σ-半素?cái)M環(huán)Lie理想上的導(dǎo)子的研究

鐘佩伶

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林長(zhǎng)春 130000)

0 引言

Bell和Kappe[1]證明了，若d為R上的導(dǎo)子，在R的非零右理想上作為同態(tài)或反同態(tài)，則d=0.在2003年，Asma和Shakir[2]將Bell和Kappe的結(jié)果推廣到2-扭自由素環(huán)的Lie理想上，證明了：如果2-扭自由素環(huán)R上的導(dǎo)子d在R的非零平方封閉Lie理想U(xiǎn)上作為同態(tài)或反同態(tài)，則有d=0或U?Z(R).在2007年Oukhtite[3]等人將Asma和 Shakir[2]的結(jié)果推廣到σ-素環(huán)上，證明了：如果2-扭自由σ-素環(huán)R上的導(dǎo)子d(d與σ是可交換的)在R的非零σ-Lie理想U(xiǎn)上作為同態(tài)或反同態(tài)，則有d=0或U?Z(R). 由于半素環(huán)比素環(huán)更具一般性，本文將Asma和 Shakir[2]的部分結(jié)果推廣到半素?cái)M環(huán)上，得到如下研究結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)R為結(jié)合環(huán).對(duì)任意的a，b∈R，若由aRb=0，必有a=0或b=0， 則稱R為素環(huán).如果環(huán)R為2-扭自由的，則對(duì)任意的a∈R，若2a=0，則必有a=0.設(shè)R是環(huán)，d:R→R是加性映射.若對(duì)任意的x，y∈R，滿足：d(xy)=d(x)y+xd(y)，則稱d是R上的導(dǎo)子.若映射σ:R→R滿足：(1)σ(x)?R，x∈R;(2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y)，x，y∈R;(3)σ(xy)=σ(x)σ(y)，x，y∈R，則稱σ為R的自同構(gòu)．設(shè)R是結(jié)合環(huán)，g:R→R是加性映射，θ，φ是R上的自同構(gòu). 若對(duì)任意的x，y∈R， 滿足g(xy)=g(x)θ(y)+φ(x)g(y) ， 則稱g為R上的(θ，φ)-導(dǎo)子. 設(shè)R是環(huán)，I?R是R的可加子群，若對(duì)任意的r∈R，a∈I均有ra∈I，ar∈I，則稱I為R的理想.?x，y，z∈R，有[x，y]=xy-yx； [xy，z]=x[y，z]+[x，z]y； [x，yz]=y[x，z]+[x，y]z.設(shè)N是非空集合，若滿足:(i)(N，+)是一個(gè)群;(ii)(N，?)是一個(gè)子群;(iii)(n1+n2)?n3=n1?n3+n2?n3，?n1，n2，n3∈N，則稱N為擬環(huán).設(shè)N是擬環(huán).若xNy=0，x，y∈N，則稱N為素?cái)M環(huán). 設(shè)N是擬環(huán).若xNx=0，x∈N，則稱N為半素?cái)M環(huán).設(shè)N是帶有對(duì)合*的擬環(huán).若xNx=xNσ(x)=0，x∈N，則稱N為σ-半素?cái)M環(huán).設(shè)R為結(jié)合環(huán)，f:x→x*是R上的變換.若對(duì)任意的x∈R，(x*)*=x，(xy)*=y*x*，則稱f為R上的對(duì)合.設(shè)R是帶有對(duì)合*的環(huán).對(duì)任意的a，b∈R，若由aRb=aRb*=0，必有a=0或b=0，則稱R是*-素環(huán)，記為(R，*).設(shè)R是帶有對(duì)合*的環(huán).對(duì)任意的a∈R，若由aRa=aRa*=0，必有a=0，則稱R是*-半素環(huán).設(shè)R是環(huán)，U是R的可加子群.若對(duì)任意的u∈U，r∈R，均有[u，r]∈U，則稱U為R的Lie理想.設(shè)R是帶有對(duì)合*的環(huán)，U是R的Lie理想.若滿足U*=U，則稱R是φ:R→R的*-Lie理想.

