基于有限元的多級Y 型銀杏樹模態(tài)分析與試驗

林歡，許林云，宣言，周杰，劉冠華，陳青

（1.常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能裝備學(xué)院，江蘇 常州 213164；2.南京林業(yè)大學(xué)機械電子工程學(xué)院，南京 210037）

振動采收機械的采收效果與果樹的生長特性和機械振動的工作參數(shù)等多種因素有關(guān)［1-2］，研究果樹動力學(xué)特性有利于對采收機械進行合理的設(shè)計及優(yōu)化，動力學(xué)試驗和仿真分析是研究動力學(xué)特性的有效方式。而銀杏樹通常采用連續(xù)激振式進行果實采收，激振器參數(shù)的設(shè)定與銀杏樹的頻譜特性密切相關(guān)。

國內(nèi)外針對果樹頻譜特性的研究主要有繩拉法、沖擊激振法以及風(fēng)振法，但主要集中于果樹前幾階固有頻率的相關(guān)研究。國外Castro?García 等［3］用沖擊激振的方式對整棵橄欖樹做了模態(tài)分析試驗，獲得了果樹的前三階模態(tài)頻率、阻尼比及相應(yīng)的振型。國內(nèi)也獲得了自然狀態(tài)下樹干?土壤模型的自振頻率以及海棠果樹的前四階共振頻率［4-5］。

對樹木進行三維重建的方法主要有基于圖形、圖像和激光掃描［6］三大類。其中，基于激光掃描的方法相比較于傳統(tǒng)的測量方法具有自動、快速、準(zhǔn)確等諸多優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域［7-8］。激光掃描儀主要包括星載激光掃描系統(tǒng)、機載掃描系統(tǒng)和地面激光雷達掃描系統(tǒng)（包含固定、車載或移動）三大類。其中，來源于地面激光雷達的數(shù)據(jù)，能夠?qū)淠镜母鱾€枝條進行高密度采樣覆蓋，經(jīng)常用于精確的單木三維形態(tài)建模［9］。

有限元法是對于結(jié)構(gòu)力學(xué)分析迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代計算方法，逐漸被應(yīng)用于構(gòu)建樹木的力學(xué)模型［10］。國外，Rodriguez 等［11］用有限元模塊（CASTEM）仿真分析了整棵樹的模態(tài)，發(fā)現(xiàn)樹干振動的固有頻率最低，小分枝振動的固有頻率最高，而主枝振動的固有頻率位于兩者之間。并且，通過試驗驗證可以發(fā)現(xiàn)梁單元的有限元模型能夠有效地分析具有復(fù)雜形狀的樹木的動力學(xué)特性［12］。Bentaher 等［13］研究了橄欖樹的有限元模型，并進行了不同激振器的振動響應(yīng)對比分析。國內(nèi)，仇高賀［14］利用有限元軟件對果樹振動采摘和采摘機構(gòu)相關(guān)的動力學(xué)特性進行分析。呂夢璐等［15］、王冬等［16］和鄭甲紅等［17］通過Pro/E 方法建立果樹枝干三維實體模型，利用有限元方法得到其低頻范圍內(nèi)的固有頻率和模態(tài)振型，并進行了振動響應(yīng)特性仿真試驗。

現(xiàn)有的動力學(xué)試驗和仿真分析主要針對單軸或具有一級分枝的果樹，還未細(xì)化研究具有二級分枝的果樹頻譜特性，而具有二級及以上多級分枝的果樹較為常見，并且林果樹的果實大多生長在更細(xì)小的分枝上。為了更好地研究銀杏樹的固有頻譜特性，筆者利用移動二維激光掃描技術(shù)獲取多級Y型銀杏樹的點云數(shù)據(jù)，通過點云數(shù)據(jù)的去噪、分割、枝干骨架點的提取與補償、曲面擬合以及曲面的封裝重建等主要步驟實現(xiàn)銀杏樹的單木建模，最后把生成的樹木模型實體化，從而進行有限元分析和試驗驗證。

1 材料與裝置

1.1 試驗材料

果樹的樹形可分為有中心干樹形、無中心干形、平面形等，大量人工林果樹通過人為培育修剪處理，形成典型變側(cè)主干形（屬于有中心干樹形）［18］，其樹形特征與字母Y 相似，故簡稱Y 型果樹。

