基于GARCH 族模型的美國納斯達克指數(shù)波動率研究

汪強WANG Qiang

（安徽財經(jīng)大學，蚌埠233000）

0 引言

波動率是金融領域研究的重要問題，在金融建模中很多學者都將波動率作為重要的因素放在模型中。如何更好地刻畫波動率的變動規(guī)律，是金融研究不斷努力的方向。納斯達克證券交易所是美國三大證券交易所之首，也是全球四大證券交易所之一，自1971年產(chǎn)生以來，證券交易規(guī)模逐漸擴大，到2000年已有5000 家公司在其上市。在納斯達克市場的公司主要包括信息軟件、生物技術(shù)、金融等行業(yè)，納斯達克證券交易所為這些創(chuàng)新型企業(yè)的發(fā)展起到重要推動作用，如中國的創(chuàng)業(yè)板，納斯達克交易所是中小企業(yè)融資的好去處，微軟、蘋果等全球著名的公司都從這里起步[1]。納斯達克指數(shù)是反應納斯達克證券交易所市場行情的綜合性指標，起點是100，到2018年5月已漲到7200 點。和標普500 指數(shù)、道瓊斯指數(shù)相比，納斯達克指數(shù)還比較年輕，僅有47年歷史，它覆蓋的企業(yè)數(shù)量比標普500 指數(shù)少，風險相對集中，因此波動率較高[2]。

1 文獻回顧及實證假說

關于股指收益的波動率的研究比較豐富，Engle（1982）首次提出ARCH 模型，認為收益的波動具有持續(xù)性，可以利用當前及過去的波動率去估計未來的波動率。Bollerslev（1986）在Engle 研究基礎上提出GARCH（p，q）模型，在波動率的時間序列建模上又向前走了一步。隨后，Nelson（1989）、Glosten，Jagannathan and Runkle（1993）相繼提出EGARCH 模型和CJR GARCH-M 模型，并使用這些模型做了實證研究。GARCH 族模型被中國學者廣泛使用，如陳浪南等（2002）利用CJR GARCH-M 模型研究“好消息”與“壞消息”對深圳證券交易所股市波動影響，他認為中國股市存在明顯“政策市”特征，通過不同時期的政策將股市發(fā)展分為三個階段，并得出1993-1997年“好消息”比“壞消息”對中國股市波動影響大的獨特現(xiàn)象[3]。

國內(nèi)學者對中國股市波動率做了很多研究，宋逢明等（2003）使用多種波動率模型研究中國股市的波動特征，并考慮了漲跌停板制度對股市波動率的影響及股市波動率的絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性[4]。學者還關注到股市之間的溢出效應，陳守東等（2003）運用Granger 因果檢驗及GARCHM 模型對滬深兩市波動的關聯(lián)性進行實證研究，結(jié)果是深圳波動的溢出效應更明顯，其波動對上海股市的收益率和波動率影響更大[5]。楊飛虎等（2011）在金融危機背景下建立VAR-GARCH-BEKK 模型對中國股市、香港股市、美國股市和日本股市之間波動的溢出效應做了實證研究[6]。

通過以上文獻回顧和對股指波動的規(guī)律研究可知，尖峰厚尾、對稱性和風險溢價等是波動率特征研究的重要內(nèi)容，本文據(jù)此對納斯達克指數(shù)提出三個實證假說：H1.收益率分布具有尖峰厚尾特征，不服從正態(tài)分布；H2.“好消息”和“壞消息”對波動率的影響不對稱，且“壞消息”對波動率的影響更大；H3.收益率和波動率正相關，即存在風險溢價。

2 數(shù)據(jù)與模型

2.1 數(shù)據(jù)

從雅虎金融網(wǎng)選用美國納斯達克指數(shù)2014年5月19日到2018年5月18日共1009 個數(shù)據(jù)，時間跨度四年。該時期沒有受到較大的金融危機等大波動影響，對未來波動率預測具有重要參考價值。在交易時間內(nèi)股票指數(shù)每分每秒都在波動，本文僅選用每日的收盤價作為當天的價格情況。2014年5月19日指數(shù)為4125.81，到期末2018年5月18日指數(shù)為7354.34，這段時期股票價格指數(shù)基本隨時間呈遞增趨勢，從長期來看這時期股市上漲，股指收益率正多于負，平均收益率為正。股指數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征：平均值為5422.81，最大值為7588.32，最小值4096.89，不服從正態(tài)分布。

2.2 均值和波動率模型

股票價格指數(shù)屬于時間序列數(shù)據(jù)，一般使用時間序列計量模型擬合數(shù)據(jù)變動情況。當前擬合股票價格收益率均值較廣泛的模型是ARMA（p，q）：

