基于萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)的弧齒錐齒輪建模方法

唐祎，何玉輝，唐進(jìn)元

(1.中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖南長沙，410083；2.中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙，410083)

在現(xiàn)代化機(jī)械制造業(yè)尤其在汽車、航空和機(jī)床中，弧齒錐齒輪生產(chǎn)占有重要地位。由于齒面幾何形狀的復(fù)雜性和特殊性，弧齒錐齒輪不存在統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的齒面參數(shù)化表達(dá)。弧齒錐齒輪的齒制、加工方法、加工機(jī)床、加工工藝都各有不同，故有多種分類方式，例如按照齒高分類，可分為等高齒錐齒輪、漸縮齒錐齒輪和雙重收縮齒錐齒輪；而按加工機(jī)床分類，又分為帶凸輪機(jī)構(gòu)機(jī)械式搖臺(tái)機(jī)床和五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床。機(jī)床不同，則對(duì)應(yīng)的基本加工工藝也不同。例如，在傳統(tǒng)的GLEASON 機(jī)械式搖臺(tái)機(jī)床No.116 上加工，一般采用五刀法，即大輪粗加工+大輪精加工和小輪粗加工+小輪凹面精切+小輪凸面精切。一直以來，齒面建模都局限于某一類加工調(diào)整卡(如SGM，HGM 等)和某一類加工機(jī)床進(jìn)行加工過程仿真模擬[1]。加工調(diào)整卡、加工工藝發(fā)生改變，都需要重新針對(duì)復(fù)雜加工過程進(jìn)行建模，計(jì)算過程復(fù)雜，建模效率低，通用性差。本文突破傳統(tǒng)建模，基于弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)的萬能運(yùn)動(dòng)概念(UMC)，提出了基于萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)的通用建模方法。其中，UMC 機(jī)床模型是針對(duì)數(shù)控加工，將傳統(tǒng)搖臺(tái)機(jī)床各軸“數(shù)控化”后的一種機(jī)床模型，既能實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)機(jī)床的功能，又能利用“數(shù)控化”后各軸的運(yùn)動(dòng)能力來實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的齒面誤差修正。在通用加工參數(shù)的齒面建模中，通過8個(gè)通用參數(shù)可以轉(zhuǎn)化成任意機(jī)械式加工機(jī)床的調(diào)整卡參數(shù)，完成任意調(diào)整卡、任意加工方法的通用統(tǒng)一仿真模擬。目前，有關(guān)UMC 建模的研究比較少，GONZALEZPEREZ 等[2-3]提出了改善齒面接觸特性的齒面綜合分析方法及齒面綜合優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，針對(duì)各種誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)精度的影響進(jìn)行解析描述；ARTONI等[4]對(duì)萬能運(yùn)動(dòng)概念進(jìn)行了闡述，但沒有進(jìn)行基于UMC 建模的研究；FAN[5-6]結(jié)合UMC 的基本概念對(duì)弧齒錐齒輪進(jìn)行了建模與仿真，并推導(dǎo)了一套刀具相對(duì)于齒坯的坐標(biāo)變換關(guān)系；唐進(jìn)元等[7-12]在弧齒錐齒輪的通用化設(shè)計(jì)和加工方面進(jìn)行了大量研究，內(nèi)容涉及弧齒錐齒輪基于各種調(diào)整卡的建模與TCA 和LTCA 分析，為齒面幾何精確建模打下基礎(chǔ)；LIN 等[13-14]研究了通用加工參數(shù)與機(jī)械式機(jī)床參數(shù)之間的等效轉(zhuǎn)換關(guān)系。綜上所述，上述研究均沒有給出基于萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)的弧齒錐齒輪通用建模方法。本文針對(duì)這一問題進(jìn)行研究，給出基于萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)的弧齒錐齒輪通用建模方法，通過相關(guān)計(jì)算實(shí)例對(duì)方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 齒面通用數(shù)學(xué)模型

