矩陣可逆判定的等價命題

李 斐，張圣梅，郭 卉

（安徽財經(jīng)大學(xué) 1.統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院；2.會計學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

矩陣是高等代數(shù)課程的核心概念和研究對象之一，它貫穿了整個課程的始終.在矩陣之中，方陣是處于核心的一類，也是相關(guān)理論最為豐富的一類.矩陣有兩個典型的運算，就是加法和乘法.從對稱的角度來看，加法的對稱中心為零矩陣，而負矩陣就是關(guān)于中心的對稱矩陣.負矩陣的存在是無條件的.類似于加法，同樣從對稱的角度，乘法的對稱中心是單位矩陣.可逆矩陣是方陣之中關(guān)于乘法對稱中心有對稱矩陣的一類.然而，不是所有的方陣都有乘法上的對稱矩陣，即乘法上對稱矩陣的存在是有條件的.

對矩陣可逆判定的等價性命題進行總結(jié)，可以揭示矩陣與各個章節(jié)中核心概念之間的緊密聯(lián)系，也可以更好地展現(xiàn)出理論和結(jié)論的相互印證和證明，相互補足和呼應(yīng).對這些充要條件的集中梳理，可以貫通各章節(jié)的知識點，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，幫助學(xué)生拓展解決問題的思路，提高學(xué)生綜合解決問題的能力.

設(shè)P 是一個數(shù)域［1］，A 是數(shù)域P 上的n 級方陣.記Pn為數(shù)域P 上的n 維坐標向量空間.如果存在另一個數(shù)域P 上的n 級方陣B 使得AB=BA=E，則稱A 可逆.可逆矩陣又稱為滿秩矩陣或者非退化矩陣.記A 為n 級方陣，α1，α2，…，αn是它的行向量組，β1，β2，…，βn是它的列向量組.本文中E 表示n 級單位方陣.同時，A-1、AT、A*、r（A）分別為A 的逆矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣、伴隨矩陣和秩.

1 可逆矩陣與相關(guān)概念

在高等代數(shù)或者線性代數(shù)課程中，與矩陣本身密切相關(guān)的概念有轉(zhuǎn)置矩陣、伴隨矩陣、行列式、矩陣的秩、矩陣的特征值［1-3］等.從可逆矩陣的相關(guān)基本概念這個角度，有下面的7 個充要條件.

C1. A 可逆當且僅當存在矩陣B，使得AB=E（或者BA=E）.

C2. A 可逆當且僅當A 的行列式|A|≠0.

C3. A 可逆當且僅當矩陣AT可逆.

C4. A 可逆當且僅當矩陣A*可逆.

C5. A 可逆當且僅當A 的秩r（A）=n.

C6. A 可逆當且僅當對于可逆矩陣M，AM（或者MA）也可逆.

C7. A 可逆當且僅當A 的特征值不等于零.

在這里，前兩個充要條件是由可逆矩陣定義和求逆矩陣的伴隨矩陣法而得來，是可逆矩陣定義的簡化而來的判定條件.條件C2 是判斷矩陣可逆的最為直接和常用的途徑.條件C3 和C4 說明了一個方陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣和伴隨矩陣同為和同不為可逆矩陣.秩和特征值是矩陣重要的不變量，條件C5 和C7 反映了這些重要不變量與矩陣可逆性之間的關(guān)系.有時候不易證明矩陣A 可逆，但是A 作為矩陣AM 的因子，而AM 更易于證明為一個可逆矩陣，可以利用條件C6，從而達到目的.請看下面兩個例子：

例1設(shè)B 為實反對稱矩陣，即BT=-B.證明：E+B 為可逆矩陣.

證為了證明E+B 為可逆矩陣，只需要證明（E+B）（E+B）T，即E-B2可逆.構(gòu)造二次型f（X）=XT（E-B2）X，則f（X）=XTX+XTBTBX.易見當X ≠0，f（X）0.因此f（X）為正定二次型，即（E+B）（E+B）T可逆，由條件C6，所以E+B 也為可逆矩陣.

例2設(shè)B 為n 級矩陣，且有B2=B.證明：E+B 為可逆矩陣.

證由B2=B，可得B2-B-2E=-2E，即有（E+B）（-2E+B）=-2E.由-2E 為可逆可得E+B 為可逆矩陣.

