基于Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則的巖溶區(qū)圓形基礎(chǔ)下伏孔洞沖切破壞上限分析

李亮，曾中林，王志斌，李韜宇

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙，410075；2.湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南湘潭，411201)

我國幅員遼闊，巖溶地質(zhì)分布十分廣泛。工程上在進(jìn)行地勘資料的獲取時可能存在誤差，導(dǎo)致在巖溶地區(qū)的選址不適，特別是對橋梁樁基的選址尤為關(guān)鍵，造成樁基承載能力不足。在巖溶發(fā)育的地區(qū)建設(shè)重要性工程，要求樁基的承載力很高，若樁基承載力不足，則會發(fā)生樁基破壞。目前，國內(nèi)外學(xué)者對巖溶區(qū)樁基的破壞進(jìn)行了很多研究，其中WYLLIE[1]在研究上硬下軟的雙層地基破壞模式時，通過大規(guī)模的荷載試驗證明，雖然在理論上巖石的最大主應(yīng)力已超過其抗拉強(qiáng)度，但仍未發(fā)生張拉破壞，由此表明巖層很少出現(xiàn)彎曲、皺曲破壞，而是以沖切破壞最為常見；張慧樂等[2]通過對多組巖溶區(qū)嵌巖樁的破壞試驗觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)溶洞頂板較薄、樁端巖層完整時，溶洞頂板易發(fā)生沖切破壞。趙明華等[3-4]也認(rèn)為樁端下伏巖溶頂板破壞時主要以沖切破壞、剪切破壞以及彎拉破壞為主，并引入Griffith 巖石非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則，對樁端下伏巖溶頂板沖切破壞進(jìn)行了詳細(xì)研究，提出了沖切破壞模式下巖溶頂板安全厚度計算方法。以上研究表明，當(dāng)巖溶頂板承受局部荷載時以沖切破壞為主。目前，對巖溶區(qū)樁基抗沖切破壞模式的研究大都參照研究較成熟的鋼筋混凝土板、屋梁樓蓋以及樁基承臺等在局部荷載作用下的破壞模式，并假設(shè)沖切破壞分離面是簡單的圓錐臺面，破壞分離面上的剪應(yīng)力和法向應(yīng)力均勻分布[3-4]。由于巖土體材料的非線性特性，材料破壞面上應(yīng)力分布不均，破壞面并非直線，因此該假設(shè)與實際存在較大的誤差，不能正確反映樁端巖層在樁端均布荷載作用下的真實的受力狀態(tài)。理論及試驗研究表明，板在局部荷載作用下受沖切破壞時，其破壞面上應(yīng)力分布規(guī)律與破壞面裂縫的寬度和深度有關(guān)[5]，因此，沖切破壞面并非理想的圓錐臺面，而是以一拋物線為母線形成的旋轉(zhuǎn)體[6-9]。近年來，國內(nèi)外專家學(xué)者針對巖溶樁基進(jìn)行了大量卓有成效的研究。李炳行等[10]將巖溶頂板按不同地質(zhì)條件簡化為梁板模型進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并認(rèn)為巖溶區(qū)樁基的突出問題不是樁基承載力，而是樁端巖體的穩(wěn)定性。JIANG等[11]以板殼理論為基礎(chǔ)，計算了巖溶頂板穩(wěn)定性力學(xué)模型，得出了當(dāng)頂板邊緣為簡支時，樁端頂板安全厚度的理論計算公式。賀建清等[12]基于塑性力學(xué)極限分析的上限定理，提出了楔形體的平動破壞機(jī)理。在此基礎(chǔ)上，得到了喀斯特地區(qū)樁端極限承載力上限解和樁端頂板安全厚度的計算公式。黎斌等[13]基于三維有限單元法采用Griffith 強(qiáng)度準(zhǔn)則對巖溶區(qū)樁端巖層進(jìn)行應(yīng)力分析計算，并采用多元線性回歸的方法求得了頂板安全厚度的臨界值與溶洞大小和單樁設(shè)計荷載之間的關(guān)系式。GAO等[14]基于有限元法分析了巖溶樁基在荷載作用下的極限承載力，利用最小二乘法得到了極限承載力與影響因素之間的相關(guān)關(guān)系，并提出了極限承載力的變化規(guī)律。雷勇等[15]基于極限分析原理提出了2種確定巖溶頂板極限承載力的方法，并對溶洞頂板的極限承載力進(jìn)行了室內(nèi)模型試驗，得到了破壞模式和相應(yīng)的極限承載力。針對目前對巖溶區(qū)基礎(chǔ)下伏孔洞沖切破壞模式研究中存在的不足，本文作者采用極限分析上限法，并基于Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則，構(gòu)建圓形基礎(chǔ)下伏孔洞頂板沖切破壞機(jī)制，根據(jù)虛功率原理得到極限承載力的表達(dá)式，結(jié)合變分原理，得到破壞面曲線函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，分別討論自由沖切和非自由沖切2種破壞模式，利用差分法結(jié)合邊界條件得到破壞面，從而得到?jīng)_切極限承載力，其研究結(jié)果可為巖溶區(qū)圓形基礎(chǔ)設(shè)計提供依據(jù)。

