電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動對碰撞電負(fù)性磁鞘的影響*

劉惠平 鄒秀

(大連交通大學(xué)理學(xué)院,大連 116028)

研究了鞘層中電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動對碰撞電負(fù)性磁鞘玻姆判據(jù)和鞘層結(jié)構(gòu)的影響.通過理論推導(dǎo)得到了考慮鞘層中電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動時鞘層玻姆判據(jù)表達(dá)式,并通過數(shù)值模擬得到了電子和負(fù)離子采用玻爾茲曼模型和反射運(yùn)動模型時離子馬赫數(shù)的下限隨參數(shù)的變化曲線以及鞘層中帶電粒子密度的分布曲線.結(jié)果表明,電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動模型和玻爾茲曼模型離子馬赫數(shù)的上限完全相同,下限表達(dá)式不同,反射運(yùn)動模型中下限還與基板電勢有關(guān),且隨著基板電勢值的增加而增大,達(dá)到與玻爾茲曼分布中相同值后保持不變,隨著鞘邊負(fù)離子濃度和溫度的不同達(dá)到最大值的速度不同;離子馬赫數(shù)的下限在玻爾茲曼和反射運(yùn)動模型中都隨鞘邊負(fù)離子濃度的增加和溫度的降低而減小,只是在反射運(yùn)動模型中的最大值要小;兩種模型中離子馬赫數(shù)的下限都隨鞘邊電場的增加而增加,但在玻爾茲曼模型中增加得更快最終值更大;兩種模型離子馬赫數(shù)的下限都隨碰撞參數(shù)或磁場角度的增加而降低,但在玻爾茲曼模型中降低更快,隨著碰撞參數(shù)或者磁場角度的增加兩種模型中離子馬赫數(shù)的下限趨于一致;當(dāng)基板電勢值較小時,電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動對鞘層結(jié)構(gòu)影響較大,當(dāng)基板電勢值較大時電子和負(fù)離子反射運(yùn)動對鞘層中帶電粒子密度分布的影響很小.

1 引 言

在工業(yè)中,經(jīng)常采用含負(fù)離子和碳氟化合物(如 H2,F2,O2,C12,SF6) 的等離子體來進(jìn)行新材料加工.在這種等離子體加工過程中,由于電子的吸附作用或發(fā)生化學(xué)反應(yīng)便會在鞘層中出現(xiàn)負(fù)離子,如等,其密度可能大大超過電子密度,電負(fù)性等離子體也因此成為國內(nèi)外學(xué)者們研究的熱點(diǎn)[1?26].等離子體的電負(fù)性(等離子體中負(fù)離子與正離子的密度比)由于作業(yè)條件和氣體組成的不同可能在 10–3—1 范圍內(nèi)變化[5?7].含有負(fù)離子的等離子體鞘層稱為電負(fù)性等離子體鞘層.

外加磁場作用下的等離子體鞘層在等離子體探針和材料加工等方面都有很重要的應(yīng)用,比如用磁化的等離子體進(jìn)行超音速流的控制,尤其用來減輕超音速飛行中的極熱問題[27].再比如利用外磁場也可以很好地控制等離子體的放電特征[7].以往對電負(fù)性等離子體磁鞘的研究工作中,電子和負(fù)離子均被假設(shè)遵循玻爾茲曼分布,正離子遵循流體方程.但是近幾年的研究發(fā)現(xiàn),在磁鞘中若磁場嚴(yán)格平行于基板,電子不再遵循玻爾茲曼分布,而是同正離子一樣遵循流體分布[28?32].在斜磁場作用的鞘層中,電子和負(fù)離子在沿磁場線向基板運(yùn)動的過程中,有一部分將會被鞘層中負(fù)的電勢反射,因此電子和負(fù)離子的運(yùn)動并不是嚴(yán)格地遵從玻爾茲曼分布.對非磁化的鞘層中電子的反射運(yùn)動也有研究[33,34],結(jié)果表明電子的反射運(yùn)動對鞘層結(jié)構(gòu)有明顯的影響,比如能夠引起基板電勢的降低.文獻(xiàn)[35]較系統(tǒng)地研究了斜磁場作用下電子離子鞘層中電子的反射運(yùn)動對玻姆判據(jù)和鞘層的影響,結(jié)果表明當(dāng)基板電勢值較小時,電子的反射運(yùn)動使離子馬赫數(shù)最小值降低,對鞘層結(jié)構(gòu)也有明顯的影響.然而對于碰撞電負(fù)性磁鞘中,電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動對玻姆判據(jù)和鞘層結(jié)構(gòu)的影響,還沒有被系統(tǒng)地研究.

