淺談《大學(xué)物理》中的高斯定理在靜電平衡中的應(yīng)用

劉世杰 杜 慧 王曉飛 郝世明 李同偉

（河南科技大學(xué)物理工程學(xué)院 河南·洛陽 471023）

根據(jù)物質(zhì)的導(dǎo)電性能對(duì)其進(jìn)行分類，可以分為三個(gè)類別，分別是導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體。對(duì)于本文中，我們主要討論導(dǎo)體的靜電平衡性質(zhì)，這是由于導(dǎo)體中存在大量自由電荷，當(dāng)外電場(chǎng)改變時(shí)，電荷可以進(jìn)行自由移動(dòng)，進(jìn)而達(dá)到導(dǎo)電的效果。具體而言，當(dāng)把導(dǎo)體放置于一個(gè)外電場(chǎng)中，相較于無電場(chǎng)狀態(tài)，導(dǎo)體中大量存在的自由電荷就會(huì)在外電場(chǎng)的作用下做定向移動(dòng)，進(jìn)而在導(dǎo)體表面出現(xiàn)電荷的重新排布，進(jìn)而使導(dǎo)體的一邊聚集正電荷而帶正點(diǎn)，另外一側(cè)聚集負(fù)電荷而呈現(xiàn)出負(fù)點(diǎn)，這一現(xiàn)象即為靜電感應(yīng)。在導(dǎo)體兩側(cè)由于外電場(chǎng)而出現(xiàn)的電荷，我們習(xí)慣上稱作感應(yīng)電荷。假設(shè)外電場(chǎng)恒定，則由于外電場(chǎng)的持續(xù)作用，導(dǎo)體內(nèi)部正電荷持續(xù)由原來位置移動(dòng)到與電場(chǎng)方向相同的導(dǎo)體表面一側(cè)，而負(fù)電荷（電子）會(huì)持續(xù)地移動(dòng)到與外電場(chǎng)方向相反的導(dǎo)體表面一側(cè)，也即是導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷逐漸增多。感應(yīng)電荷同樣會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，習(xí)慣上叫做附加電場(chǎng)，如圖1（左）所示。從圖中我們可以很清楚地看到，附加電場(chǎng)的方向與外電場(chǎng)方向相反，則導(dǎo)體內(nèi)部的合電場(chǎng)應(yīng)為附加電場(chǎng)和外電場(chǎng)的矢量和。隨著時(shí)間的持續(xù)作用，電荷持續(xù)在導(dǎo)體兩側(cè)堆積，附加電場(chǎng)逐漸增大，當(dāng)附加電場(chǎng)增加到與外電場(chǎng)大小相等，方向相反時(shí)，導(dǎo)體電荷達(dá)到平衡，這一現(xiàn)象我們稱之為靜電平衡，如圖1（右）所示。

圖1：導(dǎo)體的靜電平衡過程

在實(shí)際中，靜電平衡時(shí)導(dǎo)體中電荷分布情況往往十分復(fù)雜，而利用高斯定理則可以直觀的分析導(dǎo)體的電荷分布情況。

1 實(shí)心導(dǎo)體的電荷分布

首先分析最簡(jiǎn)單的情況，也即是實(shí)心導(dǎo)體的情況。如圖所示，當(dāng)體系達(dá)到靜電平衡時(shí)，由于附加電場(chǎng)的作用，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，也即是。此時(shí)，如果我們?cè)趯?dǎo)體內(nèi)部選取一個(gè)如圖2所示的高斯面S，則，由高斯定理我們可以得到：高斯面內(nèi)電荷量的總和也為零。因此，當(dāng)我們可以得到導(dǎo)體內(nèi)部處處無電荷存在，并且只能存在于導(dǎo)體表面。

圖2：實(shí)心導(dǎo)體的電荷分布

2 當(dāng)導(dǎo)體中存在空腔時(shí)的電荷分布情況

2.1 當(dāng)導(dǎo)體空腔內(nèi)不存在電荷時(shí)

當(dāng)空腔內(nèi)無電荷的導(dǎo)體在靜電場(chǎng)中達(dá)到靜電平衡時(shí)，由靜電平衡時(shí)附加電場(chǎng)與外電場(chǎng)抵消，也即是導(dǎo)體內(nèi)部。同樣地，在導(dǎo)體內(nèi)部任意選取一高斯面 S，同樣滿足，任意選取的高斯面S內(nèi)的凈電荷必定等于0，即電荷只能在導(dǎo)體表面存在。假設(shè)空腔內(nèi)表面存在感應(yīng)電荷的話，我們可以選取一個(gè)任意的高斯面S，該高斯面如果恰好把全部空腔的內(nèi)表面都包圍，則該高斯面必然滿足，即感應(yīng)電荷必然等量異號(hào)，如圖3所示。

圖3：空腔內(nèi)無電荷時(shí)導(dǎo)體的電荷分布

通過上面分析，可以得到結(jié)論：當(dāng)導(dǎo)體為空腔導(dǎo)體且其中沒有電荷存在時(shí)，電荷僅僅分布在導(dǎo)體的外表面上，導(dǎo)體的內(nèi)表面則沒有電荷存在。

2.2 空腔導(dǎo)體的內(nèi)部存在電荷量為q時(shí)

圖4：空腔內(nèi)無有電荷時(shí)導(dǎo)體的電荷分布

由此得出結(jié)論：空腔內(nèi)有電荷q時(shí)，空腔內(nèi)表面必然存在由于靜電感應(yīng)而產(chǎn)生的電荷q，外表面也會(huì)存在電荷量為q的感應(yīng)電荷。

3 真空中孤立存在導(dǎo)體表面的電荷分布

圖5：孤立導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度

對(duì)于孤立導(dǎo)體而言，其表面上的電荷面密度反比于其表面的曲率半徑。如圖6所示，存在一個(gè)處于靜電平衡態(tài)的孤立帶電導(dǎo)體，假設(shè)左側(cè)比右側(cè)尖銳，也既是左側(cè)曲率半徑更小，則左側(cè)表面的電荷面密度較右側(cè)更大，左側(cè)表面的電場(chǎng)強(qiáng)度也較右側(cè)更大。當(dāng)然，影響導(dǎo)體表面電荷分布的因素除了導(dǎo)體的形狀之外，還存在其他的因素，比如外部環(huán)境等。在一些特殊情況下，一些形狀較為尖銳的帶電孤立導(dǎo)體就有可能產(chǎn)生尖端放電現(xiàn)象。由于導(dǎo)體尖端電荷面密度很大，使導(dǎo)體尖端表面的電場(chǎng)強(qiáng)度極高，此時(shí)就有可能將其周圍空氣電離而形成通路產(chǎn)生電火花等放電現(xiàn)象。

圖6：孤立導(dǎo)體表面電荷分布