考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪時(shí)變嚙合剛度解析算法

林騰蛟，趙子瑞，江飛洋，陳兵奎

（重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400044）

齒輪系統(tǒng)作為機(jī)械裝置中最為廣泛的動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)傳遞形式，正朝著大功率、高轉(zhuǎn)速、低噪聲和輕量化方向發(fā)展.在高速重載工況下，由于嚙合齒面相對(duì)滑動(dòng)速度大，瞬時(shí)溫升高，直接影響齒輪系統(tǒng)內(nèi)部的溫度分布，引起結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力及熱變形，進(jìn)而對(duì)齒輪嚙合剛度產(chǎn)生較大影響，而準(zhǔn)確高效的嚙合剛度計(jì)算方法又是齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的關(guān)鍵.因此，綜合考慮溫度影響，開展斜齒輪時(shí)變嚙合剛度解析算法研究，對(duì)高速重載齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)有著重要的工程意義.

近年來，對(duì)于齒輪系統(tǒng)時(shí)變嚙合剛度的研究非常活躍.在解析算法方面，Cui等[1]、Chaari等[2]和Liang等[3]基于材料力學(xué)理論，運(yùn)用勢(shì)能法計(jì)算了直齒輪的嚙合剛度；在直齒輪嚙合剛度算法的基礎(chǔ)上，Wan等[4]提出了一種累積積分勢(shì)能法計(jì)算斜齒輪的嚙合剛度，并研究了齒輪參數(shù)與齒根裂紋對(duì)嚙合剛度的影響；萬志國等[5]、劉文等[6]考慮了基圓與齒根圓不重合的問題，運(yùn)用勢(shì)能法分別提出了求解直齒輪及斜齒輪嚙合剛度的改進(jìn)算法.在有限元法方面，Cooley等[7]、Liang等[8]提出了多種基于有限元法的直齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法，并評(píng)估了各種方法的應(yīng)用條件及優(yōu)缺點(diǎn)；Fernandez等[9-10]和Ma等[11]綜合考慮加工誤差、齒頂修形或齒輪摩擦等非線性因素，采用有限元法與彈性接觸理論相結(jié)合的方式，計(jì)算了直齒輪的時(shí)變嚙合剛度.在考慮溫度效應(yīng)方面，茍向鋒等[12]建立了由齒面接觸溫度變化引起直齒輪齒廓形變的數(shù)學(xué)表征，而后基于Hertz接觸理論研究了接觸溫度對(duì)直齒輪嚙合剛度的影響；羅彪等[13]基于石川模型，將輪齒齒廓簡化為由梯形和矩形組成的當(dāng)量齒形，綜合考慮溫度對(duì)直齒輪剛度的影響，引入了熱剛度的概念，并提出了一種直齒輪熱剛度的解析算法，計(jì)算結(jié)果與有限元法基本吻合.目前有關(guān)考慮溫度效應(yīng)的齒輪嚙合剛度研究已取得一定的成果，但有限元法計(jì)算規(guī)模較大，解析法僅針對(duì)直齒輪開展了相關(guān)研究，關(guān)于考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪時(shí)變嚙合剛度解析算法鮮有報(bào)道.

在上述研究成果的基礎(chǔ)上，本文以斜齒輪副為研究對(duì)象，提出一種考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪嚙合剛度解析算法.將輪齒簡化為齒根圓上的變截面懸臂梁，基于切片法和積分思想，在考慮基圓與齒根圓不重合因素的同時(shí)，計(jì)入齒面接觸溫度變化引起的輪齒齒廓形變，以確保嚙合剛度計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性；而后分析摩擦因數(shù)、輸入轉(zhuǎn)矩、輸入轉(zhuǎn)速等工況參數(shù)對(duì)斜齒輪嚙合剛度的影響規(guī)律.

1 考慮熱變形的斜齒輪端面齒廓方程

1.1 斜齒輪基體熱變形

斜齒輪副達(dá)到熱平衡狀態(tài)后，本體溫度場(chǎng)基本穩(wěn)定，但各處溫度非均一.對(duì)于齒輪基體，盡管本體溫度場(chǎng)穩(wěn)定，但與輪齒相固聯(lián)的基體部分溫度不同，因此將斜齒輪基體溫度場(chǎng)處理為無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)非均勻溫度場(chǎng)，其在柱面坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程為[14]：

式中：T為斜齒輪基體內(nèi)任意點(diǎn)的溫度；r、φ、z分別為柱面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量；λ為材料熱膨脹系數(shù).