2 可逆矩陣與坐標向量

矩陣的概念是由坐標向量推廣而來的.即矩陣A 是由它的n 個行向量α1，α2，…，αn上中下排列組裝而成的，也是由它的n 個列向量β1，β2，…，βn左中右排列組裝而成.一個方陣是否可逆和它的行向量組和列向量組息息相關(guān).因此有如下5 個充要條件：

C8. 矩陣A 可逆當且僅當行向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān).

C9. 矩陣A 可逆當且僅當列向量組β1，β2，…，βn線性無關(guān).

C10. 矩陣A 可逆當且僅當行向量組的秩r（α1，α2，…，αn）=n.

C11. 矩陣A 可逆當且僅當列向量組的秩r（β1，β2，…，βn）=n.

C12. 設(shè)η1，η2，…，ηn為一組線性無關(guān)的n 維列向量.矩陣A 可逆當且僅當Aη1，Aη2，…，Aηn線性無關(guān).

實際上，條件C8 和C9 常常被利用來判斷n 個n 維向量是否線性相關(guān)，也就是把它們作為行向量或者列向量組裝成方陣，通過方陣是否可逆來判斷.在高等代數(shù)課程中，有的教材通過向量組的秩來定義矩陣的秩［1］，條件C10 和C11 正是體現(xiàn)了矩陣的秩和向量組的秩之間的關(guān)系. n 級方陣的秩最大是n，這就是可逆矩陣也被稱為滿秩矩陣的原因.

3 可逆矩陣與線性方程組

考慮線性方程組的兩個重要表達方式，矩陣的乘法表達式AX=β，和向量的表達式x1β1+x2β2+…+xnβn=β.從線性方程組的角度，矩陣可逆有如下8 個充要條件：

C13. A 可逆當且僅當齊次線性方程組AX=0 只有零解.

C14. A 可逆當且僅當x1β1+x2β2+…+xnβn=0 只有零解.

C15. A 可逆當且僅當存在一個向量β ∈Pn，使得AX=β 有唯一解.

C16. A 可逆當且僅當存在一個向量β ∈Pn，使得x1β1+x2β2+…+xnβn=β 有唯一解.

C17. A 可逆當且僅當對于任意一個向量β ∈Pn，AX=β 有唯一解.

C18. A 可逆當且僅當對于任意一個向量β ∈Pn，x1β1+x2β2+…+xnβn=β 有唯一解.

C19. A 可逆當且僅當對于任意一個向量β ∈Pn，AX=β 都有解.

C20. A 可逆當且僅當對于任意一個向量β ∈Pn，x1β1+x2β2+…+xnβn=β 都有解.

線性方程組的解存在3 種情形：無解、唯一解、無窮解.一般教材上從向量的角度證明這3 種情形所對應(yīng)的充要條件，最終用矩陣語言給以回答.當線性方程組有n 個未知量和n 個方程時，其系數(shù)矩陣為方陣.此時，解是否唯一就與系數(shù)矩陣的是否可逆相連.條件C17 包含了克萊姆（Cramer）法則［3］的一部分，從這個條件可以看出克萊姆（Cramer）法則的逆命題是正確的.

4 可逆矩陣與初等變換、初等矩陣

矩陣的初等變換就是一個算法，利用它可以解決很多問題.例如求矩陣的秩、求方陣的行列式、解線性方程組、求逆矩陣、化對稱矩陣為對角矩陣等.一般地，矩陣的初等變換分為3 個階段：對一個矩陣先進行初等行變換，變成行階梯形，此為變換的第1 階段；再通過初等行變換變成行最簡形，此為第2 階段；之后，再通過初等列變換變成矩陣的標準形，此為第3 階段，初等變換也到此結(jié)束.對一個矩陣進行一次初等變換相當于對其乘上一個相應(yīng)的初等矩陣.在矩陣初等變換的過程中，可以判定一個方陣是否可逆.因此有如下8 個充要條件.

C21. A 可逆當且僅當A 經(jīng)過任意有限次初等變換得到的仍是可逆矩陣.

C22. A 可逆當且僅當A 的行階梯形矩陣沒有零行.

C23. A 可逆當且僅當A 的行最簡形矩陣為單位矩陣.

C24. A 可逆當且僅當只用行變換可以把A 化成單位矩陣.

C25. A 可逆當且僅當只用列變換可以把A 化成單位矩陣.

C26. A 可逆當且僅當A 的標準形矩陣為單位矩陣.

C27. A 可逆當且僅當A 與單位矩陣等價.