本文首先完整地推導(dǎo)了包含電子、負(fù)離子和正離子的碰撞磁鞘中,考慮電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動情況下的玻姆判據(jù),然后數(shù)值研究了電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動對鞘層玻姆判據(jù)和鞘層結(jié)構(gòu)的影響,重點(diǎn)比較了電子和負(fù)離子采用反射運(yùn)動模型和玻爾茲曼模型時鞘層玻姆判據(jù)和鞘層結(jié)構(gòu)的異同,得到的結(jié)果對理論和實(shí)驗(yàn)研究均有一定的價值.

2 鞘層模型和基本方程

在考慮電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動的情況下,等離子體磁鞘層模型如圖1所示.假設(shè)鞘層為平面鞘層,恒定的外磁場位于x-z平面并與x方向成θ角.假設(shè)鞘層中包含三種帶電粒子:負(fù)離子和電子溫度分別為 T–和 Te,帶電量均為–e,冷的正離子帶電量為e.負(fù)離子和電子分別滿足方程[28?35]:

式中,mi,ni和vi分別為正離子的質(zhì)量、數(shù)密度和速度,νin=nnτvi為傳遞動量的正離子與中性粒子碰撞的頻率,nn為中性氣體數(shù)密度,τ=τs(vi/cis)β是動量傳遞截面(τs為以正離子聲速測量的橫截面,cis=(Te/mi)1/2為正離子聲速,β 為無量綱化參數(shù),其取值范圍為–1—0,其中 β=-1 對應(yīng)恒定的碰撞頻率,β=0 對應(yīng)恒定的平均自由程).

圖1 電負(fù)性等離子體磁鞘模型示意圖Fig.1.Geometry of the electronegative magnetized plasma sheath model.

采用三維速度和一維空間坐標(biāo),鞘層電勢滿足泊松方程:

用 α=n-0/ni0表示鞘邊負(fù)離子與正離子密度比,σ=Te/T-表示電子與負(fù)離子溫度比.為簡化方程,引入下列無量綱化參數(shù)η=-eφ/Te,ξ=x/λD,和 ν=λDnnτs,其中 ne0,ni0和n-0分別為鞘邊電子數(shù)密度,正離子數(shù)密度和負(fù)離子數(shù)密度,λD=為電子德拜長度,ν 為凈碰撞參數(shù).

式中,M ai=vix0/cis是離子馬赫數(shù),γi是正離子回旋頻率 ωic=eB/(mic) 與正離子等離子體頻率之 比,即利用鞘層邊界條件:在鞘邊x=0 處,和由 (6)—(14)式及文獻(xiàn) [15,23]可以得到考慮電子和負(fù)離子反射運(yùn)動時的電負(fù)性等離子體磁鞘的玻姆判據(jù):

當(dāng) β=0 時,

當(dāng) β=-1 時,

3 數(shù)值結(jié)果和討論

(15)式和(16)式即為考慮電子和負(fù)離子反射運(yùn)動時的碰撞電負(fù)性等離子體磁鞘的玻姆判據(jù).考慮正離子在預(yù)鞘區(qū)的E×B漂移運(yùn)動,將正離子進(jìn)入鞘層時y方向初速度和z方向初速度代入(15)式和(16)式可以得到:

當(dāng) β=0 時,

當(dāng) β=-1 時,

考慮電子和負(fù)離子反射運(yùn)動以及正離子在的預(yù)鞘區(qū)的E×B漂移運(yùn)動時的碰撞電負(fù)性等離子體磁鞘的玻姆判據(jù)由(17)式和(18)式?jīng)Q定.從(17)式和(18)式可以看出,無論鞘層碰撞模型為恒定的離子自由程(β=0)還是為恒定的離子遷移率(β=-1),離子馬赫數(shù) M ai的上限和下限的值都與碰撞參數(shù)、鞘邊負(fù)離子的濃度、磁場的角度以及鞘邊電場有關(guān),但僅僅下限的值與基板電勢和負(fù)離子溫度有關(guān),上限與基板電勢和負(fù)離子溫度均無關(guān);兩種碰撞模型不同的是前者的離子馬赫數(shù)Mai的取值范圍還與磁場強(qiáng)度有關(guān),后者離子馬赫數(shù) M ai的取值范圍卻與磁場強(qiáng)度無關(guān).可以對(17)式和(18)式進(jìn)行如下討論:當(dāng)取基板電勢ηw→ ∞時,由(17)式和(18)式可以得到電子和負(fù)離子為玻爾茲曼分布時的碰撞電負(fù)性等離子體磁鞘的玻姆判據(jù)[23],同時還可以看到對于碰撞電負(fù)性等離子體磁鞘,無論電子和負(fù)離子是采用玻爾茲曼分布還是考慮電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動,離子馬赫數(shù) M ai的上限都相同,不同的是下限;當(dāng)取鞘邊負(fù)離子濃度和碰撞參數(shù)均為零(α=0,ν=0)時,由(17)式和(18)式可以得到與文獻(xiàn)[35]完全相同的結(jié)果.