假定斜齒輪副嚙合為理想接觸，沿齒面無偏載，且輪齒膨脹導(dǎo)致齒側(cè)間隙減小后仍可保證最小油膜厚度.設(shè)熱平衡狀態(tài)下，斜齒輪基體溫度僅隨徑向坐標(biāo)r變化，即一維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，則導(dǎo)熱微分方程（1）可簡化為：

其積分解為：

式中：C1、C2均為積分常量.滿足熱力學(xué)第一類邊界條件，即r=Ri時(shí)，T=T（Ri）；r=R0時(shí)，T=T（R0），將其代入微分方程通解（3）中解得斜齒輪基體溫度為：

式中：Ri為斜齒輪的軸孔半徑；T（Ri）為熱平衡時(shí)斜齒輪的軸孔溫度；R0=max（Rb，Rf），Rb為基圓半徑，Rf為齒根圓半徑；T（R0）為熱平衡時(shí)基體相應(yīng)柱面的溫度.

當(dāng)不考慮外力、表面殘余應(yīng)力等因素的作用，即認(rèn)為柱體的應(yīng)力僅由溫度改變而引起的，按位移法求解基體的熱變形，得到基體徑向位移函數(shù)為：

式中：u為基體內(nèi)任一點(diǎn)的徑向位移；υ為泊松比.

當(dāng)Rb＞Rf時(shí)，有R0=Rb，令r=Rb，將式（4）代入式（5）可得熱平衡時(shí)斜齒輪基圓的熱變形量：

同理，令r=Rf，可得熱平衡時(shí)齒根圓的熱變形量：

當(dāng)Rf＞Rb時(shí)，則有R0=Rf，令r=Rb，將式（4）代入式（5）可得熱平衡時(shí)斜齒輪基圓的熱變形量：

同理，令r=Rf，可得熱平衡時(shí)齒根圓的熱變形量：

1.2 熱平衡時(shí)斜齒輪的端面齒廓方程

當(dāng)斜齒輪受熱變形時(shí)，基圓半徑增加，齒輪實(shí)際齒廓在齒厚和齒高方向都將發(fā)生熱膨脹，其中端面齒廓如圖1所示.僅考慮齒面接觸溫度對(duì)齒廓曲線的影響，則實(shí)際端面齒廓上任一點(diǎn)的半徑為：

根據(jù)幾何關(guān)系，展角改變量為：

圖1 斜齒輪端面齒廓熱膨脹示意圖Fig.1 Sketch map of thermal expansion of gear transverse profile

斜齒輪熱變形后端面齒廓極坐標(biāo)參數(shù)方程為：

式中：αK、RK分別為不計(jì)熱變形時(shí)端面齒廓上任一點(diǎn)K的壓力角和半徑；sK為不計(jì)熱變形時(shí)端面齒廓上任意圓的齒厚；ΔT為嚙合齒面瞬時(shí)閃溫，其表達(dá)式為[12]：

式中：ψT為斜齒輪溫升系數(shù)；fm為平均摩擦因數(shù)；fe為單位齒寬上的齒面法向載荷；vi、gi、ρi、ci（i=1，2）分別為主、從動(dòng)輪的齒面切向速度、熱傳導(dǎo)系數(shù)、材料密度以及比熱容；Bc為接觸帶半寬.

2 考慮溫度效應(yīng)的時(shí)變嚙合剛度算法

嚙合剛度是隨嚙合齒數(shù)和輪齒接觸位置周期變化的時(shí)變函數(shù)，由于斜齒輪存在螺旋角，嚙合過程由輪齒一端面進(jìn)入嚙合到另一端面退出嚙合，接觸線長度具有時(shí)變性，其嚙合剛度算法與直齒輪不同.基于積分方法，將其輪齒沿齒寬方向切分成若干薄片，每一薄片可近似視為直齒輪，通過計(jì)算各薄片的嚙合剛度并積分，即可得到斜齒輪嚙合剛度.

綜合考慮輪齒接觸、彎曲、剪切、軸向壓縮及基體彈性剛度，采用能量法計(jì)算斜齒輪副嚙合剛度，其綜合嚙合剛度可表示為：

式中：kb為彎曲剛度；ks為剪切剛度；ka為軸向壓縮剛度；kf為基體彈性剛度；kh為接觸剛度.