C28. A 可逆當且僅當A 可以表示為初等矩陣的乘積.

矩陣的初等變換和矩陣乘法相連.矩陣乘法中矩陣是否可逆從對稱的角度看，是其對稱元存在與否的問題.可逆矩陣在初等變換中有其特殊之處，這些特殊個性就反映了可逆矩陣的本質(zhì)特征.

5 可逆矩陣與線性空間、線性變換

有限維線性空間是坐標向量空間的一般化和抽象化.然而，在同構(gòu)意義下數(shù)域P 上的n 維線性空間只有一個，就是Pn.有限維線性空間上的線性變換可以用n 階方陣來表示.反之，一個方陣A 在取定線性空間的一個基之下，對應(yīng)著n 維空間Pn上的一個線性變換σ.從線性空間與線性變換的角度，矩陣可逆有如下8 個充要條件：

C29. A 可逆當且僅當α1，α2，…，αn是Pn一個基.

C30. A 可逆當且僅當β1，β2，…，βn是Pn一個基.

C31. A 可逆當且僅當σ 是可逆的.

C32. A 可逆當且僅當σ 是一個單射變換.

C33. A 可逆當且僅當σ 是一個滿射變換.

C34. A 可逆當且僅當σ 是一個雙射變換.

C35. A 可逆當且僅當σ 的像空間σ（Pn）=Pn.

C36. A 可逆當且僅當σ 的核空間kerσ 是零空間.

線性空間上的線性變換的定義是抽象的［1］，也讓初學(xué)者捉摸不透線性變換是什么樣子.可是，有限維線性空間上的線性變換實際上表示為矩陣，可以對線性變換有較為直觀的認識.因此線性變換的性質(zhì)和矩陣的性質(zhì)緊密相連，矩陣是否可逆可以從對應(yīng)的線性變換上表現(xiàn)出來.條件C31 就反映了矩陣的可逆就如同線性變換的可逆.條件C35 表明了如果矩陣不可逆，則它對應(yīng)的線性變換的像空間的維度就降低，那么Pn被變換退化而成較低維的空間.這也是不可逆矩陣被稱為退化矩陣，而可逆矩陣被稱為非退化矩陣的緣由.

6 可逆矩陣與歐式空間、實二次型

當談到歐式空間和實二次型，在實數(shù)范圍內(nèi)考慮問題.作為一個矩陣是否可逆的問題，實矩陣有其獨特的充要條件.下面有4 個關(guān)于實矩陣可逆的充要條件.

C37. A 為實可逆矩陣當且僅當AAT為正定矩陣.

C38. A 為實可逆矩陣當且僅當A=QT，其中Q 為正交矩陣，T 為上三角形矩陣，且主對角線元素均為正值.

C39. A 為實可逆矩陣當且僅當存在正定矩陣P 和正交矩陣U 使得A=PU.

C40. A 為實對稱可逆矩陣當且僅當存在實方陣S 使得AS+STA 為正定矩陣.

這4 個充要條件來自教材中的習(xí)題.其中C38 和C39 可分別參見參考文獻［1］ 390 頁14 題和423 頁第22 題.條件C40 可以參見參考文獻［3］ 470 頁例題5，為了方便讀者，把它的證明摘錄在這里.

證如果A 為實對稱可逆矩陣，取S=A-1，則有AS+STA=2E 為正定矩陣；反之，設(shè)A 不可逆，則存在n 維非零實列向量X 使得AX=0.對于任意n 階實方陣S，有XT（AS+STA）X=XTASX+XTSTAX.同時易見XTASX=（XTSTAX）T，因此XT（AS+STA）X=0，可見AS+STA 不是正定矩陣.證畢.

7 結(jié)語

本文對高等代數(shù)課程中可逆矩陣判定的充要條件進行了詳細的總結(jié).可以看到矩陣的可逆性緊密聯(lián)系著課程中的坐標向量、線性方程組、初等變換與初等矩陣、線性空間、線性變換等各個核心概念和結(jié)論.這一總結(jié)，以可逆矩陣作為著眼點，希望可以幫助學(xué)習(xí)者融會貫通本課程各個知識要點，從整體上更好地掌握高等代數(shù)課程的主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)和知識脈絡(luò)，對課程知識體系的理解更上一個層次.

致謝感謝安徽財經(jīng)大學(xué)會計學(xué)院管理會計教學(xué)團隊項目支持.