基于確定的通用機(jī)床加工參數(shù)采用真實(shí)齒面加工仿真模擬的設(shè)計(jì)理念，建立滿足齒面嚙合原理的方程，完成齒面數(shù)學(xué)建模，借助數(shù)值求解方法完成齒面點(diǎn)的離散化，得到齒面的真實(shí)模型。

1.1 刀具建模

弧齒錐齒輪建模來源于實(shí)際齒輪加工過程的仿真模擬[4]。通過數(shù)值模擬刀盤與工件的加工運(yùn)動(dòng)軌跡，獲得一系列不同時(shí)刻的刀具曲面簇。齒面由刀具軌跡的曲線族包絡(luò)而成，獲得的每一個(gè)齒面點(diǎn)必定滿足齒面嚙合定理，求導(dǎo)得由刀具切削軌跡包絡(luò)而成的齒面參數(shù)化方程為

式中：ξ=(μ,θ,φ)為基本設(shè)計(jì)參數(shù)[15]，包含刀盤刀具的幾何參數(shù)(μ,θ)和機(jī)床運(yùn)動(dòng)基本參數(shù)φ；μ為刀具高度方向的變量；θ為刀具旋轉(zhuǎn)角度。該仿真過程主要包括刀盤刀具設(shè)計(jì)(與幾何參數(shù)(μ,θ)有關(guān))和機(jī)床運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)(與由φ表示的機(jī)床加工參數(shù)有關(guān))。

刀盤刀具設(shè)計(jì)主要包括3種類型：直線型、拋物線型和Top-Rem型。而在UMC建模中，拋物線型刀具如圖1所示，分為2個(gè)部分。

1)上端圓弧部分參數(shù)化方程：

圖1 拋物線型刀具形狀Fig.1 Type tool shape of parabolic-profile

2)下端圓弧部分參數(shù)化方程：

式中：Rc為刀位點(diǎn)半徑；μg為拋物線頂點(diǎn)位置參數(shù)；ac為拋物線系數(shù)；αc為壓力角；ρw為刀盤邊緣半徑；λw為刀盤邊緣圓弧角度；Xw為Oc與C點(diǎn)的連線長度；“+”和“－”分別為齒輪加工的凹面和凸面。

1.2 基于刀具展成運(yùn)動(dòng)的齒面通用數(shù)學(xué)模型

圖2所示為基于UMC 的機(jī)床運(yùn)動(dòng)關(guān)系參數(shù)設(shè)置。參照Gleason公司基于萬能運(yùn)動(dòng)概念的設(shè)計(jì)理念[9]和萬能展成模型[13]，在UMC 或者UGM 框架中，有8 個(gè)萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)[16]，分別是刀位Sr、垂直輪位EM、水平輪位XD、床位XB、根錐安裝角γm、刀傾角б、刀轉(zhuǎn)角ξ和基本搖臺(tái)角φ，即

它們各自可以表示為關(guān)于最基本的運(yùn)動(dòng)參數(shù)φ的高階多項(xiàng)式函數(shù)。例如，床位XB就可以表示為

式中：XBk(k=0,…,n)表示其k階運(yùn)動(dòng)系數(shù)。利用萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)就可以表示從齒坯到刀盤的整個(gè)機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈所有坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系Mbc，有

圖2 基于UMC的機(jī)床運(yùn)動(dòng)關(guān)系參數(shù)設(shè)置Fig.2 Parameter setting of UMC-based machine motion relationship

其中：

因此，展成齒面可表示為

由于齒面是由刀具軌跡的曲線簇包絡(luò)而成，故獲得的每一個(gè)齒面點(diǎn)p*=F(ξ*)必定滿足齒面嚙合定理[9]，可得

式中：nb為齒面的方向矢量；而vbc為加工過程中刀具與齒坯的相對(duì)速度。聯(lián)立式(8)和(9)，可完成齒面方程的隱式表達(dá)。顯然，該方程組中，含有3個(gè)未知變量和2個(gè)標(biāo)量方程，具有很強(qiáng)的非線性和復(fù)雜性，通過研究高效率的數(shù)值求解方法，即可以求出展成包絡(luò)齒面數(shù)值點(diǎn)。