選擇了能代表現(xiàn)有銀杏樹生長形態(tài)的典型樹形，在南京林業(yè)大學(xué)校園內(nèi)（118.8°E，32.1°N）選取具有兩個二級側(cè)枝的活體小型銀杏立木進行室內(nèi)試驗，采伐時間為3 月。銀杏樹為具有多級Y 型的合軸分枝果樹，兩個一級側(cè)枝為B1枝和B2枝（圖1），從右側(cè)一級側(cè)枝B2上衍生出兩個二級側(cè)枝C1枝和C2枝。設(shè)定果樹生長方向為z方向，水平面內(nèi)相互垂直的兩個方向分別為x、y方向，試驗過程中為了避免枝干失水影響試驗數(shù)據(jù)，采集樣品樹后立即進行試驗測試。截去根須，樹干底端A0點以下被夾持在固定裝置上。

圖1 果樹的測點標(biāo)記Fig.1 Testing position marks of the fruit tree

測點A1、B21、B22分別位于分叉點處，其余測點根據(jù)分枝的長度平均分布，每個測點均用白色圓圈標(biāo)記。假定認(rèn)為銀杏樹枝干的橫截面形狀為理想圓形，且半徑從根部到頂端呈線性下降趨勢［19］，對應(yīng)每一段直徑通過測量該段枝的兩端取平均值進行處理，銀杏樹相應(yīng)的幾何尺寸如表1 所示。

表1 多級Y 型銀杏樹各部位的尺寸參數(shù)Table 1 Size parameters of different positions on the multistage Y?shaped ginkgo tree

1.2 試驗方法與裝置

果樹的頻譜特性測試采用沖擊力脈沖錘擊法，即在樹干固定位置點錘擊激振，枝桿多個位置點拾取響應(yīng)，通過預(yù)實驗確定最佳激勵點為測點A1下方400 mm 處。本研究選用江蘇聯(lián)能電子技術(shù)有限公司型號為LC?02A 的沖擊力錘，如圖2a 所示。頻譜測試裝置包括三向壓電式加速度傳感器（CA?YD?141）、電荷放大器（YE5853A）、數(shù)據(jù)采集裝置（NI cDAQ?9174）和測試分析軟件（CRAS V7.1），如圖2b 所示。其中，三向加速度傳感器的安裝方向與設(shè)定方向一致。

圖2 頻譜測試系統(tǒng)Fig.2 The frequency spectrum of the testing system

由于現(xiàn)有試驗裝置只能滿足4 個加速度傳感器（即12 個通道）同時進行測試，當(dāng)一次沖擊測試完成后直到果樹完全靜止才將傳感器移至下一組測點，直到所有測點均測試完畢。各測點試驗重復(fù)3 次，取算術(shù)平均值作為各測點測量值。林果采收的一般激振采收頻率處于10～25 Hz，頻譜特性研究最大到30 Hz［20-21］，因此本試驗關(guān)注的頻率范圍為0～30 Hz，頻譜分析譜線設(shè)置為800 根。

采用激光掃描方法對樹木進行三維重建，二維激光掃描儀結(jié)合運動維度，形成三維場景掃描效果（圖3）。該掃描系統(tǒng)主要包含二維激光雷達（UTM?30LX）、帶有步進電機的勻速滑臺（FLS40L100010C7 ）、步進電機控制器（FMDD50D40NOM）、傳感器驅(qū)動鋰電池、STC51 單片機、24 V 直流電源和PC 電腦。

圖3 激光掃描系統(tǒng)Fig.3 Laser scanning system

2 果樹三維重建

2.1 掃描點云數(shù)據(jù)的預(yù)處理

對銀杏樹進行二維激光掃描后所獲取的點云如圖4a 所示，這些點云數(shù)據(jù)并不完全是有效特征點，還夾雜了外界環(huán)境因素干擾掃描儀工作產(chǎn)生的無效點即噪點。可以采用閾值去噪法，并通過編程處理，在保證重建模型精度的基礎(chǔ)上顯著提高處理效率［22］。去噪后的點云圖如圖4b 所示，可以看出通過去噪處理后，不僅剔除掉無效的散狀虛點，同時還剔除掉枝桿輪廓的虛擴點，使其更接近真實的枝桿輪廓。

