基于改進(jìn)范數(shù)約束LMS 算法的數(shù)字預(yù)失真技術(shù)

王 鑫，李思敏，葉金才，王國(guó)富?

（1.廣西科技大學(xué)，廣西 柳州 545000；2.桂林電子科技大學(xué)，廣西 桂林 541000）

0 引言

近年來許多學(xué)者對(duì)數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)提出很多有效的模型，并通過實(shí)際工程驗(yàn)證其取得了不錯(cuò)的效果。但是，人們?cè)陬A(yù)失真器的行為模型辨識(shí)方面的研究較少，識(shí)別算法的性能影響整個(gè)預(yù)失真系統(tǒng)的非線性補(bǔ)償效果。傳統(tǒng)自適應(yīng)最小均方（Least Mean Square，LMS）算法、歸一化最小均方（Normalized Least Mean Square，NLMS）算法以及遞歸最小二乘（Recursive Least Squares，RLS）算法，在系統(tǒng)識(shí)別、工程控制等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。然而，在實(shí)際的大容量數(shù)據(jù)和低信噪比環(huán)境下，傳統(tǒng)最小均方算法無法對(duì)未知行為模型進(jìn)行有效識(shí)別。Gu Y 等結(jié)合LMS 算法與范數(shù)特征［1］，設(shè)計(jì)出有一定范數(shù)約束的LMS 算法；Su G 等對(duì)算法進(jìn)行了必要的性能分析［2］；基于分析基礎(chǔ)上，Chen Y 等提出再加權(quán)零吸引項(xiàng)最小均方（Reweighted Zero-Attracting Least Mean Square，RZALMS）算法［3］，但該算法不能根據(jù)自身性能選擇合適的零吸因子。文獻(xiàn)［4］在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，提出改進(jìn)變換步長(zhǎng)的歸一化最小均方（Improved Variable Step-Size Normalized Least Mean Square，IVSNLMS）算法，對(duì)于信號(hào)出現(xiàn)稀疏狀態(tài)的情況能夠?qū)崿F(xiàn)快速收斂。文獻(xiàn)［6］提出了一種通過增加誤差信號(hào)的相關(guān)性來提升系統(tǒng)抗噪性能的算法。文獻(xiàn)［7］提出了一種自適應(yīng)隨機(jī)梯度變步長(zhǎng)最小均方（Adaptive Variable Step Size Least Mean Square，ALMS）算法，通過改變步長(zhǎng)因子，并根據(jù)EWMA 更新權(quán)向量，加快了收斂速度，但無法在低信噪比與混合噪聲中正常收斂。本文首先介紹數(shù)字預(yù)失真模型，根據(jù)模型特點(diǎn)介紹算法改進(jìn)的具體細(xì)則。仿真結(jié)果證明，基于該算法的數(shù)字預(yù)失真效果與傳統(tǒng)算法相比有較大改善。

1 數(shù)字預(yù)失真模型介紹

在數(shù)字預(yù)失真（Digital Pre-Distortion，DPD）系統(tǒng)中，主要通過預(yù)失真器構(gòu)造一個(gè)與功放行為相反的逆模型，使系統(tǒng)在保證放大效率的同時(shí)降低非線性失真對(duì)信號(hào)的影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的線性放大［8］。

數(shù)字預(yù)失真主要分為直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)與間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)通過識(shí)別功放的后逆模型代替其前逆模型，降低了功放非線性失真影響，達(dá)到了線性輸出效果［9-11］。但間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)中，后逆模型與前逆模型存在偏差，使得后逆模型并不是最理想的解。但是，在一些特大型發(fā)射系統(tǒng)中，這種偏差可忽略不計(jì)。直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)識(shí)別功放的前逆模型，直接對(duì)功放輸入與反饋輸出建立逆模型。它的模型識(shí)別建立在不斷迭代的基礎(chǔ)上，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，預(yù)失真系統(tǒng)輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相同［12-15］。然而，它的收斂識(shí)別過程中迭代次數(shù)明顯高于間接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，且在收斂狀態(tài)下穩(wěn)態(tài)誤差較大，易受到噪聲干擾而產(chǎn)生波動(dòng)［11］。

