基于差分方程的高壓油管壓力控制

陸毅　沈薇　錢星光

摘? 要：文章針對(duì)高壓油管的壓力控制問(wèn)題，構(gòu)建了基于差分方程的凸輪角速度確定模型、基于函數(shù)模型的單向閥控制方案，綜合運(yùn)用MATLAB、Eviews等軟件編程求解，得出了恒壓下凸輪角速度、噴油規(guī)律和多種情況下減壓閥的控制方案等結(jié)論。

關(guān)鍵詞：高壓油管;差分方程;壓力控制;數(shù)據(jù)擬合;流體力學(xué)

中圖分類號(hào)：TK423 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： 文章編號(hào)：2095-2945（2020）07-0025-04

Abstract： In this paper， aiming at the pressure control problem of high pressure tubing， a CAM angular velocity determination model based on difference equation was built， and a one-way valve control scheme based on function model was built. By using MATLAB， Eviews and other software programming， the oil injection law of CAM angular velocity under constant pressure and the control scheme of pressure reducing valve under various conditions were obtained.

Keywords： high-pressure oil pipe; difference equation; pressure contral; data fitting; hydromechanics

燃油進(jìn)入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動(dòng)機(jī)工作的基礎(chǔ)，燃油經(jīng)過(guò)高壓油泵從一處進(jìn)入高壓油管，再由噴口噴出。燃油進(jìn)入和噴出的間歇性工作過(guò)程會(huì)導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，甚至?xí)鹗Ш凸收?。?duì)高壓油管進(jìn)行相應(yīng)的壓力控制可以在一定程度上提高發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率，具有重要的意義。

1 數(shù)據(jù)來(lái)源與模型假設(shè)

數(shù)據(jù)來(lái)源于2019年高教社杯數(shù)學(xué)建模比賽A題，包括凸輪邊緣曲線、針閥運(yùn)動(dòng)曲線以及彈性模量與壓力關(guān)系的相關(guān)數(shù)據(jù)。為便于解決問(wèn)題，提出以下幾點(diǎn)假設(shè)：（1）假設(shè)凸輪表面光滑，作連續(xù)等速轉(zhuǎn)動(dòng);（2）假設(shè)高壓腔的容積不會(huì)因內(nèi)部高壓油的作用而發(fā)生膨脹[1];（3）假設(shè)針閥升程滿足周期性變化，且每個(gè)周期內(nèi)的變化情況相同;（4）假設(shè)高壓油泵和出油閥的密封性良好[2]。

2 基于差分方程模型對(duì)凸輪角速度的確定

2.1 研究思路

對(duì)整個(gè)高壓燃油系統(tǒng)的高壓油泵、高壓油管及噴油嘴分別進(jìn)行狀態(tài)分析，然后建立相應(yīng)的差分方程模型，目標(biāo)是最小化進(jìn)出高壓油管的燃油質(zhì)量之差，根據(jù)公式ω=，由給定具體的周期T′，得到對(duì)應(yīng)的ω;再將ω帶入差分方程模型，依次遞歸得到相應(yīng)的△m，擬合△m與ω的圖像，求出當(dāng)進(jìn)出高壓油管的燃油質(zhì)量之差為零時(shí)，其對(duì)應(yīng)的凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

2.2 模型建立

2.2.1 高壓燃油系統(tǒng)三部分狀態(tài)分析

（1）高壓油管

高壓油管內(nèi)的燃油可以看作是一維非定流動(dòng)的，則高壓油管內(nèi)的燃油滿足質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒以及燃油的可壓縮性方程[3-4]

其中，s為油管的橫截面積，ρ為密度，P為壓力，u為燃油在管內(nèi)流動(dòng)的速度，μ為燃油動(dòng)力粘度，x為油管內(nèi)燃油在時(shí)間t內(nèi)流過(guò)的距離，t為燃油流動(dòng)的時(shí)間，F(xiàn)為作用在受控流體上的流動(dòng)阻力的合力。

（2）高壓油泵

根據(jù)附件1中給出的凸輪[6]極徑與極角的關(guān)系，可以判斷出題中未說(shuō)明的極點(diǎn)的位置和極軸的方向如圖2所示。

高壓油泵中柱塞供油量隨凸輪轉(zhuǎn)角的變化而變化，對(duì)應(yīng)油量體積的變化[5]為

其中Vmax為柱塞最大供油量，VCL為柱塞運(yùn)動(dòng)到上止點(diǎn)位置時(shí)柱塞腔殘余容積，θ為凸輪轉(zhuǎn)角，hp為柱塞升程，Aρ為柱塞截面積，np為凸輪的轉(zhuǎn)速。