圖4 去噪前后的點云圖Fig.4 Point cloud figure before and after denoising

當(dāng)使用激光掃描儀掃描銀杏樹時，無法避免同時把周圍環(huán)境信息掃描進去，這些點云包括地表點云、離散噪聲點等，具有一定規(guī)律和規(guī)模。進行樹木三維建模時通常只需要來自枝干的反射數(shù)據(jù)，因此需在原始點云中分離出枝干點云，即要對點云數(shù)據(jù)進行分割或分類處理。本研究對點云數(shù)據(jù)進行手動分割，在分割過程中部分枝條分割有誤，有些點云數(shù)據(jù)丟失，導(dǎo)致這些問題的主要原因是掃描獲得的點云數(shù)據(jù)稀疏且分布不均勻以及無效噪點沒有被去除干凈。

骨架點的提取實際就是提取枝干兩邊界的中心點，邊界算法的核心原理是利用兩端的邊界點形成差向量，依次計算出形成的差向量的均值點坐標(biāo)，即為枝干的骨架點坐標(biāo)。該算法的關(guān)鍵在于判斷枝干的左右邊界，保證相鄰的邊界點分別在兩個不同的邊界上。本研究利用微元矩形進行點云數(shù)據(jù)處理，根據(jù)點云密度選取閾值范圍，定義微元矩形內(nèi)點云個數(shù)大于4 即認(rèn)為是左邊界有效數(shù)據(jù)區(qū)域，等于0 即認(rèn)為是右邊界無效數(shù)據(jù)區(qū)域。通過兩個邏輯變量i、j來控制邊界點的提取順序，具體程序流程如圖5 所示。

圖5 骨架點提取的流程圖Fig.5 Flow chart of skeleton point extraction

由于試驗所用的二維激光掃描儀在工作過程中發(fā)射的激光并不能覆蓋銀杏樹枝干完整的圓柱曲面，導(dǎo)致獲取的點云數(shù)據(jù)僅為圓柱曲面的一部分，如圖6 所示。在用微元矩形提取骨架點過程中，根據(jù)發(fā)射激光之間的夾角α以及兩邊界點的連線距離d計算偏移量Δy，進行骨架點深度坐標(biāo)的補償。同時，通過計算還能獲得枝干圓柱曲面的半徑r，以此來補償兩邊界點的連線未經(jīng)過枝干軸心所帶來的骨架點坐標(biāo)誤差。偏移量Δy和半徑r可由以下公式計算獲得：

圖6 骨架點坐標(biāo)補償Fig.6 Skeleton point coordinate compensation

針對點云數(shù)據(jù)缺失嚴(yán)重的枝干，為彌補這一缺陷，在算法后另外加入一段增加骨架點數(shù)目的語句。確定增加骨架點數(shù)目的距離閾值，當(dāng)兩相鄰骨架點之間距離大于這一距離閾值時，按照等分點的方式添加骨架點。這一方法的可行性在于數(shù)據(jù)缺失的地方大多集中在枝干靠頂端的部分，這段枝干的直徑較小，故用等分點法加入的骨架點和真實骨架點之間的誤差較小。

利用邊界算法通過坐標(biāo)補償提取多級Y 型銀杏樹各枝干的骨架點，應(yīng)用Matlab 直接用短直線連接相鄰的骨架點，并且從骨架的根部開始，選取一個合適的半徑，以每一段骨架為中軸做圓柱體進行曲面擬合，圓柱體半徑沿骨架分布的方向從底面向上逐漸減小。通常，根據(jù)一定區(qū)域枝干數(shù)據(jù)設(shè)計出相應(yīng)的圓柱體模型后，可以選擇新的點集構(gòu)建圓柱體模型來描述另一段枝干。

在進行骨架點提取和圓柱擬合后，樹木枝干的大體形狀已呈現(xiàn)，即以骨架點連線為中心線，按每個骨架點連線在骨架點的切線方向，以確定的根部直徑和頂部直徑擬合圓柱，最終形成枝干表面曲面，利用圓柱擬合能夠有效地重建銀杏樹原有的曲面特征。