因此，基于傳統(tǒng)最小均方算法，針對(duì)直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)收斂速度慢、抗噪性能差以及穩(wěn)態(tài)誤差偏大等問題，引入基于二范數(shù)約束最小均方算法（Two Norm Constraint Least Mean Square，2-LMS）算法作為預(yù)失真器模型識(shí)別算法，以優(yōu)化整個(gè)系統(tǒng)的預(yù)失真效果。

2 2-LMS 算法提出

設(shè)預(yù)失真系統(tǒng)輸入為x(n)，系統(tǒng)待識(shí)別模型最優(yōu)權(quán)系數(shù)為wopz(n)=[w0,w1,w2,…,wN]，系統(tǒng)的目標(biāo)輸出為d(n)，迭代更新權(quán)系數(shù)為w(n)。系統(tǒng)迭代更新誤差ε(n)為：

設(shè)代價(jià)函數(shù)J[w(n)]為：

基于文獻(xiàn)［1］對(duì)式（2）進(jìn)行梯度運(yùn)算，可得：

式中：t為二范數(shù)約束項(xiàng)與迭代誤差的調(diào)節(jié)因子；μ為步長(zhǎng)因子；l[w(n)]為更新迭代式中附加項(xiàng)函數(shù)。在梯度運(yùn)算中，可將由文獻(xiàn)［2］可得l[w(n)]為：

根據(jù)步長(zhǎng)因子μ(n)與迭代誤差ε(n)之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)一種新的步長(zhǎng)迭代式為：

為了提高抗噪性能，用ε(n)ε(n-1)代替ε2(n)。

2.1 2-LMS 算法性能分析

首先，對(duì)算法的收斂性能進(jìn)行分析。令p(n)=wopz(n)-w(n)，即迭代權(quán)向量w(n)與最優(yōu)權(quán)向量wopz(n)之間的差值。對(duì)等式兩端同時(shí)求期望，可得：

式中，Q為酉矩陣，Λ=diag[λ1…λn]。由LMS收斂條件可知，給出的步長(zhǎng)上界非常寬松，根據(jù)文獻(xiàn)［14］可得：

式中，σ2x表示輸入信號(hào)的功率，N為輸入信號(hào)長(zhǎng)度。由于本文算法只是在原有最小均方算法基礎(chǔ)上調(diào)整了步長(zhǎng)的迭代公式，故式（7）對(duì)2-LMS算法同樣適用。

其次，對(duì)算法的抗噪性能進(jìn)行分析。算法實(shí)際迭代誤差ε(n)為：

式中，ζ(n)表示均值為0、具有平穩(wěn)分布的高斯白噪聲，且與x(n)相互獨(dú)立，可得：

可知，E[ε2(n)]與E[ε(n)ε(n-1)]相比多了一個(gè)E[ξ2(n)]，造成算法易受到噪聲干擾不易收斂。

2.2 2-LMS 算法計(jì)算步驟

初始化μ(0)、w(0)，輸入數(shù)據(jù)x(n)、d(n)，設(shè)定參數(shù)a、b，之后按如下步驟進(jìn)行計(jì)算。

步驟1：根據(jù)矩陣運(yùn)算特點(diǎn)計(jì)算出實(shí)時(shí)輸出y(n)=xT(n)w(n)；

步驟2：計(jì)算實(shí)時(shí)迭代誤差ε(n)=d(n)-y(n)；

步驟3：根據(jù)迭代誤差的變化，計(jì)算步長(zhǎng)因子μ=barcot2[aε(n)ε(n-1)]；

步驟4：代入權(quán)系數(shù)更新式w(n+1)=w(n)+με(n)x(n)+l[w(n)]；

步驟5：代入權(quán)系數(shù)更新式w(n+1)=w(n)+με(n)x(n)+l[w(n)]，若n≠N，則繼續(xù)從步驟1 開始循環(huán)迭代，直到算法收斂產(chǎn)生最優(yōu)權(quán)系數(shù)wopz(n)并輸出。