1 基本理論

1.1 極限分析上限定理

極限分析上限定理認(rèn)為：在一個假設(shè)的滿足速度邊界條件和應(yīng)變與速度相容條件的機(jī)動許可速度場中，由如下虛功率方程所確定的荷載大于或等于真實的極限荷載。

式中：σij*和εij*分別為機(jī)動許可速度場中的應(yīng)力和應(yīng)變率；Ti和Xi分別為作用在研究目標(biāo)上的面力和體力；vi為機(jī)動許可速度場中的速度矢量；S和V分別為荷載作用表面的面積和研究目標(biāo)的體積。

在假設(shè)的機(jī)動許可的速度場所確定的荷載作用下，研究目標(biāo)已經(jīng)發(fā)生破壞，此時確定的荷載必定大于或等于真實荷載，也就是極限荷載的上限值。

1.2 Hoek-Brown非線性破壞準(zhǔn)則

Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則能夠有效全面、具體地描述巖體的非線性破壞特性，能夠更好地闡述巖體的破壞規(guī)律[16]。Hoek-Brown 破壞準(zhǔn)則可以用最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力表示為[17]

式中：σ1為最大有效主應(yīng)力；σ3為最小有效主應(yīng)力，σci為巖體單軸抗壓強(qiáng)度；mb，s和a為量綱一的參數(shù)。

另外，Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則也可由法向應(yīng)力和切向應(yīng)力表達(dá)[18]：

式中：σn為正應(yīng)力；τ為切應(yīng)力；A和B均為材料參數(shù)；σci為巖石單軸抗壓強(qiáng)度；σtm為巖石抗拉強(qiáng)度。

2 沖切極限承載力上限分析

2.1 計算假定

為求得巖溶區(qū)圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板沖切破壞時的極限承載力，必須先假定一種沖切破壞機(jī)制。根據(jù)極限分析上限定理，對于任意假定的沖切破壞機(jī)制，其速度場必須滿足機(jī)動容許的要求，即滿足如下條件：1)速度邊界條件；2)幾何相容條件；3) 相關(guān)聯(lián)流動法則。研究表明[6-9]：板在局部荷載作用下，沖切破壞體是以某一曲線為母線的軸對稱旋轉(zhuǎn)體。此時，將巖體視為理想的彈塑性體，且忽略其幾何變形，根據(jù)極限分析上限定理和沖切破壞體自身的特點，構(gòu)建如圖1所示的沖切破壞機(jī)制，并作如下假定：

1) 巖體為理想的剛塑性介質(zhì)，并服從Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則。

2)在半無限空間內(nèi)，圓形剛性基礎(chǔ)沖切破壞時呈三維軸對稱破壞。

3)沖切破壞過程中巖體與剛性基礎(chǔ)之間無相對滑動。

2.2 沖切極限承載力變分分析

2.2.1 沖切三維破壞機(jī)制

根據(jù)以上假定，構(gòu)造圓形剛性基礎(chǔ)極限狀態(tài)下對應(yīng)的三維曲線型破壞機(jī)制，如圖1所示。三維軸對稱破壞曲面的母線方程設(shè)為f(x)，圓形剛性基礎(chǔ)直徑為2d，下覆巖層厚度為H，孔洞半寬為Lv，下伏孔洞圍壓為q，基礎(chǔ)承載力為Pu。