2.2 樹體模型建立和實體化

為了更加逼真地重建銀杏樹模型，所有枝干均需要進行封裝、曲面填補和精確曲面3 個步驟來實現(xiàn)，重建以后的多級Y 型銀杏樹如圖7a 所示。B2枝上還顯現(xiàn)了比二級側(cè)枝C1和C2更細(xì)小的一根枝，其余各細(xì)枝并沒有被重建出來。應(yīng)用Creo 軟件對銀杏樹模型進行實體化，處理結(jié)果如圖7b所示。

圖7 三維重建的銀杏樹Fig.7 Reconstructed ginkgo tree

3 結(jié)果與分析

3.1 有限元仿真模態(tài)頻率與振型

將樹體三維實體模型應(yīng)用Creo 軟件的Work?bench 界面對銀杏樹體進行模態(tài)分析。定義銀杏樹的材料屬性：密度0.451 g/cm3（含水率18%），彈性模量2.57 GPa，泊松比0.37［23］；主干與地面連接方式等效為固定端約束，即Fix support 約束關(guān)系，通過軟件求解得到多級Y 型銀杏樹整棵果樹在30 Hz 內(nèi)的模態(tài)頻率（表2）與模態(tài)振型（圖8）。

銀杏樹的模態(tài)頻率基本是成對出現(xiàn)的，成對出現(xiàn)的頻率值不僅非常接近，且枝干振型幅值和方向一致性也非常高，這主要是由于樹木具有結(jié)構(gòu)對稱的特性引起的［24］。為了呈現(xiàn)各模態(tài)頻率對應(yīng)模態(tài)振型，成對的模態(tài)頻率僅呈現(xiàn)一個，如圖8 所示。

表2 多級Y 型銀杏樹的諧振頻率Table 2 Resonant frequencies of the multistage Y?shaped ginkgo tree Hz

在同一階模態(tài)中，有些樹枝可形成顯著的振動，有些樹枝的振動并不明顯，并且最大振幅均出現(xiàn)在樹枝末梢處。第1 階模態(tài)振型即為基頻振型，所有枝條以同相同步方式擺動，且二級側(cè)枝C1和C2擺動幅度比一級側(cè)枝B1和B2更強烈一些（圖8a）；第5 階模態(tài)頻率以下即低頻的振型，雖然各枝桿振動幅度各不相同，如第3 階的B1枝幾乎處于靜止?fàn)顟B(tài)，而在其他振型中均形成一定程度的振動，但總體來說均以主干振動非常微弱，各側(cè)枝由分叉點到各枝末梢的振幅越來越強烈。從第7 階振型開始，某些枝出現(xiàn)了振型節(jié)點即振幅為0 的點，比較明顯的枝如第7 階的C1枝、第11 階的所有枝出現(xiàn)了一個節(jié)點（圖8d，f）。

對于第15 階和第17 階相對較高模態(tài)振型中，不僅各個枝上都出現(xiàn)了節(jié)點，且某些枝上還出現(xiàn)了2 個節(jié)點，如第15 階振型中的一級側(cè)枝B2和二級側(cè)枝C1（圖8h）。即使在較高階諧頻激振條件下，也無法使所有枝形成強烈的共振響應(yīng)，如第13 階和第17 階振型中C1枝的諧響應(yīng)非常微弱。各階模態(tài)下，主干的振動幅值相對較小，未能明顯呈現(xiàn)出來。因此，即使在特定諧振頻率下對銀杏樹進行激振也不能引起所有樹枝的振動，各個枝干之間存在一定的獨立性。

3.2 銀杏樹實測模態(tài)頻率

通過三向加速度傳感器所測取的各測點3 個相互垂直方向的加速度曲線，對其進行頻譜分析所獲得的3 個方向的頻譜曲線一致性較好［25］，如圖9a 所示，主干上A1點x、y和z3 個方向的頻譜曲線存在一定的差異，但各曲線上峰點所對應(yīng)的諧頻較一致。因此，對其余各枝上測點不再區(qū)別3 個方向，通過對各測點3 個方向上的分加速度計算為合加速度進行頻譜分析獲得各對應(yīng)點的頻譜曲線。同一枝上不同位置點的頻譜曲線高度一致，如C1側(cè)枝上3 個測點C11、C12和C13頻譜曲線吻合度較高，如圖9b 所示。將各枝或樹干上取一個測點的頻譜曲線用來反應(yīng)該枝干的頻譜特性形成圖9c，并將頻譜曲線上峰點所對應(yīng)的頻率列入表2 中。因測試與仿真所得的模態(tài)頻率很難形成對應(yīng)模態(tài)階次，因此各自列出對應(yīng)的模態(tài)階次數(shù)。