3 2-LMS 算法在數(shù)字預(yù)失真應(yīng)用

預(yù)失真直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)形式較為簡(jiǎn)單，算法在收斂情況下能夠取得較好的預(yù)失真效果，但收斂速度較慢，易受噪聲干擾產(chǎn)生波動(dòng)［16］?；?-LMS 算法的數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)能夠提高識(shí)別預(yù)失真器模型的速度和精度，優(yōu)化整個(gè)系統(tǒng)的預(yù)失真結(jié)果。

預(yù)失真器模型采用多項(xiàng)式模型，是Volterra 級(jí)數(shù)模型的一種簡(jiǎn)化模型，即去掉了Volterra 級(jí)數(shù)中不同延時(shí)的交叉項(xiàng)，只保留了級(jí)數(shù)的對(duì)角項(xiàng)。由于偶數(shù)階項(xiàng)產(chǎn)生的諧波分量都落在了通帶外，因此它只保留了奇數(shù)項(xiàng)［17-18］。

2-LMS 算法通過不斷迭代更新權(quán)向量，對(duì)未知的預(yù)失真器模型進(jìn)行辨識(shí)，并使功率放大器達(dá)到最優(yōu)輸出，具體實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

在多項(xiàng)式模型中，輸入信號(hào)為x(n)，經(jīng)延遲后為x'(n)，預(yù)失真器權(quán)向量為w(n)。y(n)與預(yù)失真實(shí)時(shí)輸入信號(hào)x(n)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化表示為：

式中，z(n)為后置反饋輸入信號(hào)即預(yù)失真系統(tǒng)輸出信號(hào)；G為功率放大器增益。

式中，z'(n)為功率放大器在理想線性增益下的輸入信號(hào)，即算法中的d(n)；ε(n)為迭代誤差。引入2-LMS 算法權(quán)向量更新式如式（5）所示。

4 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證2-LMS 算法在預(yù)失真系統(tǒng)中的應(yīng)用效果，將2-LMS 算法放入預(yù)失真系統(tǒng)中在MATLAB進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并分別與基于LMS、NLMS 及ALMS的預(yù)失真系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比。本次預(yù)失真系統(tǒng)輸入采用的是MATLAB 生成的帶寬為180 MHz、64QAM調(diào)制的信號(hào)，樣點(diǎn)數(shù)為31 000。2-LMS 算法中，a=800，b=0.02。選取歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）、誤差向量幅度（Error Vector Magnitude，EVM）以及鄰道功率泄露比（Adjacent Channel Power Ratio，ACPR）等 指 標(biāo)進(jìn)行比較分析，結(jié)果如表1 所示。結(jié)果顯示：基于2-LMS 算法的數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)在迭代173 次后收斂，明顯快于其他3 種算法；NMSE值優(yōu)化到了-53 dB。與其他3 種算法相比，預(yù)失真器能夠更加精確地識(shí)別功放的逆模型。

表1 不同算法性能比較

為了進(jìn)一步驗(yàn)證2-LMS 算法的抗噪性能，實(shí)驗(yàn)中將會(huì)在收斂到500 次時(shí)加入突變。由于傳統(tǒng)的LMS 算法與NLMS 算法本身不具有抗噪能力，故不納入對(duì)比。加入突變后的算法收斂，如圖2 和圖3 所示。在信噪比SNR=25 dB 時(shí)，兩種算法起始階段都能夠快速收斂，當(dāng)加入突變后，2-LMS 算法能夠快速收斂到原有的穩(wěn)態(tài)誤差水平并保持穩(wěn)定，而ALMS 算法則收斂速度變慢且在收斂過程中產(chǎn)生震蕩，無法恢復(fù)到原有的穩(wěn)態(tài)誤差水平；在信噪比SNR=55 dB 時(shí)，2-LMS 算法比ALMS 收斂速度更快，且穩(wěn)態(tài)誤差也略低于ALMS 算法。

