一種基于改進(jìn)辛幾何模態(tài)分解的復(fù)合故障診斷方法

楊宇，程健，彭曉燕，潘海洋，程軍圣

（湖南大學(xué)機(jī)械與運載工程學(xué)院，湖南長沙410082）

齒輪、滾動軸承等零部件作為機(jī)械設(shè)備的核心元素，其狀態(tài)好壞直接關(guān)系到整個機(jī)械設(shè)備的運轉(zhuǎn)性能.當(dāng)前，針對這種現(xiàn)象學(xué)者們已經(jīng)開展研究，并取得了一定的成果.但是大多學(xué)者只針對某單一故障進(jìn)行研究，卻忽視了復(fù)合故障存在的可能性.當(dāng)機(jī)械設(shè)備出現(xiàn)復(fù)合故障時，多種故障信號相互耦合以及在強噪聲的干擾下使得故障類型分析難度加大[1].因此，需要采用合適的信號分析方法提取出有效的故障信息進(jìn)行分析.

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）[2-3]方法作為一種典型的信號分析方法，可以將待分析信號分解為若干個有意義的內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）之和.IMF分量的頻率受采樣頻率的影響，同時也隨著原始信號的變化而變化，通過迭代和極值點包絡(luò)可以有效地從待診斷信號中提取出含有故障信息的分量信號.因此EMD方法是一種自適應(yīng)的信號分析方法，適合用于處理非平穩(wěn)信號.局部特征尺度分解（Local Characteristic-scale Decomposition，LCD）[4-5]方法是近幾年提出的一種新方法，該方法借鑒EMD的思想通過設(shè)置基線信號將信號分解成多個內(nèi)稟尺度分量（Intrinsic Scale Component，ISC）之和.與EMD方法相比，該方法運算速度大大提高，信號處理效率得到明顯提升，適用于在線監(jiān)測.雖然EMD和LCD在處理非平穩(wěn)信號以及運算效率方面具有一定的優(yōu)勢，但它們同樣也存在著許多難以克服的缺點，如端點效應(yīng)和模態(tài)混疊等.對此，相關(guān)學(xué)者已經(jīng)做出大量研究工作，并提出相應(yīng)的改進(jìn)方法，抑制了端點效應(yīng)、模態(tài)混疊等現(xiàn)象，但是又帶來了新的不足.例如提出的集合模態(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）方法一定程度上抑制了模態(tài)混疊現(xiàn)象，但增加了計算量，同時無法完全中和添加的白噪聲，使EEMD不具有完備性.

近年來，隨著辛幾何譜分析（Symplectic Geometry Spectrum Analysis，SGSA）[6-8]方法的提出，許多學(xué)者對其做了大量研究.該方法是一種基于辛幾何的信號分析方法，其核心是通過辛幾何相似變換在不改變原時間序列本質(zhì)特征的基礎(chǔ)上獲得相應(yīng)的辛幾何分量.SGSA方法具有較強的抗噪能力，在處理非平穩(wěn)故障信號中有著較好的效果，但它同時也存在著自身的不足，主要有以下兩點：第一，無法自適應(yīng)地選擇嵌入維數(shù)構(gòu)造軌跡矩陣；第二，當(dāng)進(jìn)行辛幾何重構(gòu)時，該方法利用周期、頻率等相似性來重構(gòu)出最終的辛幾何分量，并需要人為設(shè)置終止條件.這些不足會導(dǎo)致最終的分析結(jié)果具有不確定性，嚴(yán)重影響辛幾何譜分析方法的推廣.針對第一點不足，Pan等[9]將辛幾何模態(tài)分解（Symplectic Geometry Mode Decomposition，SGMD）方法應(yīng)用于故障診斷，采用功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）方法自適應(yīng)地確定嵌入維數(shù)，從而消除了人為設(shè)置嵌入維數(shù)給結(jié)果帶來的不確定性.但其辛幾何分量的構(gòu)造依然采用頻率和相關(guān)系數(shù)相似度，同時也需要人為地設(shè)置迭代終止條件.該缺陷將導(dǎo)致SGMD方法所得到的最終分析結(jié)果依然存在著一定的不確定性.針對SGMD方法的這一缺陷，本文提出了一種改進(jìn)的辛幾何模態(tài)分解（Improved Symplectic Geometry Mode Decomposition，ISGMD）方法，該方法首先對待分析的時間序列信號進(jìn)行相空間變換，獲得軌跡矩陣；其次將軌跡矩陣進(jìn)行辛幾何相似變換求出特征值，所求特征值對應(yīng)的特征向量經(jīng)過重構(gòu)得到具有原始信號完整結(jié)構(gòu)信息的辛幾何分量矩陣；然后對辛幾何分量矩陣做對角平均化得到一系列的初始辛幾何分量；最后采用層次聚類方法對初始辛幾何分量進(jìn)行自適應(yīng)重組，進(jìn)而得到最終的聚類辛幾何分量（Cluster Symplectic Geometry Component，CSGC）.