2.1 彎曲、剪切及軸向壓縮剛度

對(duì)于高速重載齒輪傳動(dòng)，由于嚙合齒面瞬時(shí)溫升較高，斜齒輪實(shí)際截面齒廓已不再滿足理論漸開線方程，存在較大的非漸開線誤差.由于未考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪嚙合剛度算法是基于漸開線基本性質(zhì)推導(dǎo)的，對(duì)于計(jì)及熱變形的嚙合剛度計(jì)算不再適用，為此需重新推導(dǎo)考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪嚙合剛度.

將輪齒假設(shè)為齒根圓上的懸臂梁，如圖2所示，采用直線CC1和DD1簡化表示齒根處齒廓.

圖2 考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪輪齒懸臂梁模型Fig.2 Cantilever beam model of helical gear tooth considering temperature effect

將端面齒廓的極坐標(biāo)參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至隨動(dòng)笛卡爾坐標(biāo)系S（x，y，z）下.利用坐標(biāo)變換，可得如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

采用切片方法，厚度為dy的每一薄片輪齒的彎曲剛度可表示為：

當(dāng)Rb＞Rf時(shí)，相關(guān)表達(dá)式為：

式中：αm（y）表示不計(jì)熱變形時(shí)斜齒輪端面齒廓矢徑在z軸的投影為h（y）時(shí)對(duì)應(yīng)的壓力角，其中h（y）為嚙合點(diǎn)和齒輪中心線的距離，是軸向坐標(biāo)y的函數(shù).

將以上變量代入式（16）得到每一薄片輪齒的彎曲剛度dkb，而后對(duì)其積分即可得到考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪彎曲剛度kb：

式（18）不可積分，因此采用求和方法替代積分方法求解斜齒輪的嚙合剛度，于是斜齒輪彎曲剛度kb可重新表示為：

式中：Δy=l/N；l為時(shí)變接觸線長度L在齒寬方向上的投影，l=Lcosβb；N為斜齒輪沿齒寬方向切分的切片份數(shù).根據(jù)單齒接觸線長度表達(dá)形式[6]，（y）的求解方法如下.

當(dāng)端向重合度大于軸向重合度（εα＞εβ）時(shí)，嚙合力F與主動(dòng)輪輪齒中心線垂直方向的夾角為：

其中，α1t（t）為在主動(dòng)輪端面齒廓上對(duì)應(yīng)的角度，其表達(dá)式為：

式中：αc1為主動(dòng)輪進(jìn)入嚙合時(shí)端面齒廓處的壓力角.可由下式計(jì)算得到：

式中：a′代表實(shí)際中心距；α′表示嚙合角；αat2為從動(dòng)輪端面齒頂圓壓力角.

其中，α2t（t）為在從動(dòng)輪端面齒廓上對(duì)應(yīng)的角度，其表達(dá)式為：

同理，當(dāng)端向重合度小于軸向重合度（εα<εβ）時(shí)，嚙合力F與主動(dòng)輪輪齒中心線垂直方向的夾角為：

同求解彎曲剛度kb的過程類似，考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪剪切剛度ks和軸向壓縮剛度ka分別為：

式中：D=（Rb+ub）cosα2-（Rf+uf）cosα3.

當(dāng)Rb

式中：αf為齒根圓壓力角.

2.2 基體彈性剛度

將每一片輪齒薄片的基體剛度對(duì)y進(jìn)行積分，即可得到輪齒基體剛度[2]，其表達(dá)式為：

式中：L*、M*、P*、Q*均為尺寸系數(shù)，其計(jì)算式參見文獻(xiàn)[2].ur和Sr如圖2（a）所示，其表達(dá)式為：

ur=x[αm（y）]-（Rf+uf）

Sr=2（Rf+uf）α3

2.3 赫茲接觸剛度

根據(jù)赫茲接觸理論，嚙合斜齒輪副的赫茲接觸剛度kh可表示為：

式中：E為彈性模量；L為時(shí)變接觸線長度.

3 計(jì)及溫度影響的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

表1給出了一對(duì)斜齒輪副的基本參數(shù)，綜合考慮溫度對(duì)嚙合剛度的影響，分別采用本文中的解析算法和有限元法計(jì)算斜齒輪的時(shí)變嚙合剛度，以驗(yàn)證解析算法的準(zhǔn)確性.

表1 斜齒輪副基本參數(shù)Tab.1 Basic parameter of helical gear pair

3.1 考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪嚙合剛度計(jì)算結(jié)果

采用本文給出的解析算法，計(jì)算考慮溫度影響前后斜齒輪的時(shí)變嚙合剛度，得到如圖3所示的單齒嚙合剛度和綜合嚙合剛度曲線，圖中橫坐標(biāo)τ為無量綱時(shí)間，表示輪齒從嚙入到嚙出的整個(gè)過程，τ=t/tε，其中t為時(shí)間變量，tε為單齒嚙合時(shí)間.