其中，{εt}是白噪聲序列，p 是自回歸項滯后階數(shù)，q 是移動平均項滯后階數(shù)，βi（i=0，1，…，p）和θj（j=0，1，…，q）為待估計參數(shù)。在使用該模型前，必須保證時間序列為平穩(wěn)序列。該模型可以擬合時間上的相關性，但是不能刻畫時間序列的波動性動態(tài)變化情況及集聚現(xiàn)象[7]。RACH（p）模型可以解決這個問題：

p 是擾動項εt平方的滯后階數(shù)，αi（i=0，1，…，p）是待估計參數(shù)。

為了減少樣本的損失及估計的有效性，Bollerslev（1986）提出GARCH（p，q）模型，該模型能更準確預測未來的條件異方差，模型公式如下：

考慮到“好消息”與“壞消息”對股市波動性影響的差異，TARCH 模型和EGARCH 模型相繼被提出，其中EGARCH（1，1）模型方程如下：

收益率和波動率存在相關性，高風險往往意味著高收益，作為對投資者承擔高風險的一種補償。即在收益率均值模型中加入波動項：

3 實證結(jié)果及分析

3.1 收益率均值模型

①序列統(tǒng)計特性。通過對1009 個納斯達克指數(shù)一階對數(shù)差分求得納斯達克指數(shù)收益率，通過EViews8.0 求得該收益率序列的統(tǒng)計特性，如表1。納斯達克指數(shù)2014年5月-2018年5月的收益率平均值為0.000573，單日股指變動率即收益率最大值為4.15%，最小值為-4.20%，標準差0.0094。收益率序列偏度系數(shù)-0.5656 小于0，最在左偏厚尾，峰度系數(shù)5.5679 大于3，存在嚴重的尖峰現(xiàn)象。通過對該收益率正態(tài)性的BJ 檢驗可得，BJ 統(tǒng)計值330.68，P 值0.0000，拒絕原假設收益率服從正態(tài)分布。

表1 收益率序列統(tǒng)計特性

②時間序列均值模型。時間序列數(shù)據(jù)建模需檢驗序列的平穩(wěn)性，通過EViews8.0 對1008 個收益率序列做ADF單位根檢驗可得t 統(tǒng)計量-31.77，對應的P 值接近于0，說明該序列不存在單位根滿足平穩(wěn)性。檢驗序列的自相關和偏自相關系數(shù)，如表2 所示，該模型滯后10 期自相關系數(shù)均落在兩倍標準差以內(nèi)，P 值都明顯大于0?？芍撌找媛市蛄胁淮嬖谛蛄械淖韵嚓P，因此收益率模型：

其中μ 為0.000573，εt為隨機誤差項。該時間序列模型擬合曲線為：

表2 收益率序列滯后10 期的AC 和PAC

3.2 波動性模型

①滯后期。使用GARCH（p，q），通過EViews8.0 對殘差序列et=Rt-0.000573 建模。通過對不同滯后期結(jié)果的檢驗，確定最優(yōu)的模型。如表3，從AIC 信息準則看，GARCH（1，2）模型的AIC 值最小，該模型最優(yōu)；從SC 信息準則看GARCH（1，1）模型的統(tǒng)計值最小，模型擬合最優(yōu)。這三個模型的參數(shù)估計均顯著，且通過對這些模型殘差進行ARCH-LM 檢驗，這些模型殘差不存在ARCH 效應。本文最終采用使用最廣泛、估計參數(shù)最少的GARCH（1，1）模型。其估計結(jié)果如下：

表3 GARCH 族模型估計結(jié)果

②非對稱性。“好消息”和“壞消息”對股指收益率波動影響可能不同，本文建立TARCH（1，1）模型，該模型的AIC 和SC 統(tǒng)計值明顯比GARCH（1，1）要小，且模型估計參數(shù)顯著，說明條件方差確實存在非對稱性。再建立EGARCH（1，1），如表3，EGARCH（1，1）的模型參數(shù)通過檢驗，建模效果良好。

εt服從正態(tài)分布，括號為參數(shù)的標準差。該模型估計參數(shù)在1%置信水平下均顯著，其中“EARCH”項系數(shù)是“EARCH_a”項系數(shù)的3 倍，說明該收益率序列存在明顯的非對稱性。“EARCH”項系數(shù)為負，好消息對序列波動性的影響要小于壞消息，該實證結(jié)果符合經(jīng)驗假設。從歷史經(jīng)驗看，美國納斯達克指數(shù)在1995-2002年呈現(xiàn)增長趨勢，從1000 點起步，在五年多的時間里增長到5000 點，然后僅僅經(jīng)過兩年半的時間又跌回1000 點。該指數(shù)下跌速度是上漲速度的兩倍。我國2014-2015年經(jīng)歷了一次股市熱，2014年9月到2015年6月上證綜合指數(shù)從2300 點漲到5000 點，然后在短短三個月內(nèi)又跌回到3000 點。種種經(jīng)驗數(shù)據(jù)表明，好消息對股市的波動影響相對緩慢，這種現(xiàn)象跟投資者風險厭惡有很大關系。人們對價格下跌更敏感，在面對股票價格下跌時，投資者紛紛想賣出股票以求減少虧損。