為了比較電子和負(fù)離子采用玻爾茲曼分布模型和反射運(yùn)動模型對離子馬赫數(shù) M ai下限的影響,根據(jù)文獻(xiàn) [5?10,13,19,20,35]選取參數(shù),對β=-1時離子馬赫數(shù) M ai的下限隨參數(shù)的變化進(jìn)行了數(shù)值模擬,結(jié)果如圖2—圖6所示.從圖2可以看出,離子馬赫數(shù) M ai的下限在玻爾茲曼模型和反射模型中均隨鞘邊負(fù)離子濃度的增加(α 值增大)和負(fù)離子溫度的降低(σ 值增大)單調(diào)遞減,只是在反射模型中的最大值要小一些.圖3中離子馬赫數(shù)Mai的下限在玻爾茲曼模型中不隨基板電勢變化,但在反射運(yùn)動模型中開始隨基板電勢值的增加而增大,增大到與玻爾茲曼模型中相同的值后不再變化;當(dāng)鞘邊負(fù)離子濃度較高(α 值較大)或者溫度較低(σ值較大)時,反射運(yùn)動模型中離子馬赫數(shù) M ai的下限會很快增加到與玻爾茲曼模型中相同的值.圖4顯示的是兩種模型中離子馬赫數(shù) M ai的下限都隨鞘邊電場的增加而增大,但在玻爾茲曼模型中增加得更快最終值更大.從圖5和圖6可以看出,兩種模型的離子馬赫數(shù) M ai的下限都隨著碰撞參數(shù)或者磁場角度的增加而降低,但玻爾茲曼模型中降低得更快,隨著碰撞參數(shù)或者磁場角度的增加兩種模型中離子馬赫數(shù) M ai的下限值趨于一致.

圖2 負(fù)離子濃度和溫度對離子馬赫數(shù)下限的影響 (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,E 0=0.05,η w=0.3) (a) 玻爾茲曼模型;(b)反射模型Fig.2.The effects of negative ions concentration and temperature on the lower limit of ion Mach number (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,E 0=0.05,η w=0.3):(a) Boltzmannian model;(b) reflection model.

圖3 基板電勢對離子馬赫數(shù)下限的影響 (a) 整體;(b) 局部 (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,E 0=0.05)Fig.3.The effect of wall potential on the lower limit of ion Mach number:(a) Whole;(b) part (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,E0=0.05).

圖4 鞘邊電場對離子馬赫數(shù)下限的影響 (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,α=0.2,σ=50,η w=0.3)Fig.4.The effect of the sheath edge electric field on the lower limit of ion Mach number (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,α=0.2,σ=50,η w=0.3).

圖5 碰撞參數(shù)對離子馬赫數(shù)下限的影響 (E 0=0.05,B=0.1T,θ=30°,α=0.2,σ=50,η w=0.3)Fig.5.The effect of collision parameter on the lower limit of ion Mach number (E 0=0.05,B=0.1T,θ=30°,α=0.2,σ=50,η w=0.3).

圖6 磁場角度對離子馬赫數(shù)下限的影響 (E 0=0.05,B=0.1T,ν=0.1,α=0.2,σ=50,η w=0.3)Fig.6.The effect of magnetic field angle on the lower limit of ion Mach number (E 0=0.05,B=0.1T,ν=0.1,α=0.2,σ=50,η w=0.3).