本文利用層次聚類（Hierarchical Cluster）方法[10-11]不需要設(shè)置聚類的閾值就可以得到較為準(zhǔn)確的聚類結(jié)果這一優(yōu)點，將層次聚類方法引入到SGMD方法中，其目的是為了實現(xiàn)分量自適應(yīng)地重組，提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確性.基于ISGMD是一種非平穩(wěn)信號處理方法，同時可以將復(fù)合故障信號分解成若干個含有不同頻率信息的辛幾何分量的特點，本文的ISGMD方法可用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械復(fù)合故障診斷.

1 改進(jìn)的辛幾何模態(tài)分解方法

1.1 相空間重構(gòu)

令始時間序列為x={x1，x2，…，xn}，n為時間序列長度，對時間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)得X：

式中：k為嵌入維數(shù)；τ為延時時間；m=n-（k-1）τ.選擇合適的嵌入維數(shù)k和延時時間τ，可以得到相應(yīng)的重構(gòu)矩陣X.嵌入維數(shù)k過大會增加計算量，同時加大噪聲的影響；嵌入維數(shù)k過小會使數(shù)據(jù)重疊，導(dǎo)致重構(gòu)矩陣無意義[12].功率譜密度（PSD）計算簡單（只需知道原始時間序列峰值對應(yīng)的頻率），并且能夠自適應(yīng)確定嵌入維數(shù).因此，采用功率譜密度（PSD）方法確定嵌入維數(shù)[12]，并定義PSD中最高峰的頻率為Fmax，F(xiàn)s為采樣頻率.當(dāng)歸一化頻率Fmax/Fs小于0.001時，k=N/3，否則k=1.2×（Fs/Fmax）.根據(jù)重構(gòu)矩陣可以構(gòu)造Hamilton矩陣W為：

其中P=XTX.

1.2 辛幾何相似變換

正交辛矩陣Q為：

因為Q矩陣是正交辛矩陣，因此矩陣Q有著辛矩陣的性質(zhì).在辛變換的過程中，保留了Hamilton矩陣的結(jié)構(gòu)特征，所以變換后的矩陣依然是Hamilton矩陣.式（2）中H是上三角矩陣，其中Hk×k=（hij）k×k，當(dāng)i≥j+1時，hij=0.通過對矩陣W進(jìn)行變換，就可以計算出上三角矩陣H的特征值λ（H），由Hamilton矩陣的性質(zhì)可得λ（W）=λ（H），，由矩陣的性質(zhì)可知：特征值的數(shù)量為k個，所以按降序的順序排列矩陣P的特征值為σ1，σ2，…，σk，設(shè)Ai（i=1，2，…，k）為矩陣P特征值σi所對應(yīng)的特征向量，令，則可以獲得一個新的重構(gòu)矩陣，進(jìn)而重構(gòu)的相空間矩陣可以表示為：

1.3 對角平均

采用對角平均將重構(gòu)矩陣Zi（1≤i≤k）轉(zhuǎn)化為一個長度為n的辛幾何分量，經(jīng)過對角平均后，獲得可以生成k組長度為n的辛幾何分量，具體過程如下：記Zm×k=（zij）m×k，1≤i≤m，1≤j≤k，令k*=min（m，k），m*=max（m，k），n=m+（k-1）τ.當(dāng)m＜k時，否則

由式（4）可以逐一確定y1，y2，…，yn，所以就得到了與重構(gòu)矩陣Zi相對應(yīng)的一組一維長度為n的序列Yi.按照上述步驟對k個重組矩陣Zi進(jìn)行對角平均，即可獲得k組長度為n的序列Yi，對應(yīng)著原始時間序列分解出的k個不同頻帶的獨立分量.將k組序列Yi構(gòu)成新的矩陣Y，進(jìn)而對角平均所得到的初始辛幾何分量可以表示為：

