觸摸知識本質　培養(yǎng)數據分析觀念

【摘 要】統計知識的習得與數據分析觀念的形成已成為當今社會每個公民不可或缺的基本素養(yǎng)。平均數的教學是培養(yǎng)學生數據分析觀念的重要載體，它作為一種常用的統計量，其本質是它的代表性，反映了一組數據的整體水平。在教學中，我們應注重激活學生的已有經驗，利用可觀可感的生活情境，幫助他們觸摸平均數的本質，感受平均數的基本特性，進而培養(yǎng)他們的數據分析觀念。

【關鍵詞】平均數;整體水平;知識本質;數據分析觀念

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）01-0071-05

【作者簡介】周衛(wèi)東，南京市長江路小學（南京，210018）校長、黨支部書記，高級教師，江蘇省數學特級教師，“江蘇人民教育家培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象。

【背景】

平均數的學習有三種不同的水平：一是計算水平，重平均數的實際應用——學會求平均數;二是概念水平，重解釋平均數的實際意義——知道反映總體水平;三是統計水平，重平均數的深度解釋與應用——理解平均數的統計學意義及一些特有屬性。我們可以把這三種水平放在“平均數”主題單元教學的框架下思考，正好契合學生深入理解平均數的認知過程。對于平均數的教學，關鍵是要思考如何在“平均數”的主題下設計認知序列，讓學生的學習契合他們的認知規(guī)律，從而達成完整、豐滿的認知。

美國學習研究專家約翰·D·布蘭思福特等人在《人是如何學習的：大腦、心理、經驗及學校》一書中指出：“必須用少量主題的深度覆蓋去替換學習過程中對所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得一些關鍵概念得到理解?！惫P者認為，教師對平均數的教學不能囿于課本，淺嘗輒止，而應該讓知識的本質活起來，讓學生的思維動起來、情感亮起來，從而使學生充分享受數學之于知識世界與人生世界的美好。

本課定位于平均數第三種水平的教學，即統計水平的教學。相較于平均數的第一次認識而言，本課的立意和追求更高些：其一，讓學生進一步理解平均數的意義，即表示一組數據的整體水平，在具體的情境中鞏固平均數的計算方法;其二，引導學生在鮮活的生活場景中理解平均數的特性，如趨中性、敏感性等，進而培養(yǎng)一定的數據分析觀念;其三，激發(fā)學生熱愛生活、向往真善美的情感，體現學科育人的根本價值。因教學目標不同，此課時課題定為《平均數的再認識》，建議在學生學過教材內容“平均數”之后進行教學。

【教學過程及分析】

一、談話引入，孕伏概念

課前，教師板書：考得怎么樣？

師（出示考試畫面）：這是周老師教的四（3）班同學上學期期末考試時的一個鏡頭。等他們考試結束，我就忙起來了，猜猜看，我在干什么？

生：登記分數，批試卷，分析試卷……

師：都沒猜對哦！其實周老師正在跟人聊天呢！你猜，我在跟誰聊天？

生：跟其他老師聊天，跟家長聊天，向領導匯報……

師：的確，我正和我們宋校長QQ聊天呢。想不想看看我們的聊天記錄？（出示圖1）

美國教育家杜威在《思維與教學》一書中說：“在學校里，學生思維訓練失敗的最大原因，也許在于不能保障在校外實際生活那樣，有可以引起思維的經驗和情境。”真實的學習就是要讓學生在真實的學習情境中學習解決真實世界問題的方法，在完成真實世界任務的過程中習得知識、獲得理解、豐富交往、形成品格?！捌骄鶖怠闭Q生于解決實際問題的土壤里，只有真實的生活情境才能讓它的意義得以生成與解釋。本環(huán)節(jié)截取了一則學生學習環(huán)境中常見的考試場景，巧妙孕伏需要提煉的“平均數”話題，蓄勢待發(fā)，巧妙自然，“課初始，趣亦生”。

二、逐步逼近，生成概念

師：看了剛剛的聊天記錄，你認為四（3）班這次數學考得怎么樣？

生：考得還行吧，因為不及格的人很少;有進步，上次那個不及格的同學及格了;還需要進一步努力，畢竟班上還有一個不及格的……

師：在剛剛的交流中，有的說考得還行，有的說有進步，好像還沒形成一個相對統一的意見。那么，僅僅靠這三句話，能判斷我們班考得怎么樣嗎？

生：不能，信息太散了。

師：是的！于是宋校長又問——那班級整體水平怎樣？（板書：整體水平）

師：宋校長究竟是什么意思呢？

生：想知道全班每個人的分數，想知道全班的總分，想知道班級的平均分……

師：你們同意誰的說法？

生（異口同聲）：平均分。

師：是的，表示整體水平的統計量有很多，平均數是最常用的一種。這次四（3）班考試的平均分就是一種平均數。不過，我的試卷統計工作還沒進行到這一步，才有了分段統計表。（出示圖2）