2.2.2 沖切極限承載力上限計算

當(dāng)圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板沖切破壞時，在機(jī)動許可的速度場中，可分為內(nèi)能耗散功率和外力功率，且內(nèi)能耗散功率只發(fā)生在速度間斷面上。三維沖切破壞時速度間斷面上任意一點的內(nèi)能耗散功率可以由切向應(yīng)力和法向應(yīng)力各自產(chǎn)生的耗散功率迭加得到[19-21]。

圖1 圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板沖切破壞機(jī)制Fig.1 Punching failure mechanism of a rigid circular foundation with an underlying chamber

故沖切破壞時速度間斷面上剪切耗散功率為

外力功率可分為重力功率、圍壓功率以及承載力功率。其中，沖切破壞時巖體重力的功率為

假設(shè)孔洞密閉存在圍壓，孔洞頂面為理想平面，且受到均勻壓力的作用，破壞時孔洞圍壓的功率為

圓形剛性基礎(chǔ)極限承載力功率為

根據(jù)虛功率原理建立平衡方程，內(nèi)能耗散功率等于外力功率。

將式(5)～(8)代入式(9)可得承載力Pu的表達(dá)式為

顯然，極限承載力Pu是Ψ的簡單積分型泛函，通過變分運(yùn)算可以將這一泛函的極值問題轉(zhuǎn)化為求解歐拉方程在滿足邊界條件下的定解問題。Ψ對應(yīng)的歐拉方程為

將式(11)代入式(12)中計算可得：

其中：

式中：c為積分常數(shù)，可由邊界條件確定。

2.2.3 非自由沖切

當(dāng)沖切破壞時其破壞寬度大于孔洞半徑時，沖切受到孔洞寬度的限制，表現(xiàn)為非自由沖切?？捎扇缦逻吔鐥l件確定：

式中：L為巖層破壞寬度，沖切受限時為孔洞半徑，即L=Lv。

2.2.4 自由沖切

當(dāng)沖切破壞寬度小于孔洞半徑時，即L=Lv，沖切不受孔洞寬度的限制，表現(xiàn)為自由沖切。此時L未知，根據(jù)式(15)還不能求解未知系數(shù)。

由于剛性基礎(chǔ)受沖切時呈三維對稱破壞，故剛性基礎(chǔ)底面切應(yīng)力為0 kPa，底面切應(yīng)力又可由破壞曲線上的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力表達(dá)：

其中：

根據(jù)應(yīng)力邊界條件可得：

故有：

2.3 差分原理

由式(13)可知：只有當(dāng)(1-B)/B是整數(shù)時，才能得到f(x)的精確表達(dá)式，進(jìn)而可以得到圓形基礎(chǔ)承載力Pu的表達(dá)式；當(dāng)其不是整數(shù)時，無法求得其原函數(shù)，但可根據(jù)差分原理并結(jié)合邊界條件分層迭代得到f(x)的函數(shù)形狀，同理，也可得到在固定參數(shù)下極限承載力Pu。

為獲求任意參數(shù)條件下圓形剛性基礎(chǔ)沖切極限承載力，以下利用差分法原理進(jìn)行沖切破裂面曲線函數(shù)f(x)數(shù)值求解，基本原理如圖2所示。

根據(jù)差分法的基本概念：

圖2 差分法原理圖Fig.2 Schematic diagram of difference method

于是可得每點的函數(shù)值：

同理，采用上述差分定理，給定式中參數(shù)d，γ，σci，A和B，可得破壞曲線上任一點的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)。在x方向?qū)u的表達(dá)式(10)離散化，可得每一微段直線對應(yīng)的薄層體極限承載力Pu(i)：