③尖峰厚尾。收益率序列經(jīng)常出現(xiàn)的尖峰肥尾現(xiàn)象，尖峰肥尾產(chǎn)生的原因就是收益率的波動具有“集聚性”和“持續(xù)性”，在收益率靜態(tài)分布上就會出現(xiàn)這種現(xiàn)象。假定收益率均值模型殘差不服從正態(tài)分布而分別服從t 分布和GED 分布，建立EGARCH（1，1）-t 模型和EGARCH（1，1）-GED 模型。這兩個模型估計參數(shù)均顯著，在1%置信水平上都通過檢驗。通過分析，AIC 和SC 統(tǒng)計值小于EGARCH（1，1），其中EGARCH（1，1）-t 模型擬合條件方差方程結(jié)果如下：

其中εt服從t 分布。該模型估計參數(shù)結(jié)果與εt服從正態(tài)分布估計結(jié)果大小差距較小，但SC 統(tǒng)計值比后者更小?？紤]到表1 收益率序列的統(tǒng)計特征，本文認為EGARCH（1，1）-t 模型和EGARCH（1，1）-GED 模型能更好地預測條件異方差[9]。

④風險溢價。根據(jù)金融投資理論，風險和收益往往成正比，即存在風險溢價。建立EGARCH（1，1）-M 模型，在收益率方程中添加σt項，該項參數(shù)的數(shù)值為正說明收益率與股價波動率正相關，參數(shù)越大，相關性越大；反之負相關參數(shù)越小，相關性越大。根據(jù)實證結(jié)果，參數(shù)估計為0.040，納斯達克指數(shù)收益率與其波動正相關，但估計參數(shù)不顯著沒有通過檢驗，P 值只有0.174。根據(jù)數(shù)據(jù)和以上分析可知，“壞消息”對股指波動率影響更大，高風險可能對應負收益率，因此估計參數(shù)沒有通過檢驗。但是如果用靜態(tài)分析，不同個股的收益和波動往往正相關，即存在風險溢價，這是理性投資者的選擇結(jié)果。

3.3 條件異方差預測

通過以上分析，EGACH（1，1）-t 模型能夠很好的描述納斯達克指數(shù)收益波動率的動態(tài)變動過程，本文利用EViews8.0 預測1008 個交易日的條件異方差如圖1。條件異方差的均值為0.0000945，標準差0.00008。2015年6月到2016年初納指的變動幅度較大，2018年以來納指的變動也比較大。這與圖1 預測的條件方差基本吻合，說明EGACH（1，1）-t 模型條件方差樣本內(nèi)預測效果較好[10]。

圖1 EGACH（1，1）-t 模型條件異方差預測

4 結(jié)論與政策建議

美國股票市場有著百年的發(fā)展歷史，市場機制比我國成熟很多，且美國投資者以機構(gòu)投資者為主而中國以私人投資者為主，這些特點均表明美國的證券市場更穩(wěn)定、有吸引力。本文的研究意義是通過以上的定量研究，有助于投資者根據(jù)當前的股市波動來管理好股市風險達到最優(yōu)的投資目標，以及關于納指風險測度的進一步研究[11]。本文利用統(tǒng)計軟件EViews8.0 對納斯達克指數(shù)時間序列做ARCH 效應檢驗，結(jié)果表明：納斯達克指數(shù)收益率序列平穩(wěn)且序列無自相關性，因此無法利用過去價格對未來納斯達克指數(shù)做出預測。而收益率序列波動率存在ARCH 效應，可通過過去波動情況對未來做出預測，因此適合建立GARCH 族模型對收益率波動性建模，并估計模型的具體參數(shù)。

利用GARCH 族模型分別從滯后期、非對稱性、尖峰厚尾和風險溢價四個方面對波動率的實證假設做出檢驗，納斯達克指數(shù)波動率具有如下特征：①納斯達克指數(shù)收益波動具有“積聚性”和“持續(xù)性”，收益率靜態(tài)分布具有尖峰厚尾特征，不服從正態(tài)分布；②“好消息”和“壞消息”對波動率的影響不對稱，且“壞消息”對波動率的影響更大，這與假設相一致；③納斯達克指數(shù)收益率和波動率正相關特征不顯著，即不存在明顯的風險溢價。根據(jù)以上納指波動率特征以及參數(shù)顯著性等各方面檢驗，本文最佳的波動率模型是EGARCH（1，1）-t，它能精確地刻畫納斯達克指數(shù)動態(tài)波動規(guī)律，其預測的條件異方差效果良好。