2 齒面離散化方法及實(shí)例

2.1 齒面離散化方法

通過齒面離散化獲得理論齒面坐標(biāo)點(diǎn)，以便與實(shí)際加工齒輪測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比。在齒面建模中已經(jīng)證明：齒面參數(shù)化方程的非線性和復(fù)雜性導(dǎo)致齒面不能以顯示形式表示出來，如

只能進(jìn)行齒面離散化逐點(diǎn)求解。通過離散其中1個(gè)未知參數(shù)，求解以另外2個(gè)參數(shù)構(gòu)成的精確齒面方程，匹配合理的齒面等分均勻化規(guī)則[17-18]，以前錐面、背錐面、頂錐面和根錐面為約束邊界條件，就可以完成齒面網(wǎng)格化離散過程。

2.2 齒面建模實(shí)例

根據(jù)提出的建模方法，結(jié)合萬能運(yùn)動(dòng)概念，由8 個(gè)萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)控制刀具相對(duì)齒坯的運(yùn)動(dòng)軌跡，完成對(duì)所有弧齒錐齒輪的參數(shù)化建模。以下算例將不同的弧齒錐齒輪副機(jī)床加工參數(shù)輸入至求點(diǎn)程序，可分別得到規(guī)律的齒面離散點(diǎn)坐標(biāo)，并直接利用齒面離散點(diǎn)建立參數(shù)化曲面，在CATIA中構(gòu)建對(duì)應(yīng)的實(shí)體模型。

2.2.1 齒面建模

本文采用Gleason No.116機(jī)床HFT調(diào)整卡雙面法加工的弧齒錐齒輪副基本設(shè)計(jì)參數(shù)，主要包括齒坯設(shè)計(jì)參數(shù)和機(jī)床加工參數(shù)。需要強(qiáng)調(diào)的是，根據(jù)UMC 定義，原本刀傾法(Tilt?)調(diào)整卡加工的11個(gè)機(jī)床加工參數(shù)除了表中所給萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)外，還有壓力角αc和刀盤偏心角βc，都可以轉(zhuǎn)換成萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)。根據(jù)本文提供的通用參數(shù)化建模方法，可建立齒面的數(shù)學(xué)模型，并完成齒面的離散化表達(dá)。

2.2.2 算例

由于弧齒錐齒輪副的加工工藝繁雜，本文選取其中的主要加工工序即銑齒加工來完成齒輪三維實(shí)體建模。在弧齒錐齒輪的齒面嚙合方程求解過程中，代入不同數(shù)值的萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)，由MATLAB 求解程序可獲得一系列均勻分布的離散齒面點(diǎn)。表1所示為齒坯參數(shù)，表2所示為機(jī)床加工參數(shù)。

根據(jù)給定的齒坯參數(shù)與機(jī)床加工參數(shù)即可完成齒面方程的推導(dǎo)，求解出規(guī)律分布的齒面離散點(diǎn)坐標(biāo)，需說明的是，由于建立的齒面方程具有非線性，不能直接推導(dǎo)出顯示的齒面方程表達(dá)式，只能借助齒面參數(shù)化方法將齒面表示成離散化的點(diǎn)，其中采用的是9×15 的網(wǎng)格點(diǎn)分布方式，如圖3所示。

表1 齒坯參數(shù)Table 1 Blank parameters

表2 機(jī)床加工參數(shù)Table 2 Machine-tool settings

本文提出的參數(shù)化建模求解齒面點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)在于：與Gleason 求解齒面離散點(diǎn)的cage 軟件類似，能求得一系列有規(guī)律、光順的齒面點(diǎn)，有利于后續(xù)進(jìn)行實(shí)體建模；齒面點(diǎn)之間的間距可人為控制；齒面點(diǎn)的密度可根據(jù)齒面面積人為設(shè)定。