圖3 考慮溫度影響前后嚙合剛度對(duì)比曲線Fig.3 Comparison curve of mesh stiffness with and without temperature effect

由圖3可知，考慮溫升影響后，由于齒廓熱膨脹導(dǎo)致齒側(cè)間隙減小，輪齒接觸區(qū)域變大，接觸區(qū)域平均變形量減小，故斜齒輪副從嚙入到嚙出整個(gè)過程的嚙合剛度均有所增大.其中，單齒嚙合剛度在嚙入和嚙出端的增大量較小，在節(jié)點(diǎn)附近的增大量較大，最大值由2.592×109N/m增至2.878×109N/m；綜合嚙合剛度均值由3.726×109N/m增至4.117×109N/m.

3.2 斜齒輪副嚙合剛度有限元模型

主、從動(dòng)輪齒面摩擦熱流密度由齒面摩擦因數(shù)、相對(duì)速度和齒面接觸壓力確定，其計(jì)算式分別為：

式中：pNc為嚙合齒面的接觸壓力；β為主、從動(dòng)輪熱流密度的分配因子，其計(jì)算式參見文獻(xiàn)[15].

齒輪對(duì)流換熱系數(shù)可分為齒輪端面對(duì)流換熱系數(shù)ht及齒面對(duì)流換熱系數(shù)hs兩類.將端面對(duì)流換熱簡化為旋轉(zhuǎn)圓盤的對(duì)流換熱求解，其計(jì)算式為[15]：

式中：Nur為Nusslet系數(shù)；ζ為指數(shù)常數(shù)；Re為雷諾數(shù)；υ0為潤滑油的運(yùn)動(dòng)黏度.

由間歇冷卻理論可得齒面對(duì)流換熱計(jì)算式為[15]：

式中：qtot為標(biāo)準(zhǔn)化總冷卻量的漸近水平；η0=g0/ρ0c0為熱擴(kuò)散系數(shù)；g0、ρ0、c0分別為潤滑油的熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度和比熱容；A為齒面表面積.

利用APDL參數(shù)化語言建立嚙合斜齒輪副三維實(shí)體模型，采用SOLID70單元以及SURF152單元進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，施加嚙合齒面摩擦熱流密度以及齒輪端面和齒面對(duì)流換熱系數(shù)，求解斜齒輪副的本體溫度場(chǎng)，計(jì)算結(jié)果如圖4所示；而后采用靜態(tài)接觸分析方法，對(duì)主動(dòng)輪內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)施加轉(zhuǎn)矩，并約束其軸向和徑向位移；對(duì)從動(dòng)輪內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)施加全約束；同時(shí)將溫度場(chǎng)結(jié)果以載荷形式施加至有限元模型，通過提取齒輪副在嚙合周期內(nèi)的法向載荷以及綜合變形，如圖5所示，計(jì)算斜齒輪副的時(shí)變嚙合剛度，其計(jì)算式為：

式中：Fn為嚙合齒面的法向載荷；δn為計(jì)及溫度影響后主從動(dòng)齒輪在嚙合區(qū)域的綜合變形.

圖4 主動(dòng)輪本體溫度分布Fig.4 Bulk temperature distribution of driving gears

圖5 主動(dòng)輪綜合變形云圖Fig.5 Integrated deformation nephogram of driving gears

3.3 嚙合剛度算法對(duì)比驗(yàn)證

對(duì)比本文所提解析算法和有限元法的計(jì)算結(jié)果，得到如圖6所示考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪單齒嚙合剛度曲線.由圖6可知，解析算法與有限元法計(jì)算結(jié)果在節(jié)點(diǎn)附件最為接近，在嚙入和嚙出端誤差相對(duì)較大，二者的變化趨勢(shì)完全一致，單齒嚙合剛度最大值分別為2.878×109N/m和3.020×109N/m，單齒嚙合剛度平均值誤差為11.59%，誤差在可接受范圍內(nèi).

圖6 單齒嚙合剛度對(duì)比曲線Fig.6 Comparison curve of single mesh stiffness

4 工況參數(shù)對(duì)斜齒輪嚙合剛度影響分析

工況參數(shù)將影響齒輪的本體溫度場(chǎng)，進(jìn)而引起輪齒時(shí)變嚙合剛度的變化.本節(jié)針對(duì)表1所示的斜齒輪副，通過改變摩擦因數(shù)、輸入轉(zhuǎn)矩和輸入轉(zhuǎn)速，開展考慮溫度效應(yīng)的時(shí)變嚙合剛度影響規(guī)律研究.