矢量誤差幅度（Error Vector Magnitude，EVM）即信號(hào)帶內(nèi)的矯正效果。為進(jìn)一步驗(yàn)證2-LMS 算法性能，將各個(gè)算法在不同噪聲環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真實(shí)驗(yàn)中，在輸入信號(hào)加上高斯噪聲或高斯噪聲和脈沖噪聲的混合噪聲，并在不同信噪比環(huán)境下對(duì)比EVM值，結(jié)果如表2 所示。在高斯噪聲中，SNR=20 dB低信噪比環(huán)境下，基于2-LMS算法的EVM值比LMS 算法減少了4.5%；在高斯噪聲中，SNR=50 dB 高信噪比環(huán)境下，基于2-LMS算法的EVM值比基于LMS 的減少了2.6%；在混合噪聲中，SNR=20 dB 環(huán)境下，基于2-LMS 算法的EVM值比基于LMS 算法的EVM減少了7.5%，比基于ALMS 算法的EVM減少4.9%；在混合噪聲中，SNR=50 dB 環(huán)境下，基于2-LMS 算法的EVM值比LMS 算法減少了5.1%，比基于ALMS 算法的EVM減少2.9%。

圖4～圖7 為4 種算法的預(yù)失真頻譜圖。可見，基于2-LMS 算法的數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)能夠更加精確地識(shí)別功率放大器的行為逆模型，數(shù)字預(yù)失真能夠有效地抑制帶外頻譜泄露和帶內(nèi)失真，改善功放的線性化程度。另外，帶外抑制與ALMS、NLMS、LMS 相比，分別降低了約6 dB、9 dB、10 dB。

鄰道功率比（Adjacent Channel Power Ratio，ACPR）指相鄰信道與主信道功率之比，即預(yù)失真系統(tǒng)帶外校正效果。不同算法下，預(yù)失真系統(tǒng)鄰道功率比結(jié)果如表3 所示?？梢?，改進(jìn)的2-LMS 算法與其他算法相比有著較好的帶外抑制頻譜擴(kuò)展的效果，ACPR值均有優(yōu)化。與基于LMS 預(yù)失真系統(tǒng)相比，ACPR值改善了-10.3 dB；與基于ALMS的預(yù)失真系統(tǒng)相比，ACPR值改善了-7.6 dB。

表2 各種算法在不同噪聲環(huán)境下EVM 對(duì)比

表3 不同算法下預(yù)失真系統(tǒng)ACPR 對(duì)比

為了驗(yàn)證2-LMS 算法在具有一定稀疏性系統(tǒng)中的收斂性能，分別將兩種算法放入具有稀疏性系統(tǒng)中進(jìn)行比較。此次預(yù)失真器模型選用記憶多項(xiàng)式模型，記憶深度為3，非線性階數(shù)為10，全模型參數(shù)個(gè)數(shù)為40 個(gè)，稀疏度為6/40。具體對(duì)比結(jié)果如圖8 所示。由于基于ALMS 算法時(shí)沒有考慮到稀疏特性，故算法的性能大大降低，約在3 170 次時(shí)開始收斂，而基于2-LMS 算法大約在2 000 次開始收斂，且與基于ALMS 算法相比降低了穩(wěn)態(tài)誤差。

5 結(jié)語

本文介紹了2-LMS 算法并根據(jù)其特點(diǎn)應(yīng)用于數(shù)字預(yù)失真直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)中。2-LMS 算法具有收斂速度快、識(shí)別行為模型精度較高以及抗噪能力較強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，克服了傳統(tǒng)自適應(yīng)算法收斂速度慢且易受噪聲影響產(chǎn)生波動(dòng)的缺點(diǎn)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于2-LMS 算法的數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)和原基于LMS預(yù)失真系統(tǒng)相比，ACPR優(yōu)化了-10.3 dB；在低信噪比混合噪聲環(huán)境下的EVM指標(biāo)優(yōu)化了7.5%，較好地補(bǔ)償了功放輸出的非線性失真；同時(shí)，在系統(tǒng)呈現(xiàn)一定的稀疏性時(shí)，2-LMS 算法也能夠保持良好的性能。