1.4 分量重組

采用層次聚類方法對初始辛幾何分量Y=Y1+Y2+…+Yk進(jìn)行分析并重組.將每個一維分量Yi看成一個聚類中心ti=（Yi），構(gòu)成Y的一個聚類集合T=（t1，t2，…，tk）.然后計算T中每對聚類（ti，tj）的相似度.選取相似度最大的聚類對（ti，tj），將其合并成新的聚類td=ti∪tj，同時合并兩者所對應(yīng)的Yi和Yj，將初始辛幾何分量重新整理為Y=Y1+Y2+…+Yk-1，并生成新的聚類集合T=（t1，t2，…，tk-1）.循環(huán)上述步驟，當(dāng)聚類分組數(shù)為p時停止，此時生成p組最終的聚類辛幾何分量，并可表示為：

2 仿真信號分析

為了檢驗所提方法的有效性，采用軸承和齒輪復(fù)合故障仿真信號進(jìn)行驗證.其中軸承系統(tǒng)的固有頻率為fn=3 000 Hz，軸承故障特征頻率為fg=100 Hz，故障齒輪所在軸的轉(zhuǎn)頻為fr=40 Hz，采樣頻率為8 192 Hz，采樣點數(shù)為4 096，設(shè)軸承和齒輪仿真信號模型分別為：

式中：位移常數(shù)x0=5；阻尼系數(shù)ε=0.1；ωn=2πfn；x（t）為復(fù)合仿真信號；n（t）為信噪比，其值為10 dB的高斯白噪聲.仿真信號時域波形圖如圖1所示，圖2和圖3分別為復(fù)合仿真信號的頻譜圖.

圖1 復(fù)合故障仿真信號波形圖Fig.1 The waveform of composite fault simulation signal

圖2 復(fù)合故障仿真信號頻譜圖Fig.2 The spectrum diagram of composite fault simulation signal

圖3 復(fù)合故障仿真信號包絡(luò)譜圖Fig.3 The envelope spectrum of composite fault simulation signal

圖2和圖3中，可以明顯看出軸承故障特征頻率，但是齒輪故障的特征信息（即故障齒輪所對應(yīng)的嚙合頻率及其邊頻帶）被完全掩蓋.因此，需要采用信號分析方法對復(fù)合故障信號進(jìn)行分解，以得到具有各類故障信息的分量信號.同時，為了說明ISGMD的分析效果，擬與EMD、LCD和SGMD方法進(jìn)行對比分析，4種方法的分解結(jié)果分別如圖4～圖7所示.

圖4 仿真信號EMD分解所得的分量Fig.4 The components obtained by EMD decomposition of simulation signal

圖5 仿真信號LCD分解所得的分量Fig.5 The components obtained by LCD decomposition of simulation signal

圖6 仿真信號SGMD分解所得的分量Fig.6 The components obtained by SGMD decomposition of simulation signal

圖7 仿真信號ISGMD分解所得的分量Fig.7 The components obtained by ISGMD decomposition of simulation signal

圖4～圖7為4種方法分解所得到的分量，接著對4種方法的分量信號進(jìn)行包絡(luò)譜分析.首先將分量與原信號進(jìn)行相關(guān)性分析，取4種方法分解所得的相關(guān)系數(shù)較大的前若干個分量分別進(jìn)行包絡(luò)譜分析，結(jié)合齒輪和滾動軸承的故障特征頻率，最終確定取EMD、LCD方法分解所得的前4個分量和SGMD、ISGMD方法分解所得的前2個分量進(jìn)行包絡(luò)分析.以EMD分解所得IMF分量為例，將其與復(fù)合仿真信號進(jìn)行相關(guān)性分析，所得的相關(guān)系數(shù)如圖8所示.取相關(guān)系數(shù)較大的前4個分量進(jìn)行包絡(luò)分析，結(jié)果如圖9所示.相似地，LCD、SGMD和ISGMD方法分解的分量包絡(luò)圖分別如圖10～圖12所示.

從圖9～圖12可以看出，圖9、圖10和圖11中有明顯的軸承故障特征頻率及其倍頻，但沒有提取出齒輪故障特征頻率；圖12中同時提取出了齒輪和軸承的故障特征頻率及其倍頻.對比可知，ISGMD方法能夠更好地識別出復(fù)合仿真故障信號的故障類型.