將全部的薄層體極限承載力迭加，可得整個破壞機(jī)構(gòu)的極限承載力Pu為

因此，利用Matlab 軟件平臺編程求解，可得任意參數(shù)條件下圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞沖切極限承載力。

3 參數(shù)分析

3.1 自由沖切

3.1.1 極限承載力參數(shù)影響分析

由式(10)可知：影響剛性基礎(chǔ)下覆巖層沖切極限承載力(UBC)的因素眾多，為分析自由沖切條件下不同巖體力學(xué)參數(shù)與剛性基礎(chǔ)半徑等因素對剛性基礎(chǔ)沖切極限承載力的影響，各參數(shù)取值如表1所示，繪制參數(shù)變化下剛性基礎(chǔ)沖切極限承載力的變化曲線，如圖3所示。

由圖3可知：材料參數(shù)B對圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板自由沖切極限承載力的影響較為顯著，且隨著參數(shù)B的增大，極限承載力Pu逐漸減小，且趨勢趨于平緩。隨著材料參數(shù)A、巖層厚度H、剛性基礎(chǔ)半徑d、巖體單軸抗壓強(qiáng)度σci、巖體抗拉強(qiáng)度σtm以及孔洞頂部支護(hù)力q的增大，極限承載力逐漸增大，如圖3(a)～(f)所示；且當(dāng)巖層厚度增大到一定值時，極限承載力的增量較小，如圖3(b)所示；而剛性基礎(chǔ)半徑對極限承載力影響很小，如圖3(c)所示；極限承載力隨洞頂支護(hù)力的增大線性增加，如圖3(f)所示。由式(10)和(19)可知：洞頂支護(hù)力不影響沖切破壞寬度，因此，極限承載力與洞頂支護(hù)力成線性比例關(guān)系。當(dāng)巖體重度γ增大時，極限承載力Pu反而減小，如圖3(g)所示，這是因為自由沖切破壞時，巖體重力功率增大而內(nèi)能耗散功率略有減小，因此，極限承載力的功率減小，即極限承載力減小。

3.1.2 破壞形狀參數(shù)影響分析

巖體參數(shù)反映巖體的物理力學(xué)性質(zhì)，不同的巖體參數(shù)也會使得沖切破壞范圍不同。因此，各參數(shù)取值如表2所示，分析不同參數(shù)對剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板沖切破壞曲面的影響，并繪制其三維破壞模式，如圖4所示。其中，破壞圖由內(nèi)向外參數(shù)已從左至右排序。

表1 圖3極限承載力的參數(shù)取值Table 1 Values of these parameters for UBC in Fig.3

圖3 參數(shù)對自由沖切極限承載力的影響Fig.3 Effects of parameters on UBC under free punching failure

由圖4可知：剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板自由沖切破壞時，其孔洞破壞寬度隨材料參數(shù)A、巖層厚度H、圓形剛性基礎(chǔ)半徑d以及巖體單軸抗壓強(qiáng)度σci的增大而增大，如圖4(a)～(d)所示；隨材料參數(shù)B、巖體重度γ的增大反而減小，如圖4(e)～(f)所示，但重度對自由沖切破壞范圍影響較小。由式(19)可知：沖切破壞曲面函數(shù)不受巖體抗拉強(qiáng)度σtm和洞頂支護(hù)力q控制，故巖體抗拉強(qiáng)度和洞頂支護(hù)力不影響破壞模式和形態(tài)，如圖4(g)～(h)所示。

表2 圖4破壞機(jī)制的參數(shù)取值Table 2 Values of these parameters for failure mechanism in Fig.4

圖4 參數(shù)對自由沖切破壞模式的影響Fig.4 Effects of parameters on failure mechanism under free punching failure

3.2 非自由沖切

3.2.1 極限承載力參數(shù)影響分析

當(dāng)下伏孔洞寬度較小時，此時頂板沖切破壞寬度為孔洞的最大寬度，為非自由沖切。參數(shù)取值如表3所示，分析各參數(shù)對圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板非自由沖切破壞極限承載力，并繪制沖切極限承載力的變化趨勢，如圖5所示。