2.3 弧齒錐齒輪實(shí)體建模

根據(jù)Matlab 求解的齒輪副的齒面離散點(diǎn)反映出齒面具有良好的齒面光順性和連續(xù)性，可為后續(xù)齒面誤差測(cè)量及修正、齒面接觸分析(TCA)等關(guān)鍵技術(shù)提供精確齒面模型和基本數(shù)據(jù)信息。在弧齒錐齒輪三維建模過程中，齒面離散點(diǎn)必須規(guī)則化，不能出現(xiàn)奇異點(diǎn)或者散亂點(diǎn)，且齒面點(diǎn)分布越密集，得到的模型精度越高。圖4所示為齒輪副在CATIA 中的實(shí)體模型，將獲得的離散齒面點(diǎn)坐標(biāo)導(dǎo)入CATIA 中，由點(diǎn)構(gòu)線，由線構(gòu)面，分別構(gòu)造弧齒錐齒輪的凹面與凸面，再與齒根圓錐面相交進(jìn)行修剪可得到1個(gè)齒槽模型，最后由齒槽與齒坯實(shí)體進(jìn)行布爾運(yùn)算，即可得到弧齒錐齒輪三維建模。

圖3 離散化齒面點(diǎn)Fig.3 Discretized tooth surface points

圖4 齒輪副在CATIA中的實(shí)體模型Fig.4 Physical model of bevel gear pair in CATIA

3 齒面誤差測(cè)量及結(jié)果分析

3.1 齒面誤差的精確測(cè)量

在實(shí)際加工過程中，受多種因素如裝配、機(jī)床運(yùn)動(dòng)、熱處理變形和磨損和裝夾等影響，實(shí)際加工制造的真實(shí)齒面與理論齒面產(chǎn)生一定偏差。在弧齒錐齒輪的齒面設(shè)計(jì)中，定義其法向偏差為齒面誤差，用差曲面來表示。在目前的實(shí)際測(cè)量中，很多公司有專門的齒輪測(cè)量儀，配備專業(yè)商用軟件如G-AGETM和KOMET?等，完成齒面的精確自動(dòng)測(cè)量。本文采用CMMs 精確測(cè)量弧齒錐齒輪的齒面誤差，CMMs 具體型號(hào)為1500GMM，測(cè)量參考標(biāo)準(zhǔn)為HB0－1992－1998。圖5所示為齒輪副的實(shí)際加工齒面誤差CMM測(cè)量實(shí)例。

圖5 實(shí)際加工齒輪的CMM測(cè)量Fig.5 CMM measurement of actual machined gears

3.2 齒面誤差的測(cè)量結(jié)果

在齒面測(cè)量規(guī)劃中，將齒輪的軸向橫截面預(yù)設(shè)1 個(gè)齒面網(wǎng)格AMBMCMDM，該齒面網(wǎng)格可以根據(jù)齒面離散化來確定，用來表示1個(gè)理論參考的設(shè)計(jì)齒面。參照Gleason標(biāo)準(zhǔn)的一般齒面預(yù)設(shè)網(wǎng)格點(diǎn)規(guī)劃，齒面被離散化成1個(gè)典型的5×9網(wǎng)格，即齒寬(face width, FW)方向取9 個(gè)點(diǎn)，而齒高( tooth height,TH)方向取5 個(gè)點(diǎn)，并建立與理論齒面的差曲面。圖6所示為三坐標(biāo)測(cè)量儀測(cè)得齒面誤差。