圖8 EMD分量與原信號的相關(guān)系數(shù)Fig.8 The correlation coefficients between EMD components and original signal

圖9 仿真信號EMD分解分量的包絡(luò)譜圖Fig.9 The envelope spectrum of EMD decomposition components of simulation signal

圖10 仿真信號LCD分解分量的包絡(luò)譜圖Fig.10 The envelope spectrum of LCD decomposition components of simulation signal

圖11 仿真信號SGMD分解分量的包絡(luò)譜圖Fig.11 The envelope spectrum of SGMD decomposition components of simulation signal

圖12 仿真信號ISGMD分解分量的包絡(luò)譜圖Fig.12 The envelope spectrum of ISGMD decomposition components of simulation signal

3 實例分析

為了驗證ISGMD在實際故障診斷中的有效性，運用ISGMD對實際的復(fù)合故障信號進(jìn)行故障診斷分析.實驗臺采用6307深溝球軸承，齒輪箱主動輪和從動輪齒數(shù)均為37，轉(zhuǎn)速為900 r/min，采樣頻率為8 192 Hz，軸承外圈故障特征頻率為f0=31 Hz，故障齒輪所在軸的轉(zhuǎn)頻為fr=15 Hz.使用激光切割技術(shù)在齒輪根部切割出槽寬為0.15 mm，槽深為0.10 mm的槽，并在軸承外圈開槽，槽寬為0.15 mm，槽深為0.13 mm.圖13為復(fù)合故障信號，圖14為實際復(fù)合故障信號的包絡(luò)譜圖.

圖13 復(fù)合故障信號波形圖Fig.13 The waveform of composite fault signal

圖14 復(fù)合故障信號包絡(luò)譜圖Fig.14 The envelope spectrum of composite fault signal

圖14只提取出軸承故障特征頻率及其倍頻.為了提取出完整的故障特征信息，需采用合適的信號分析方法對復(fù)合故障信號進(jìn)行分解.同樣地，為了說明ISGMD方法的分析效果，繼續(xù)與EMD、LCD和SGMD方法進(jìn)行對比分析，4種方法的分解結(jié)果如圖15～圖18所示.

圖15 實驗信號EMD分解所得的分量Fig.15 The components obtained by EMD decomposition of the experimental signal

圖16 實驗信號LCD分解所得的分量Fig.16 The components obtained by LCD decomposition of the experimental signal

圖17 實驗信號SGMD分解得的分量Fig.17 The components obtained by SGMD decomposition of the experimental signal

圖18 實驗信號ISGMD分解得的分量Fig.18 The components obtained by ISGMD decomposition of the experimental signal

圖15～圖18為4種方法分解所得到的分量.同仿真信號分析相似，接著對EMD、LCD與原信號相關(guān)性大的前4個分量和SGMD、ISGMD與原信號相關(guān)性大的前2個分量進(jìn)行包絡(luò)譜分析，結(jié)果如圖19～圖22所示.

圖19 實驗信號EMD分解分量的包絡(luò)譜圖Fig.19 The envelope spectrum of EMD decomposition components of the experimental signal

圖20 實驗信號LCD分解分量的包絡(luò)譜圖Fig.20 The envelope spectrum of LCD decomposition components of the experimental signal

圖21 實驗信號SGMD分解分量的包絡(luò)譜圖Fig.21 The envelope spectrum of SGMD decomposition components of the experimental signal

圖22 實驗信號ISGMD分解分量的包絡(luò)譜圖Fig.22 The envelope spectrum of ISGMD decomposition components of the experimental signal

從圖19～圖22可以看出，圖19、圖20、圖21中提取出了軸承故障特征頻率，而齒輪故障特征頻率被完全覆蓋；圖22中同時提取出了齒輪和軸承故障特征頻率.對比可知，ISGMD方法在復(fù)合故障診斷方面優(yōu)于EMD、LCD和SGMD方法，ISGMD方法是一種較好的復(fù)合故障診斷方法.

4 結(jié)論

本文提出了一種改進(jìn)的辛幾何模態(tài)分解方法，采用了層次聚類方法對SGMD方法進(jìn)行改進(jìn)，使其能夠自適應(yīng)地進(jìn)行分量重組，并將其應(yīng)用于復(fù)合故障診斷中.通過對復(fù)合故障仿真信號和實驗信號分析并將ISGMD方法和EMD、LCD、SGMD方法對比，結(jié)果表明ISGMD方法能更好地識別復(fù)合故障.