考慮尺度效應(yīng)具損傷微板的坍塌特性分析

袁集海，張祥敏，陳昌萍?

（1.廈門大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，福建 廈門361005；2.廈門理工學(xué)院 土木工程與建筑學(xué)院，福建 廈門361024）

微機電系統(tǒng)（MEMS）因其優(yōu)越的性能而被廣泛應(yīng)用于通訊、航空航天、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域.微板結(jié)構(gòu)是MEMS中主要的結(jié)構(gòu)之一，其主要應(yīng)用于微泵、微鏡和微麥克風(fēng)等.然而，MEMS微板尺寸微小，在工作的過程中抵抗外界因素如：溫度[1]、濕度[2]和微結(jié)構(gòu)之間的微觀力[3-4]影響的能力較差，微板結(jié)構(gòu)會與固定極板發(fā)生吸合現(xiàn)象，簡稱坍塌（Pull-in）[5].近年來國內(nèi)外學(xué)者對微結(jié)構(gòu)的坍塌現(xiàn)象進行了研究并取得了一定的成果.陳昌萍等[6]研究了壓電層合微梁的靜力坍塌特性，并分析了控制電壓對坍塌電壓的影響.Sadeghian等[7]采用微分求積法和伽遼金法對夾支梁的坍塌不穩(wěn)定性進行了分析和對比.考慮幾何非線性，Ghayesh等[8]和Farokhi等[9]研究了靜力驅(qū)動微板結(jié)構(gòu)微機電系統(tǒng)的坍塌特性和非線性動力特性.基于修正偶應(yīng)力理論，Kazemi等[10]研究了層合壓電微板的非線性坍塌不穩(wěn)定性.

以上研究主要基于經(jīng)典彈性理論，研究表明微結(jié)構(gòu)具有尺度效應(yīng)[11].另外，MEMS器件在惡劣的環(huán)境下工作也會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷，而目前以具損傷微板結(jié)構(gòu)為對象的研究成果很少見.本文以具損傷彈性微板為研究對象，討論了尺度效應(yīng)、邊緣場效應(yīng)等因素對微板坍塌電壓的影響.

1 基本方程

根據(jù)Yang等[12]提出的修正偶應(yīng)力理論，應(yīng)變能可用應(yīng)力和偶應(yīng)力表示為：

式中：σij、mij分別為應(yīng)力張量和偶應(yīng)力張量；εij、χij分別為應(yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)梯度張量.分別定義為：

式中：i、j、k=x或y；ui為位移分量；δij為克羅內(nèi)克爾符號；E、G、υ分別為彈性模量、剪切模量和泊松比；l為特征尺度參數(shù)；D為損傷變量[13]；θi為轉(zhuǎn)動矢量且表示為：

式中：eijk為置換符號.

考慮如圖1所示直角坐標(biāo)系oxyz下的彈性微板，微板中點為坐標(biāo)系原點，其長度為2a，寬度為2b，厚度為h，密度為ρ，初始時刻微板與基底之間的距離為d，且兩者之間的電勢差Vc，參考平面取為微板中面z=0.

圖1 微板模型Fig.1 Schematic of the micro-plate

不考慮幾何非線性，由Kirchhoff假設(shè)，微板任意一點的位移u1、u2、u3可分別表示為：

式中：w（x，y，t）為微板撓度.將式（7）代入式（4）（5）可以得到應(yīng)變分量和旋轉(zhuǎn)梯度分量：

由應(yīng)力和偶應(yīng)力引起的彎矩分量為：

用撓度表示為：

式中：D0、Dl分別為傳統(tǒng)彎曲剛度和旋轉(zhuǎn)梯度對彎曲剛度的貢獻.分別表示為：

根據(jù)Hamilton原理，得

式中：T、U、W分別為系統(tǒng)的動能、應(yīng)變能和外力所做的功.且

式中：Fz為電場力（考慮邊緣場效應(yīng)），且

將式（17）～（19）代入式（16）可得到微板的動力學(xué)方程為：

相應(yīng)的邊界條件為：

將彎矩表達式（12）（13）代入式（21）可得到用撓度表示的運動方程為：

引入下列無量綱參數(shù)：

式中：V0為單位電壓.

采用泰勒級數(shù)展開對電場力進行處理并保留前8項，將處理后的電場力代入運動方程并進行無量綱化.

MEMS結(jié)構(gòu)廣泛采用夾支邊界[14]，本文采用四邊夾支矩形微板，其無量綱邊界條件為：

假設(shè)方程（25）滿足邊界條件（26）的解為：

對方程（25）進行伽遼金積分可得無量綱形式常微分動力學(xué)方程.

