓縮感知中，觀測量與信號(hào)重構(gòu)精確率成正比，即觀測量M越大，投影所得信號(hào)中原始信號(hào)信息越多，M越小則相反。為了得到最佳的觀測量，研究采用壓縮感知算法時(shí)在不同的壓縮比下的重構(gòu)效果，定義壓縮比C=M/N。如式（7）所示，采用文獻(xiàn)［8］給出的匹配度衡量重構(gòu)效果：

其中，X為原始信號(hào)，X?為重構(gòu)信號(hào)。

易知匹配度取值范圍是0～1，即重構(gòu)精確度越大，匹配度值越接近1。由如圖3可看出重構(gòu)信號(hào)的匹配度與壓縮比成正比關(guān)系。由此可得，存在最佳觀測值既能滿足較高的信號(hào)重構(gòu)率同時(shí)又可以減少重構(gòu)的復(fù)雜度。

圖3 匹配度隨壓縮比變換曲線

綜上，取長度N為4096軸承內(nèi)圈故障信號(hào)，測量數(shù)M取2048，即壓縮比C=0.5。首先構(gòu)造2048×4096的高斯隨機(jī)測量矩陣Φ，構(gòu)造重構(gòu)矩陣 A=?ψ ，用OMP進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，在OMP中，令閾值λ=0.05，得到壓縮重構(gòu)后的軸承內(nèi)圈故障信號(hào)，接著用VMD處理重構(gòu)信號(hào)，如圖4所示。

圖4 VMD分解重構(gòu)信號(hào)的各模態(tài)分量時(shí)頻域波形

經(jīng)VMD分解得到的各模態(tài)分量頻帶沒有出現(xiàn)混疊，且各時(shí)域圖沖擊比較明顯，頻域圖中顯示了對(duì)原信號(hào)從低頻到高頻的分解結(jié)果，根據(jù)前文所述的峭度準(zhǔn)則原則選取IMF3分量分析其包絡(luò)譜，觀察圖5所得，有兩處較明顯的峰值，分別是轉(zhuǎn)頻為58.59Hz及161.1Hz處，其中，58.59Hz對(duì)應(yīng)二倍轉(zhuǎn)頻，162.18Hz則與前文計(jì)算所得的軸承內(nèi)圈的故障特征相符。

同樣的方法，對(duì)外圈故障數(shù)據(jù)重構(gòu)，然后對(duì)重構(gòu)的故障數(shù)據(jù)VMD分解，選取峭度值最大的模態(tài)分量進(jìn)行包絡(luò)譜分析，如圖6所示，可以看出轉(zhuǎn)頻為29.3Hz，108.4Hz處有較為明顯的峰值，而108.4Hz同樣符合之前計(jì)算所得的外圈故障頻率107.31Hz。

圖5 內(nèi)圈故障信號(hào)IMF3分量的包絡(luò)譜

圖6 處理后外圈故障信號(hào)包絡(luò)譜

為了驗(yàn)證該算法的可實(shí)施性以及進(jìn)行更清晰的對(duì)比，論文對(duì)內(nèi)外圈的原始故障信號(hào)進(jìn)行了VMD分解并進(jìn)行包絡(luò)譜分析，如圖7所示。對(duì)比兩種不同數(shù)據(jù)所得的包絡(luò)譜圖，可以看到僅僅是幅值數(shù)值存在很小的差異，而故障特征頻率及轉(zhuǎn)頻數(shù)值均一致，由此驗(yàn)證了該算法的可靠性。

圖7 原始信號(hào)內(nèi)外圈故障信號(hào)包絡(luò)譜圖

5 結(jié)語

運(yùn)用本文方法對(duì)實(shí)際軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，可以有效分析出軸承故障狀態(tài)。

1）首先本文結(jié)合壓縮感知在采集信號(hào)的優(yōu)越之處不但確保了不丟失原信號(hào)的重要信息，并且很大程度上節(jié)省了數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)傳輸成本。

2）以設(shè)定閾值以及限定次數(shù)控制壓縮數(shù)據(jù)的重構(gòu)過程，可以有效兼容算法的實(shí)時(shí)性和重構(gòu)精度。

3）根據(jù)峭度準(zhǔn)則選取利用VMD分解后的重構(gòu)數(shù)據(jù)的最佳模態(tài)，分析其包絡(luò)譜，能夠準(zhǔn)確有效地識(shí)別故障。