師：根據這個分段統計表，大膽猜一猜，這次考試的平均分是多少？

生（紛紛猜）：90、93、85、86、89、87……

師：僅憑分段統計表，能知道準確的平均分嗎？怎樣才能知道準確的平均分呢？

生：把每位同學的分數加起來，除以人數。

師：也就是把所有人的分數先合起來，然后再除，也可以說“先合后分”。（介紹Excel表格后，現場利用Excel表格求出平均分）平均分是多少？（86分）剛剛哪位同學猜得最準？

此環(huán)節(jié)采取“遠鏡頭漸進”的方式，從三句話切入，讓學生在自由評價中感受內容的零散與游離，從而體會到“平均數”產生的必要性，然后根據分段統計表呈現的數據對平均分進行大膽猜測，提升了學生對數據進行科學預測與分析的能力。

三、巧妙對比，理解本質

師：算出了平均數，我們再來看這個頁面，這個紅色的86是平均數，好好觀察，這個表格中還有一個黑色的86，在哪兒？

生：24號同學的考分。

師：想想，這兩個86一樣嗎？

生：不一樣，黑86是24號同學自己的分數，紅86是全班同學的平均分。

師：誰還有更進一步的補充？

生：這兩個86表示的意義也不一樣，一個表示個人的，一個表示整體的。

師：是的，相同的兩個數，表示的意義不同。那么，有了個人的86，為什么還要全班的86呢？這個紅86到底有什么用？

生：個人的分數用來與個人比，表示整體水平的86可以用來與整體比，還可以用來把班上每個學生的成績與它比較，看看他們在班上所處的位置;如果考卷相同，這個平均分還可以用來與上一屆四年級進行比較，看哪一屆考得更好。

師：是啊，平均數代表一組數據的整體水平，便于我們進行各方面的比較，解決多種問題。

杜威在《我們怎樣思維·經驗與教育》一書中指出：“兒童概念的形成，起初并不是從許多現成的事物中抽出一個共同的意義，而是把舊有經驗中的結果運用于新的經驗中，以便幫助他理解和處理新的問題?！贝谁h(huán)節(jié)圍繞“這兩個86一樣嗎？”這個問題進行深度探問，充分激活學生的已有經驗，使其對表示班級整體水平的平均分的作用有了更加準確、生動的理解，為學生全面理解“平均數表示一組數據的整體水平”創(chuàng)造了良好的學習載體。

師：同學們，Excel表格還可以把這些分數轉化為條形統計圖，用直條表示全班的分數情況。（讓學生想象后給出統計圖，出示圖3）

師：這條紅色的虛線表示平均分，你覺得把它放在圖中什么地方最合適？

生（上臺指80到90之間）：因為平均分是86分。

師：是的，在80到90之間。還有不同的想法嗎？

生：和24號同學的直條一樣高，因為平均分和他的分數一樣，都是86分。

師：觀察得真仔細，他巧妙地利用24號同學的成績，精準找到了平均分的位置。

師（指54分處）：如果有同學把這條線放在這兒，你們同意嗎？說說你的想法。

生：不合適，這是最低水平。

師（指100分處）：那放這兒是什么水平？

生：最高水平。

師：你們覺得整體水平在怎樣的范圍內？

生：最高和最低之間。

師：是的，平均數處在最高和最低水平之間的范圍內，這是平均數的一個重要特性，在數學上叫作趨中性。

師：同學們，聊到這兒，我想起件事也要向校長報告一下。我們班小范同學生病請假了，沒參加考試。站在校長的角度，你會怎么想？

生：小范平常的水平怎么樣？小范如果參加考試，對整體水平有什么影響？……

師：很有數據分析意識哦，跟校長的想法差不多。校長是這樣說的——他如果參加考試，對整體水平有影響嗎？小組討論后匯報。

生1：有兩種可能，考得好的話，整體水平會上升;考得不好的話，整體水平會下降。

生2：還有第三種情況，如果小范的考分和平均分一樣的話，就沒有影響。

師：同學們想象一下，如果小范考了86.5分，對平均分有影響嗎？如果是86.1分，有影響嗎？如果是85.9分，有影響嗎？

師：盡管只是高了或低了那么一點點，但都會對平均分有影響。正如一位數學家所說——平均數很敏感，一有風吹草動，它就有變化。這是平均數的另一個重要特性，叫敏感性。

充分挖掘數據中蘊藏著的大量信息，驅動學生的思維往寬處走、往深處探，努力彰顯數學教學無窮的魅力。本環(huán)節(jié)中，借助Excel表格的繪圖功能，形象直觀地呈現全班考試成績的數據分布。找到平均分所處的位置之后，再與表示最低分與最高分的兩根虛線比較，讓學生感受到平均數的趨中性;同時，通過對小范考分的多次假設，讓學生深刻體悟平均數的敏感性。