（3）噴油嘴

根據(jù)附件2針閥運(yùn)動(dòng)[5]曲線可以將一個(gè)噴油周期分為四個(gè)階段，即針閥上升階段（0～0.44ms），穩(wěn)定噴射階段（0.45～2ms），針閥關(guān)閉階段（2.01～2.45ms），針閥完全關(guān)閉到燃油完全斷流階段（2.46～100ms），此時(shí)將噴油量計(jì)算公式調(diào)整為：

其中Kop為開(kāi)關(guān)系數(shù)，當(dāng)針閥升程為0時(shí)，Kop=0;當(dāng)針閥升程大于0時(shí)，Kop=1。

2.2.2 模型準(zhǔn)備

首先確定從針閥噴油嘴處噴出的油量，（4）式中的A即實(shí)際噴油孔的面積仍未知，下面將對(duì)其進(jìn)行確定：

其中，S為針閥底部所在圓錐橫截面與針閥底面積的差值，A為實(shí)際噴油孔的面積，H為針閥的升程，h0為針閥升程為0時(shí)噴孔距針閥的距離，β為密封座圓錐的半角即9°，D為針閥直徑，d為噴孔直徑。

后求解高壓油泵的容積，凸輪驅(qū)動(dòng)柱塞上下運(yùn)動(dòng)時(shí)，凸輪的轉(zhuǎn)角θ與角速度ω存在以下關(guān)系：

θ=ω×t （6）

聯(lián)立公式（3）（6）可以確定某段時(shí)間內(nèi)柱塞上升的高度hp。此過(guò)程中高壓油泵的燃油體積的變化量VZ可表示為：

其中，VZ為高壓油泵燃油變化的體積，DZ為柱塞腔的直徑

rmax為極徑的最大值，rmin為極徑的最小值，得到高壓油泵的容積后，當(dāng)柱塞運(yùn)動(dòng)到下止點(diǎn)時(shí)，低壓燃油會(huì)充滿柱塞腔，壓力為0.5MPa。根據(jù)附件3中給出的數(shù)據(jù)對(duì)彈性模量E與壓力P之間的函數(shù)關(guān)系利用Eviews軟件進(jìn)行最小二乘法擬合，得到彈性模量E與壓力P之間的函數(shù)關(guān)系：E=1379.21+8.86P，后根據(jù)題目中給出的當(dāng)壓力為100MPa時(shí)，燃油的密度為0.850mg/mm3這一條件解出此時(shí)唯一的不確定的參數(shù)-不定積分后出現(xiàn)的常數(shù)c，最終得到燃油密度與壓力之間的關(guān)系式為：ρ=0.455（P+15.533）0.113，將壓力為0.5MPa代入式中，從而得出此時(shí)泵內(nèi)的燃油密度，進(jìn)而得到泵內(nèi)低壓燃油的質(zhì)量。

2.2.3 建立差分方程模型

模型準(zhǔn)備完成后，根據(jù)題意知，高壓油管內(nèi)壓力恒定，得到進(jìn)入高壓油管和噴出高壓油管的燃油質(zhì)量相等，故建立目標(biāo)函數(shù)：

m入表示一個(gè)周期進(jìn)入高壓油管的燃油質(zhì)量，m出表示一個(gè)周期流出高壓油管的燃油質(zhì)量;

為解決問(wèn)題我們選擇建立差分方程模型進(jìn)行求解，用差分方程模型來(lái)推算燃油泵里一個(gè)周期內(nèi)各個(gè)時(shí)刻的壓強(qiáng)Pi，對(duì)于燃油泵，取t=0時(shí)刻，柱塞降至最低點(diǎn)，仍以0.1ms為一個(gè)差分間隔

其中mbi表示第 時(shí)刻（i=1，2，3…n）高壓油泵中的燃油質(zhì)量，ρbi表示第i時(shí)刻高壓油泵中的燃油密度，Pbi表示第i時(shí)刻高壓油泵中的燃油壓力。

2.3 模型求解

由于高壓油管A處的燃油來(lái)自高壓油泵的柱塞腔出口，凸輪驅(qū)動(dòng)柱塞上下運(yùn)動(dòng)，故柱塞的升程與凸輪的極徑密切相關(guān)，附件1中給出了凸輪邊緣曲線與角度的關(guān)系，據(jù)此畫出柱塞升程在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)（即凸輪的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)周期內(nèi)）的變化如圖3所示。根據(jù)附件二中給出的一個(gè)噴油周期內(nèi)針閥升程與時(shí)間的關(guān)系，可知噴油器每秒工作10次，每次工作時(shí)噴油時(shí)間為2.44ms，將附件二中數(shù)據(jù)結(jié)合公式（4）、（5）使用MATLAB畫出噴油器工作時(shí)從噴油嘴B處向外噴油的速率隨時(shí)間的變化圖如圖4所示。