為了比較電子和負(fù)離子采用玻爾茲曼分布模型和反射運(yùn)動模型對鞘層中帶電粒子密度分布的影響,根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[5?10,13,18,19,20,35?37]可選取如下參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬:等離子體密度n0=5.0×1014/m3,電子溫度為 Te=3.48×104K,碰撞參數(shù)ν=0.1,磁場強(qiáng)度 B=0.2 T,磁場與 x 軸正向的夾角 θ=30°,鞘邊負(fù)離子與正離子密度比 α=0.25,電子與負(fù)離子溫度比 σ=7,鞘邊電場 E0=0.11,正離子進(jìn)入鞘層時x軸方向初速度取滿足玻姆判據(jù)的值 uix0=Mai=0.7,y軸和z軸方向初速度分別為 uiy0=-E0sinθ/γi和uiz0=Maitanθ,無量綱化參數(shù) β=-1,模擬結(jié)果如圖7和圖8所示.圖7基板電勢 ηw=0.7,圖8基板電勢 ηw=10.從圖7和圖8可以看出,無論基板電勢值較大還是較小,兩種模型中的負(fù)離子密度都是在鞘邊很快減小到零,其次是電子密度緩慢減小到零,最后是正離子密度更緩慢地減小,負(fù)離子密度減小很快是因?yàn)槠涿芏入S σ 值增大按指數(shù)形式減小((7)式);同時還可以看到,當(dāng)基板電勢值較小時,反射運(yùn)動模型中帶電粒子密度比在玻爾茲曼模型中下降得快,而當(dāng)基板電勢值較大時,兩種模型中同種帶電粒子密度分布并沒有明顯的不同,這是因?yàn)?7)式和(9)式,在這兩式中取基板電勢 ηw→ ∞,便可得到負(fù)離子和電子在玻爾茲曼模型下的密度表達(dá)式,并得到

式中,N-B和NeB分別為玻爾茲曼模型中鞘層區(qū)負(fù)離子和電子的密度.從(19)式和(20)式可以看出,基板電勢值越小,兩種模型中負(fù)離子和電子的密度分布差異越大.因此當(dāng)基板電勢值較小時,電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動對鞘層結(jié)構(gòu)影響較大,當(dāng)基板電勢值較大時電子和負(fù)離子反射運(yùn)動對鞘層中帶電粒子密度分布的影響很小.

圖7 鞘層中帶電粒子密度分布 (η w=0.7)Fig.7.The normalized charged particle density (η w=0.7).

圖8 鞘層中帶電粒子密度分布 (η w=10)Fig.8.The normalized charged particle density (η w=10).

4 結(jié) 論

建立了考慮電子和負(fù)離子反射運(yùn)動的磁化碰撞電負(fù)性鞘層結(jié)構(gòu)模型,理論推導(dǎo)了鞘層的玻姆判據(jù),并采用數(shù)值模擬的方法討論了鞘層中電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動對離子馬赫數(shù)的取值范圍和鞘層結(jié)構(gòu)的影響,得到以下結(jié)論.

1)無論電子和負(fù)離子是采用玻爾茲曼分布還是考慮電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動,離子馬赫數(shù)Mai的上限都相同,不同的是下限;在考慮電子和負(fù)離子反射運(yùn)動的情況下,無論鞘層碰撞模型為恒定的離子自由程(β=0)還是為恒定的離子遷移率(β=–1),離子馬赫數(shù) M ai的上限和下限的值都與碰撞參數(shù)、鞘邊負(fù)離子的濃度、磁場的角度以及鞘邊電場有關(guān),但僅僅下限與基板電勢和負(fù)離子溫度有關(guān),上限與基板電勢和負(fù)離子溫度均無關(guān);兩種碰撞模型不同的是前者的離子馬赫數(shù) M ai的取值范圍還與磁場強(qiáng)度有關(guān),后者離子馬赫數(shù) M ai的取值范圍卻與磁場強(qiáng)度無關(guān).

2)離子馬赫數(shù) M ai的下限在玻爾茲曼模型和反射模型中均隨鞘邊負(fù)離子濃度的增加和負(fù)離子溫度的降低單調(diào)遞減,只是在反射模型中的最大值要小一些.

3)離子馬赫數(shù)的下限在玻爾茲曼模型中不隨基板電勢變化,但在反射運(yùn)動模型中開始隨基板電勢值的增加而增大,增大到與玻爾茲曼模型中相同的值后不再變化;當(dāng)鞘邊負(fù)離子濃度較高或者溫度較低時,反射運(yùn)動模型中離子馬赫數(shù) M ai的下限會很快增加到與玻爾茲曼模型中相同的值.

4)玻爾茲曼和反射運(yùn)動模型中離子馬赫數(shù)的下限都隨鞘邊電場的增加而增大,但在玻爾茲曼模型中增加得更快最終值更大.

5)玻爾茲曼和反射運(yùn)動模型的離子馬赫數(shù)的下限都隨碰撞參數(shù)或者磁場角度的增加而降低,但玻爾茲曼模型中降低得更快,隨著碰撞參數(shù)或者磁場角度的增加兩種模型中離子馬赫數(shù)的下限值趨于一致.

6)當(dāng)基板電勢值較小時,電子和負(fù)離子的反射運(yùn)動對鞘層結(jié)構(gòu)影響較大,當(dāng)基板電勢值較大時電子和負(fù)離子反射運(yùn)動對鞘層中帶電粒子密度分布的影響很小.