可表示一致模的加法生成子

侯曉東，李 鋼

（齊魯工業(yè)大學(xué)（山東省科學(xué)院）數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，濟(jì)南 250353）

三角模（t-norm）和三角余模（t-conorm）作為重要的合取型和析取型聚合算子[1]，被廣泛應(yīng)用于模糊控制、模糊聚類、信息聚合和人工智能等領(lǐng)域.Fodor 等[2]提出了一致模（uninorm）的概念，使得三角模和三角余模得以推廣和統(tǒng)一，為相關(guān)模糊理論的研究奠定了基礎(chǔ)[3-4].一致模廣泛應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、專家系統(tǒng)、圖像處理和信息融合等領(lǐng)域.文獻(xiàn)[5]綜述了各類一致模的相關(guān)結(jié)論，并指出其應(yīng)用領(lǐng)域.本文研究可表示一致模的加法生成子，得到當(dāng)滿足一定條件時(shí)，加法生成子可由給定的一致模構(gòu)造出來，同時(shí)得到了基礎(chǔ)三角模和基礎(chǔ)三角余模的加法生成子，最后給出了所得結(jié)論在可表示一致模的序關(guān)系以及對(duì)應(yīng)剩余蘊(yùn)涵方面的應(yīng)用.本文結(jié)論可應(yīng)用于信息決策、優(yōu)化控制和模糊邏輯等領(lǐng)域.

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出相關(guān)概念.

定義 1[2]對(duì)于二元算子 U：[0，1]× [0，1]，若Ax、y、z∈[0，1]，有

（1）U（x，y）=U（y，x）；

（2）U（x，U（y，z））=U（U（x，y），z）；

（3）U（x，y）≤U（x，z），y≤z；

（4）Ee∈[0，1]，使得 U（e，x）=x，Ax∈[0，1].

則稱U 為一致模，其中e 稱為U 的單位元.當(dāng)e = 1時(shí)，U 退化為三角模T；當(dāng)e =0 時(shí)，U 退化為三角余模S.

由一致模U，定義三角模TU和三角余模SU為

TU和SU分別稱為U 的基礎(chǔ)三角模和基礎(chǔ)三角余模[2].

定義2[5]給定一致模U，單位元e∈]0，1[，若存在函數(shù) h（x）：[0，1]→，h（x）是連續(xù)的且嚴(yán)格遞增的，h（0）=-∞，h（e）=0，h（1）=+∞，使得

U（x，y）=h-1（h（x）+h（y））

其中：（x，y）∈[0，1]2{（0，1），（1，0）}，則稱U 為可表示一致模，稱h（x）為U 的加法生成子.

可表示一致模U 的加法生成子不唯一，若h（x）是 U 的加法生成子，則 kh（x）（k >0）也是 U 的加法生成子.記AU為U 的所有加法生成子構(gòu)成的集合.

定理1[6]設(shè)一致模U 的單位元e∈]0，1[，則U 是幾乎連續(xù)的（即U 在（x，y）∈[0，1]2{（0，1），（1，0）}連續(xù)）當(dāng)且僅當(dāng)U 是可表示一致模.

可表示一致模通常由給定的加法生成子構(gòu)造.本文討論逆問題，即，給定可表示一致模U，研究如何構(gòu)造U 的加法生成子.

2 主要結(jié)論

下面的定理2 給出了如何利用可表示一致模U構(gòu)造其加法生成子h（x）.

定理2設(shè)U 為可表示一致模，單位元e∈]0，1[.若加法生成子h（x）在]0，1]存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足

則 h（x）可表示為：

證明（1）由于 h（x）在]0，1]存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則h（x）的連續(xù)性顯然.

（4）由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式[7]可得

所以有

綜上定理得證.

下面給出可表示一致模U 的基礎(chǔ)三角模和基礎(chǔ)三角余模的加法生成子.

推論1設(shè)U 為可表示一致模，單位元e∈]0，1[，則有

（1）U 的基礎(chǔ)三角模TU的加法生成子為

（2）U 的基礎(chǔ)三角余模SU的加法生成子為

證明（1）當(dāng) x≤e 時(shí)則有

命題設(shè)U 為可表示一致模，單位元e∈]0，1[.若存在一致模U 的一個(gè)加法生成子h（x）∈AU滿足則AU中任意加法生成子k（x）均滿足

證明設(shè)加法生成子h（x）∈AU，則對(duì)于任意加法生成子 k（x）∈AU，存在 q >0，使得 k（x）=h（x）·q[2]，因?yàn)閯t有

由定理2 和命題可得到如下推論2.

推論2設(shè)U 為可表示一致模，單位元e∈]0，1[，其加法生成子在]0，1]存在連續(xù)導(dǎo)數(shù).若存在加法生成子也是一致模U 的加法生成子，其表達(dá)式為

例1設(shè)一致模U 的表達(dá)式為

當(dāng)k > 0 時(shí)，kh*（x）仍是U 的加法生成子，4h*（x）=即為文獻(xiàn)[2]中的算例.

注：若定理2 中的式（3）不成立，則無法用式（4）或式（5）構(gòu)造加法生成子.

例 2若一致模 U 可由加法生成子h（x）構(gòu)造，h（x）具有表達(dá)式

3 應(yīng)用

下面給出定理2 在討論可表示一致模的序關(guān)系以及對(duì)應(yīng)剩余蘊(yùn)涵方面的應(yīng)用.

定理3[8]設(shè)U1和U2為單位元相同的可表示一致模，則 U1≤U2→h1h2-1是超可加的，其中 h1、h2分別為 U1、U2的加法生成子.

例3給定一致模

由定理1 可知U1和U2均為可表示一致模.由推論2可計(jì)算得到U1和U2的加法生成子分別為

由文獻(xiàn)[9]的定理7 知可表示一致模誘導(dǎo)的剩余蘊(yùn)涵可通過加法生成子表示為

利用推論2 可以直接寫出例3 中的U1誘導(dǎo)的剩余蘊(yùn)涵，當(dāng)（x，y）∈[0，1]2{（0，0），（1，1）}時(shí)，

當(dāng)（x，y）∈{（0，0），（1，1）}時(shí)，φμ（x，y）=1.