孫桂琴
導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容,也是研究函數(shù)問題的重要工具,但在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)時(shí),同學(xué)們常常由于對(duì)相關(guān)概念理解不透徹,造成失分.本文對(duì)幾個(gè)常見的失分點(diǎn)進(jìn)行舉例說明,以期幫助同學(xué)們避免類似錯(cuò)誤的發(fā)生.
錯(cuò)解當(dāng)x≤0時(shí),f′(x)=3(x+1)2ex+1+(x+1)3ex+1=(x+1)2ex+1(x+4).令f′(x)=0,得x=-4.當(dāng)x∈(-∞,-4)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-4,0)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以x=-4為f(x)的極小值點(diǎn).
由條件可知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),所以x=4也是f(x)的極小值點(diǎn),故函數(shù)f(x)有2個(gè)極值點(diǎn).
剖析從極值點(diǎn)的定義來看,“導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)”是“極值點(diǎn)”的既不充分也不必要條件.如f(x)=x3在x=0時(shí),f′(x)=0,但x=0并不是函數(shù)的極值點(diǎn),另外函數(shù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也有可能不存在.本題中,f′(0)不存在,但x=0是函數(shù)的極大值點(diǎn),故函數(shù)f(x)共有3個(gè)極值點(diǎn).
錯(cuò)解因?yàn)辄c(diǎn)P(2,1)在曲線f(x)上,求導(dǎo)得f′(x)=3x2-4x,f′(2)=4,所以過點(diǎn)P(2,1)處切線方程是4x-y-7=0.
剖析本題所給的點(diǎn)P(2,1)雖然在曲線f(x)上,但題目所求的是過點(diǎn)P(2,1)的切線,所以點(diǎn)P(2,1)并不一定是切點(diǎn).
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則
①
在區(qū)間(-∞,2)內(nèi),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
在區(qū)間(2,+∞)內(nèi),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
綜上所述,x=2是函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn),g(2)=-e2,故a>-e2,即實(shí)數(shù)a取值范圍是
(-e2,0)∪(0,+∞).
當(dāng)x=1時(shí),f(1)=1≠0,所以f(x)沒有零點(diǎn).
當(dāng)x≠1時(shí),在區(qū)間(-∞,1)∪(1,2)內(nèi),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間(2,+∞)內(nèi),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
又因?yàn)樵?-∞,1)內(nèi),g(x)>0,所以函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-e2,0).
(1)若x=2為f(x)的極值點(diǎn),求a的值.
剖析上述解法的錯(cuò)誤之處有兩點(diǎn).
1)在第(1)問中求出a的值后,沒有檢驗(yàn).
2) 在第(2)問中應(yīng)用了放縮法,即利用不等式ex≥x+1和x≥lnx+1進(jìn)行放縮.但在使用這些不等式時(shí),應(yīng)先給出證明過程,即先證再用.
(1)若x=2為f(x)的極值點(diǎn),求a的值;
(2)若f(x)≥0在(0,+∞)恒成立,求a的取值范圍.
圖1
錯(cuò)解由f(x)=aex-lnx-1,可得
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,f(1)=ae-1<0,不符合題意.
fmin(x)=f(x0)=aex0-lnx-1.
導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的失分點(diǎn),不只本文所述的幾種類型,希望廣大教師要根據(jù)不同的題目針對(duì)典型錯(cuò)誤進(jìn)行歸納總結(jié),以幫助同學(xué)們有效糾錯(cuò)、避錯(cuò).