接下來(lái)求解差分方程模型，目標(biāo)是最小化進(jìn)出高壓油管的燃油質(zhì)量之差，根據(jù)公式ω=，給定具體的周期T′：10ms，20ms，30ms，40ms，50ms，得到對(duì)應(yīng)的ω;將五個(gè)ω帶入微分方程模型，依次遞歸得到相應(yīng)的△m，后擬合△m與ω的圖像，關(guān)系如圖5。

根據(jù)擬合出的曲線，可求出，當(dāng)△m=0時(shí)，即高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa左右時(shí)，凸輪的角速度ω=61.908rad/s，即凸輪每秒約轉(zhuǎn)動(dòng)9.8圈。

3 基于函數(shù)模型的控制方案

3.1 研究思路

問(wèn)題三可以分成兩種情形下的高壓燃油系統(tǒng)，一是在問(wèn)題二基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)噴油規(guī)律相同的噴油嘴，此時(shí)考慮建立凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度與噴油嘴噴油頻率間函數(shù)模型;另一種情形是再在此基礎(chǔ)上增加一個(gè)單向減壓閥，此時(shí)考慮建立高壓油泵與減壓閥控制模型，得到凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度與噴油嘴噴油頻率及單向減壓閥工作效率三者之間的關(guān)系。

3.2 模型建立

3.2.1 增加一個(gè)噴油嘴時(shí)的情形

根據(jù)題意，先在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上增加一個(gè)噴油嘴，并且兩個(gè)噴油嘴的噴油規(guī)律相同。

3.3 模型求解

3.3.1 增加一個(gè)噴油嘴情形時(shí)的求解結(jié)果

給定1s中單個(gè)噴口噴油次數(shù)n1：1次，2次，3次，4次，5次，得到對(duì)應(yīng)的每0.1ms中噴出的油的質(zhì)量m（單位：mg）。運(yùn)用差分思想，以0.1ms為差分間隔，實(shí)現(xiàn)同第二問(wèn)一樣的差分過(guò)程，得到滿足△m=0的ω;對(duì)n1，ω進(jìn)行擬合，得到圖像與關(guān)系如圖6。

最終得到ω=0.058n12+1.94n1+50.78，根據(jù)上述關(guān)系式可以給定具體凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω，噴油次數(shù)n1，進(jìn)而得到具體的噴油和供油策略。例如，控制凸輪角速度ω=52.778rad/s，一個(gè)噴油嘴一秒鐘噴油的次數(shù)n1=1次，即可以實(shí)現(xiàn)高壓油管的壓力穩(wěn)定在100Mpa。

3.3.2 再增加一個(gè)單向減壓閥情形時(shí)的求解結(jié)果

相較于第一小問(wèn)，增加了變量td，表示一秒鐘內(nèi)減壓閥的打開(kāi)時(shí)間，同樣給td：0.001ms，0.002ms，0.003ms，0.004ms，0.005ms，由對(duì)應(yīng)的n1，td求出每0.1ms中噴出的油的質(zhì)量m（單位：mg）。運(yùn)用差分思想，以0.1ms為差分間隔，實(shí)現(xiàn)同第二問(wèn)一樣的差分過(guò)程，得到滿足△m=0的ω;對(duì)n1，ω，td進(jìn)行擬合，運(yùn)用cftool工具箱進(jìn)行擬合，得到圖像及三者之間的關(guān)系式如圖7。

最終得到ω=44.35+3.234n1+9444td，根據(jù)上述關(guān)系式可以給定具體凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω，噴油次數(shù)n1，單向減壓閥在一秒鐘工作的時(shí)間td，進(jìn)而得到具體的高壓油泵和減壓閥的控制方案。例如，控制凸輪角速度ω=57.028rad/s，一個(gè)噴油嘴一秒鐘噴油的次數(shù)n1=1次，單向減壓閥在一秒鐘工作的時(shí)間td=0.001ms，即可以實(shí)現(xiàn)高壓油管的壓力穩(wěn)定在100Mpa。

4 模型評(píng)價(jià)

（1）本文主要建立差分方程模型，代替微分方程描述，在方程中避免了導(dǎo)函數(shù)，可以用迭代的方式求解。

（2）建立的模型能與實(shí)際緊密聯(lián)系，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)所提的問(wèn)題進(jìn)行求解，使得模型更貼近實(shí)際，通用性，推廣性較強(qiáng)。

（3）通過(guò)差分方程模型求解出來(lái)的結(jié)果沒(méi)有通過(guò)微分方程模型求解的結(jié)果精確。

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