表3所示為齒面誤差測(cè)量結(jié)果。將建立的齒輪模型與實(shí)際加工齒輪模型進(jìn)行比較可知：小輪銑齒后的凹面齒面誤差平均值為1.862 μm，最小值為-4.400 μm，位于(5,9)點(diǎn)即大端面與齒頂面相交處；最大值為5.100 μm，位于(5,4)點(diǎn)即靠近齒根面中間處；小輪凸面齒面誤差平均值為5.236 μm，其中最小值為-9.700 μm，位于(2,1)點(diǎn)即小端面中間位置；最大值為13.400 μm，位于(5,9)點(diǎn)即靠近大端面與齒頂面相交處。

大輪的測(cè)量結(jié)果相比于小輪來說更理想，大輪凹面齒面誤差平均值為2.328 μm，其中最小值為-5.200 μm，位于(3,2)點(diǎn)即靠近小端面中間處；最大值為3.200 μm，位于(4,9)點(diǎn)即大端面靠近齒頂面相交處。大輪凸面齒面誤差平均值為1.477 μm，最小值為-2.600 μm，位于(3,2)點(diǎn)即靠近小端面中間處；最大值為3.400 μm，位于(5,1)點(diǎn)即小端面與齒頂面相交處。

3.3 齒面誤差測(cè)量的結(jié)果分析

由表3可知：由于大輪是主動(dòng)件且易加工，在實(shí)際加工制造過程中，可通過1次裝夾同時(shí)銑削出凹凸面，而小輪則需分別裝夾并使用不同種型號(hào)銑刀切削才能得到。這也解釋了與較大輪相比，小輪齒面誤差總體偏大的原因。其次，影響齒面精度的因素除了安裝誤差、裝夾誤差外，還應(yīng)考慮到機(jī)床空間幾何誤差、刀具磨損等。

在實(shí)際建模過程中發(fā)現(xiàn)，使用Matlab 求解離散齒面點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，離散的齒面點(diǎn)疏密程度也會(huì)影響三維模型的精度。

將求解的齒面點(diǎn)導(dǎo)入至CATIA 中，采用不同的方式構(gòu)造三維齒面，獲得的實(shí)體模型精度也會(huì)有所區(qū)別。例如，將9列的齒面點(diǎn)連成線再構(gòu)面和將15行的齒面點(diǎn)連成線再構(gòu)面得到的齒面不一樣；在CATIA 創(chuàng)成式外形設(shè)計(jì)模塊中，選擇“橋接曲面”和“多截面曲面”命令創(chuàng)建的齒面也會(huì)有差異。

綜合考慮制造加工過程中以及參數(shù)化建模流程中各種誤差的的影響，在齒面法矢方向得到的齒面誤差測(cè)量結(jié)果精度較高，說明本文提出的基于參數(shù)化弧齒錐齒輪通用建模方法原理正確。

圖6 齒面誤差分析Fig.6 Tooth surface error analysis

表3 齒面誤差測(cè)量結(jié)果Table 3 Tooth surface error measurement results μm

4 結(jié)論

1)運(yùn)用Newton 迭代法建立齒面參數(shù)化方程以獲得統(tǒng)一齒面參數(shù)化表達(dá)，綜合考慮機(jī)床幾何空間誤差、安裝誤差等誤差來源，提出基于萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)的弧齒錐齒輪建模方法。

2)對(duì)1對(duì)錐齒輪參數(shù)進(jìn)行模型建立，測(cè)量結(jié)果顯示建立理論模型與實(shí)際模型非常接近，為后續(xù)齒面誤差修正提供基本的技術(shù)支撐和理論基礎(chǔ)。

3)基于萬能運(yùn)動(dòng)建模理念，給出了由萬能運(yùn)動(dòng)參數(shù)驅(qū)動(dòng)的齒面參數(shù)化模型。該機(jī)床加工參數(shù)可以由任意機(jī)械式加工機(jī)床調(diào)整卡參數(shù)轉(zhuǎn)化而成，實(shí)現(xiàn)了所有加工形式統(tǒng)一的參數(shù)驅(qū)動(dòng)化弧齒錐齒輪建模。