2 結(jié)果與討論

若沒有特殊說明，算例中的幾何參數(shù)和物理參數(shù)如表1[15]所示.本文僅研究靜力坍塌，忽略動力項后運動方程為：

表1 微板幾何參數(shù)和物理參數(shù)Tab.1 Geometric and material properties of the micro-plate

為了驗證本文計算方法的合理性，在不考慮損傷和尺度效應(yīng)的情況下，將本文計算結(jié)果與文獻進行對比，對比結(jié)果如圖2所示.從圖2中可以看出，文獻[15]的結(jié)果和文獻[16]的實驗結(jié)果與本文結(jié)果吻合得較好，說明本文的計算方法是可靠的.

圖2 本文結(jié)果與文獻結(jié)果對比Fig.2 Comparison of results between present and literatures

圖3給出了損傷效應(yīng)對板中點撓度和坍塌電壓的影響.其中，圖3（a）給出了不同損傷變量對撓度電壓曲線的影響（l/h=0.5）；圖3（b）給出了特征尺度參數(shù)l/h=0.5（本文模型）和l/h=0（經(jīng)典模型）時損傷變量對坍塌電壓的影響.從圖3（a）可知，隨著外電壓的增大，板中點撓度也不斷增大；當(dāng)外電壓達到坍塌電壓時，結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌現(xiàn)象.從圖3（b）可以看出，損傷變量增大，坍塌電壓減小.損傷會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度減小，結(jié)構(gòu)抵抗變形能力變?nèi)酰虼颂妷簳S損傷變量增大而減小.根據(jù)坍塌電壓的變化可以從一定程度上識別微板損傷.

圖3 損傷效應(yīng)對板中點撓度和坍塌電壓的影響Fig.3 Damage effect on center deflection and pull-in voltage

圖4給出了尺度效應(yīng)對板中點撓度和坍塌電壓的影響.其中，圖4（a）為不同特征尺度參數(shù)對撓度電壓曲線的影響（D=0.5）；圖4（b）為損傷變量D=0.2時本文模型和經(jīng)典模型（l/h=0）坍塌電壓隨特征尺度參數(shù)變化曲線.從圖4可以看出，尺度參數(shù)變大，坍塌電壓也會增大.與損傷效應(yīng)相反，尺度效應(yīng)的存在會增加微板結(jié)構(gòu)的剛度，微板結(jié)構(gòu)抵抗變形的能力增強，因此坍塌電壓增大.基于以上分析可知，尺度效應(yīng)是不可忽視的，尤其是當(dāng)微板厚度較小的時候，微板厚度越小，尺度效應(yīng)越明顯.

圖4 尺度效應(yīng)對板中點撓度和坍塌電壓的影響Fig.4 Size effect on center deflection and pull-in voltage

圖5給出了初始間距對板中點撓度和坍塌電壓的影響.其中，圖5（a）為不同初始間距對撓度電壓曲線的影響（損傷變量和特征尺度參數(shù)分別為0.2和0.5）；圖5（b）給出了本文模型（l/h=0.5）和經(jīng)典模型（l/h=0）坍塌電壓隨初始間距變化曲線（損傷變量取0.2）.由圖5可知，坍塌電壓隨著初始間距的增大而大幅增加.這是由于在電壓不變的情況下電場力中的系數(shù)α與初始間距的立方d3呈反比.故初始間距增大會急劇減小電場力的大小.

圖5 初始間距對板中點撓度和坍塌電壓的影響Fig.5 Influence of initial gap on center deflection and pull-in voltage

表2給出了邊緣場效應(yīng)對坍塌電壓的影響.由表2可以看出，考慮邊緣場效應(yīng)時的坍塌電壓比不考慮邊緣場效應(yīng)時的坍塌電壓略小.從電場力的表達式（式（20））可知，邊緣場效應(yīng)會提供微結(jié)構(gòu)額外的電場力作用，因此考慮邊緣場效應(yīng)時的坍塌電壓會略微減小.

表2 邊緣場效應(yīng)對坍塌電壓的影響Tab.2 Fringing effect on pull-in voltage

3 結(jié)論

本文通過數(shù)值計算對夾支微板在電場力作用下坍塌特性進行分析，并將所得結(jié)果與文獻結(jié)果進行了對比，驗證了本文模型的合理性，討論了損傷效應(yīng)、尺度效應(yīng)、邊緣場效應(yīng)以及初始間距對微板坍塌電壓的影響.研究結(jié)果表明，損傷效應(yīng)會減小坍塌電壓，而尺度效應(yīng)會增大坍塌電壓，坍塌電壓會隨著初始間距的增大而大幅增加，考慮邊緣效應(yīng)時坍塌電壓會稍微減小但變化不大.本文所得結(jié)果對電致驅(qū)動微板結(jié)構(gòu)設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義.