4.1 摩擦因數(shù)

摩擦因數(shù)增大將引起齒面摩擦熱流量增加，進(jìn)而使齒輪本體溫度及嚙合齒面瞬時(shí)閃溫升高.選取摩擦因數(shù)f的變化范圍為0.03～0.07，不同摩擦因數(shù)下的單齒嚙合剛度和綜合嚙合剛度均值分別如圖7所示.由圖7可知，考慮溫度影響后，隨著摩擦因數(shù)的增大，單齒嚙合剛度整體上呈增大趨勢(shì)；由于摩擦因數(shù)增大不影響齒輪副的重合度，因此綜合嚙合剛度均值也隨單齒嚙合剛度的增大而增大.當(dāng)摩擦因數(shù)f由0.03增至0.07時(shí)，嚙合剛度均值由3.858×109N/m增至4.311×109N/m，提高了11.74%.

圖7 不同摩擦因數(shù)下的斜齒輪嚙合剛度Fig.7 Mesh stiffness of helical gears with different friction coefficients

4.2 輸入轉(zhuǎn)矩

輸入轉(zhuǎn)矩增大使齒面接觸壓力增大，進(jìn)而使齒面摩擦熱流量增加，齒輪本體溫度及嚙合齒面瞬時(shí)閃溫隨之升高.保持輸入轉(zhuǎn)速1 200 r/min不變，輸入轉(zhuǎn)矩T變化范圍為12～36 kN·m，不同轉(zhuǎn)矩下的單齒嚙合剛度和綜合嚙合剛度均值分別如圖8所示.由圖8可知，考慮溫度影響后，隨著載荷的增大，輪齒接觸跡線增長，單位線載荷減小，單齒嚙合剛度隨之增大；由于接觸跡線增長一定程度上使齒輪副的重合度增加，因此綜合嚙合剛度均值接近線性規(guī)律增大.當(dāng)輸入轉(zhuǎn)矩T由12 kN·m增至36 kN·m時(shí)，嚙合剛度均值由3.586×109N/m增至4.454×109N/m，提高了24.21%.

圖8 不同輸入轉(zhuǎn)矩下的斜齒輪嚙合剛度Fig.8 Mesh stiffness of helical gears with different input torques

4.3 輸入轉(zhuǎn)速

輸入轉(zhuǎn)速增大使齒面切向速度增大，從而使齒輪本體溫度及嚙合齒面瞬時(shí)閃溫也相應(yīng)升高.保持輸入轉(zhuǎn)矩24 kN·m不變，輸入轉(zhuǎn)速n的變化范圍為1 200～6 000 r/min，不同輸入轉(zhuǎn)速下的單齒嚙合剛度和綜合嚙合剛度均值分別如圖9所示.可以看出，考慮溫度影響后，隨著輸入轉(zhuǎn)速的增大，單齒嚙合剛度及綜合嚙合剛度均值隨之增大，且增大幅度有所減小.當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速n由1 200 r/min增至6 000 r/min時(shí)，嚙合剛度均值由4.118×109N/m增至4.554×109N/m，提高了10.59%.

圖9 不同輸入轉(zhuǎn)速下的斜齒輪嚙合剛度Fig.9 Mesh stiffness of helical gears with different input speeds

5 結(jié)論

1）將輪齒簡化為齒根圓上的變截面懸臂梁，計(jì)入齒面接觸溫度變化引起的輪齒齒廓形變，基于勢(shì)能法提出了一種考慮溫度效應(yīng)的斜齒輪嚙合剛度解析算法，通過與有限元法計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析，驗(yàn)證了解析算法的準(zhǔn)確性，提升了斜齒輪嚙合剛度的計(jì)算效率.

2）考慮斜齒輪溫升影響后，輪齒從嚙入到嚙出整個(gè)過程的嚙合剛度均有所增大.對(duì)于單齒嚙合剛度，在嚙入和嚙出端增大量較小，在節(jié)點(diǎn)附近增大量較大.

3）通過不同摩擦因數(shù)、輸入轉(zhuǎn)矩、輸入轉(zhuǎn)速等工況參數(shù)對(duì)斜齒輪嚙合剛度的影響分析，得出考慮溫度效應(yīng)后單齒嚙合剛度及綜合嚙合剛度均值均隨上述工況參數(shù)的增大而增大，其中輸入轉(zhuǎn)矩對(duì)嚙合剛度的影響最大.