四、情境重現，深度思考

師：上學期結束時，小范參加了補考，考了60分。班上有個小孫同學說，小范，如果你考100分，班級總分就能提高40分，正好分給其他40個同學，那班級平均分就提高1分了。對于這樣的想法，你們同意嗎？

生：他分40分的時候把小范漏掉了，全班一共有41人，要分給41個同學。

師：是呀，多出的40分要平均分給41個同學，沒有1分。

師：在我們學校，并不僅僅通過考分來評定一個學生的數學期末成績，而是通過星級評價來評定。

師（出示圖4）：算算平均星級是多少。

師：平均星級8顆星，這個8是怎么來的？

生：把四項的星加起來再除以4得到的。

師：懂你的意思，是先合后分，還有不一樣的想法嗎？

生：4個數中，有兩個8，把最多的10移2給6，就都是8了。

師：把多的移給少的，叫移多補少。求平均數有這樣兩種基本方法——先合再分和移多補少。

師：小范其實是一個全面發(fā)展的同學，在學期結束階段，他幫學校做了許多事。（呈現三個情境，如下頁圖5）好好想想，你覺得這三件事中哪些跟我們今天研究的平均數有關？

生1：①和③。

生2：我覺得②也是。

師：①的平均數在哪兒？

生：三次總成績除以3。

生3：我參加過立定跳遠，立定跳遠成績由自己的最高水平決定，所以①與平均數無關。

師：生活經驗真豐富，為你點贊！

生：③與平均數有關，在5個評委的分數中還要去掉一個最高分和一個最低分。最高和最低是兩個極端數據，對平均數會有影響。

師：再看看②，與平均數有沒有關系？

生：有關系，10個班的人數雖然不一定都是一樣的，但平均下來大約是40人。

師：是??！小范用了算式10×40，10表示班級數，40表示各班級的平均人數，他巧妙應用了根據平均數來算總數的原理。

此環(huán)節(jié)既讓學生在巧妙的情境中鞏固了“平均數”的兩種基本算法（先合后分與移多補少），又讓學生在復雜的情境中理解了“參考人數變化了，平均分也要變化”的多維思考。更重要的是，給學生呈現了三則生活場景，使學生對平均數本質的理解躍升到了一個全新的高度。

五、故事結尾，升華價值

師：最后給大家講一個故事——“埃蒙斯的最后一槍”。埃蒙斯一生中參加過三屆奧運會。第一次，2004年雅典奧運會的決賽階段，他前9槍優(yōu)勢明顯，還剩最后一槍。結果站在2號靶位的他把子彈打到了3號靶位，最后得了0環(huán)，從而與冠軍失之交臂。2008年的北京奧運會，他又來了，前9槍的平均成績是10.1環(huán)，最后一槍卻打了4.4環(huán)，又一次與冠軍錯過了。2012年的倫敦奧運會，驚人的巧合，前9槍的平均成績是10.0環(huán)，最后一槍7.6環(huán)，再一次功虧一簣。三次奧運，都因為最后一槍的成績太差而與金牌擦肩而過。聽了這個故事？你有什么感想？

生：極端數據容易影響平均數，所以我們要盡可能走好每一步;有時候就差那么一點點細微的東西，就會與重要的事物擦肩而過;關鍵時刻不能掉鏈子……

師：感悟得真深刻呀！同學們，當我們都在為埃蒙斯惋惜時，他說，他們笑話我，無所謂，再來過，我知道我人生的唯一責任，就是在活著的時候永遠竭盡全力！同學們，我們生活中也有很多考場，也有很多平均數，這其中的道理需要我們日后慢慢體會。

談到“深度學習”，北京師范大學郭華教授認為：深度學習“深”在哪里？首先“深”在人的心靈里，“深”在人的精神境界上，還“深”在系統結構中，“深”在教學規(guī)律中。本環(huán)節(jié)，通過“埃蒙斯的最后一槍”這一真實故事，讓學生不僅從平均數的角度理解極端數據可能給平均數帶來的影響，還從生活的角度感悟到“要盡可能走好每一步”“關鍵時刻不能掉鏈子”等一些做人做事的樸素道理，叩中了學生的靈魂，激活了學生的情感，真正落實了從“數學教學”走向“數學教育”這一根本性要求。