由圖5可知：材料參數(shù)B對非自由沖切破壞時剛性基礎(chǔ)極限承載力的影響顯著，隨著參數(shù)B的增大，極限承載力逐漸減小，且趨勢趨于平緩。同時，隨材料參數(shù)A、剛性基礎(chǔ)半徑d、巖體單軸抗壓強(qiáng)度σci、巖體抗拉強(qiáng)度σtm、巖層厚度H以及孔洞頂部支護(hù)力q的增大，極限承載力有所提高，如圖5(a)～(f)所示；同理，非自由沖切時洞頂支護(hù)力不影響破壞寬度，因此，極限承載力隨洞頂支護(hù)力增大而線性增大。巖體重度γ增大、孔洞寬度L增大時，不利于孔洞穩(wěn)定性，極限承載力隨之減小，如圖5(g)和(h)所示；當(dāng)孔洞寬度逐漸增大時，破壞機(jī)制趨于自由沖切破壞，對極限承載力的影響也逐漸減??；當(dāng)孔洞寬度達(dá)到一定值時，表現(xiàn)為自由沖切破壞，此時，孔洞寬度不影響極限承載力。

3.2.2 破壞形狀參數(shù)影響分析

同理，非自由沖切時，巖體參數(shù)以及孔洞寬度也必然會影響沖切破壞機(jī)制，參數(shù)取值如表4所示，繪制各參數(shù)變化下圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板非自由沖切破壞時的三維軸對稱破壞形狀，如圖6所示(其中，由于圖6(d)～(h)在各影響參數(shù)變化范圍內(nèi)對破壞模式的影響非常小，三維破壞模式的顯示效果不佳，故以二維剖面示之)。

從圖6可以看出：圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板非自由沖切破壞時其破壞模式與自由沖切時明顯不同，呈“喇叭”狀。其破壞形狀隨圓形基礎(chǔ)半徑d、巖層厚度H以及孔洞寬度L的變化有明顯變化，隨剛性基礎(chǔ)半徑、巖層厚度以及孔洞寬度增大，其非自由沖切破壞范圍增大，如圖6(a)～(c)所示；破壞形狀在材料參數(shù)A、重度γ、巖石單軸抗壓強(qiáng)度σci、單軸抗拉強(qiáng)度σtm、洞頂支護(hù)力q變化下無明顯影響。

4 結(jié)論

1) 材料參數(shù)B對圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板沖切極限承載力的影響較為顯著，且隨著參數(shù)B的增大，極限承載力Pu逐漸減小，且減小趨勢趨于平緩。隨著材料參數(shù)A、巖體單軸抗壓強(qiáng)度σci、巖體抗拉強(qiáng)度σtm、巖層厚度H以及孔洞頂部支護(hù)力q的增大，極限承載力Pu逐漸增大。當(dāng)巖體重度γ增大時，極限承載力Pu反而減小。

2)圓形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞頂板非自由沖切破壞時其破壞模式與自由沖切時明顯不同。自由沖切破壞時，其破壞曲面呈外凸型，孔洞破壞寬度隨材料參數(shù)A、圓形剛性基礎(chǔ)半徑d、巖體單軸抗壓強(qiáng)度σci以及巖層厚度H的增大而增大，隨巖體重度γ、材料參數(shù)B的增大反而減小，而巖體抗拉強(qiáng)度σtm和洞頂支護(hù)力q對破壞寬度沒有影響。非自由沖切破壞時，其破壞曲面呈內(nèi)凹型，沖切破壞范圍隨基礎(chǔ)半徑d、巖石厚度H以及孔洞半徑Lv的增大而增大，沖切破壞面與巖石體質(zhì)量參數(shù)基本無關(guān)。

表3 圖5極限承載力的參數(shù)取值Table 3 Values of these parameters for UBC in Fig.5

圖5 參數(shù)對非自由沖切極限承載力的影響Fig.5 Effects of parameters on UBC under non-free punching failure

表4 圖6破壞機(jī)制的參數(shù)取值Table 4 Values of these parameters for failure mechanism in Fig.6

圖6 參數(shù)對非自由沖切破壞模式的影響Fig.6 Effects of parameters on failure mechanism under non-free punching failure