2 主要結(jié)果

引理1[[3]引理1]: 設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-素環(huán)，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若對(duì)任意的a，b∈R，滿足aUb=0，則a=0或b=0．

將引理1推廣到半素?cái)M環(huán)上得到如下定理.

定理1:設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-半素?cái)M環(huán)，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若對(duì)任意的a∈R，滿足aUa=aUσ(a)=0，則a=0．

證明 由已知，可得aua=auσ(a)=o， ?a∈R，?u∈U.

(1)

在(1)中，用[u，r]替換u，可得a[u，r]a=a[u，r]σ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

又可得a(ur-ru)a=a(ur-ru)σ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

又可得aura-arua=aurσ(a)-aruσ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

用ra來(lái)替換r，可得

auraa-araua=auraσ(a)-arauσ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

(2)

由(1)和(2)可得auraa=auraσ(a)=o， ?a，r∈R，?u∈U.

用u-1ra-1來(lái)替換r，可得aRa=aRσ(a)=o， ?a∈R.

由R是σ-半素?cái)M環(huán)，可得a=o.

證畢.

引理2[[3]引理2]:設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-素環(huán)，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若d是R上的導(dǎo)子(d與σ是可交換的)，且d(U)=0，則d=0.

將引理2推廣到半素?cái)M環(huán)上得到如下定理.

定理2：設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-半素?cái)M環(huán)，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若d是R上的導(dǎo)子(d與σ是可交換的)，且d(U)=0，則d=0.

證明：由已知可得d(u)=0 ，?u∈U.

(3)

用[u，r]來(lái)替換u，可得d([u，r])=0 ，?u∈U，?r∈R.

又可得d(ur-ru)=0，?u∈U，?r∈R.

又可得d(ur)-d(ru)=0，?u∈U，?r∈R.

又可得d(u)r+rd(u)-d(r)u-rd(u)=0，?u∈U，?r∈R.

由(3)可得ud(r)-d(r)u=0，?u∈U，?r∈R.

又可得 [u，d(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

(4)

在(4)中用r2來(lái)替換r，可得[u，d(r)r+rd(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

又可得 [u，d(r)r]+[u，rd(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

又可得[u，d(r)]r+d(r)[u，r]+[u，r]d(r)+r[u，d(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

由(4)可得d(r)[u，r]+[u，r]d(r)=0，?u∈U，?r∈R.

(5)

又由(4)可知[[u，r]，d(r)]=0，?u∈U，?r∈R.

又可得[u，r]d(r)-d(r)[u，r]=0，?u∈U，?r∈R.

又可得[u，r]d(r)=d(r)[u，r]，?u∈U，?r∈R.

(6)

又由(5)可得(6)可得 2[u，r]d(r)=0，?u∈U，?r∈R.

由R是2-扭自由的，可得[u，r]d(r)=0，?u∈U，?r∈R.

又可得Ud(r)=0，?r∈R.

(7)

將(7)右乘d(r)可得d(r)Ud(r)=0，?r∈R.

若r∈Sσ(R)，則有d(r)Uσ(d(r))

由定理1可得d(r)=0，?r∈Sσ(R).

(8)

對(duì)于任意的x∈R，可得x+σ(x)∈Sσ(R)

(9)

由(8)和(9)可得d(x+σ(x))=0，?x∈R.

又可得d(x)+d(σ(x))=0，?x∈R.

由d與σ是可交換的，可得d(x)+σ(d(x))=0，?x∈R.

又可得σ(d(x))=-d(x)，?x∈R.

(10)

由(10)可得d(x)∈Sσ(R)，?x∈R.

(11)

由(7)和(11)可得d(x)Uσ(d(x))=0，?x∈R.

(12)

由(7).(12)和定理1，可得d(x)=0，?x∈R.

所以d=0.證畢.

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了設(shè)R是中心為Z(R)的2-扭自由σ-半素?cái)M環(huán)，U?Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若d是R上的導(dǎo)子(d與σ是可交換的)，且d(U)=0，則d=0.把σ-素環(huán)的相關(guān)結(jié)果推廣到了σ-半素?cái)M環(huán)上，對(duì)進(jìn)一步研究σ-半素?cái)M環(huán)的其他性質(zhì)是很有幫助的.