圖8 多級Y 型銀杏樹的各階典型模態(tài)Fig.8 Typical modes of the multistage Y?shaped ginkgo tree

圖9 多級Y 型銀杏樹的頻譜圖Fig.9 Frequency spectrum of the multistage Y?shaped ginkgo tree

在30 Hz 頻率范圍內(nèi)，果樹主干及側(cè)枝上共出現(xiàn)了10 階諧振頻率。低于15 Hz 以下的低頻區(qū)，各側(cè)枝均出現(xiàn)了與主干相一致的5 階諧振頻率，除了B2枝上未出現(xiàn)7.50 Hz 及C2枝未出現(xiàn)5.00 Hz。高于15 Hz 以上的高頻區(qū)，除了C1枝上出現(xiàn)了與主干相同的23.75 Hz，其余各枝的頻譜特性與主干完全不一致。因此，高頻區(qū)各枝干的頻譜特性具有各自獨立性。將測試所得的模態(tài)頻率與仿真產(chǎn)生的模態(tài)頻率進行對比分析，可以看出多級Y 型合軸分枝銀杏樹在有限元分析條件下，因存在成對相近的模態(tài)頻率，所以在30 Hz 內(nèi)產(chǎn)生了更多的17階模態(tài)頻率，在15 Hz 以下低頻區(qū)的模態(tài)頻率更密集，有12 階。將兩種方法所產(chǎn)生的模態(tài)頻率進行對應(yīng)性分析，仿真分析中沒有產(chǎn)生測試獲得的11.25，17.50 和23.75 Hz。其余共同出現(xiàn)的各階模態(tài)頻率在低頻區(qū)的最大相對誤差10.40%出現(xiàn)在仿真分析的2.76 Hz 與試驗測試的2.50 Hz 之間，在高頻區(qū)的最大相對誤差6.75%出現(xiàn)在仿真分析的18.65 Hz 與試驗測試的20.00 Hz 之間。

基于移動二維激光掃描技術(shù)重建銀杏樹進行有限元分析與試驗測試結(jié)果存在一定誤差的主要原因是對測試數(shù)據(jù)進行頻譜曲線處理時，如果譜線設(shè)置過高，會出現(xiàn)相當(dāng)多的細(xì)小曲線峰點，為體現(xiàn)主要模態(tài)頻率，將譜線設(shè)置為800 根，一些微小的波峰點被忽略掉，導(dǎo)致了部分頻率的丟失。對于高頻區(qū)兩種方法存在較大差異的原因，更是因為高頻區(qū)果樹本身各枝桿頻譜特性就存在各自獨立性，采用仿真分析法無法獲得各枝干的模態(tài)頻率，因此與實測頻譜之間存在差異也就合理了。

因此，通過三維重建對銀杏樹進行有限元分析能夠有效地激發(fā)出果樹的絕大部分固有頻率，在果樹的動力學(xué)特性分析方面具有一定的有效性。

4 結(jié)論

1）在有限元分析條件下銀杏樹的各階諧振頻率基本是成對出現(xiàn)，在同一階模態(tài)中，僅有一個或幾個樹枝能夠同時達到顯著的振動現(xiàn)象，并且最大變形位置均出現(xiàn)在樹枝末梢，在某個特定頻率下對銀杏樹進行激振并不能引起所有樹枝的振動。

2）頻譜測試結(jié)果表明，果樹主干上諧振頻率點基本都在不同分級側(cè)枝上體現(xiàn)，側(cè)枝的共振頻率取決于側(cè)枝的結(jié)構(gòu)。主干和分枝之間存在一定的運動獨立性，隨著側(cè)枝的分級細(xì)化會出現(xiàn)除主干諧振頻率點以外更多的諧振頻率。

3）通過三維重建對銀杏樹進行有限元分析的結(jié)果與試驗測試結(jié)果之間的最大相對誤差在低頻區(qū)和高頻區(qū)分別為10.4%和6.75%，有限元方法可以有效地分析果樹的動力學(xué)特性。