天線方向系數(shù)的一類計(jì)算逼近方法

劉俊群

(南京電子技術(shù)研究所,南京 210039)

天線的方向系數(shù)是天線的核心性能指標(biāo)之一,準(zhǔn)確計(jì)算方向系數(shù)是高性能天線應(yīng)用的核心要求.本文基于平面近場測試?yán)碚?、?shí)測數(shù)據(jù)和快速傅里葉變換算法,系統(tǒng)闡述基于近場測試來數(shù)值計(jì)算天線方向系數(shù)的原理,并進(jìn)行深入的誤差分析.本文選擇一種方向圖函數(shù)和方向系數(shù)已知的被測天線,來檢驗(yàn)所討論的誤差評(píng)估方案.評(píng)估分兩步實(shí)現(xiàn),第一步,針對這一天線,采用標(biāo)準(zhǔn)的近場測試配置,仿真模擬出(相當(dāng)于實(shí)際測量出)一套平面近場數(shù)據(jù).第二步,基于這套近場數(shù)據(jù),利用數(shù)值積分計(jì)算出天線方向系數(shù).本文使用或提出了四種數(shù)值算法,分析了提出的后三種算法本身的誤差來源,并開發(fā)出程序搜索方案,確定出后兩種算法的最小誤差界.隨后,利用這四種數(shù)值算法分別得出天線的方向系數(shù).結(jié)果表明,計(jì)算所得的近場方向系數(shù)都比真實(shí)方向系數(shù)大,但誤差不超過0.6 dB.這一結(jié)果對實(shí)際應(yīng)用中正確評(píng)估基于近場測試的天線方向系數(shù)準(zhǔn)確性有重要參考價(jià)值.

1 引 言

天線是實(shí)現(xiàn)電磁波輻射與接收的基本設(shè)備,廣泛應(yīng)用于廣播、通信、雷達(dá)、導(dǎo)航等應(yīng)用系統(tǒng)中.一支好的天線,首先要能夠高效率輻射和接收電磁波,即輸入天線的電磁場功率能夠大部分被輻射出去或接收回來.其次,要根據(jù)實(shí)際需求,實(shí)現(xiàn)方向性.簡單來說,方向性是指天線輻射或接收的電磁波功率密度跟空間方向緊密相關(guān):某些方向電磁波功率密度很大,而某些方向電磁波功率密度很小直至忽略不計(jì).典型如跟蹤雷達(dá)天線,它的電磁波功率只聚焦于空間很狹窄的方向區(qū)域,以實(shí)現(xiàn)辨別和測定特定目標(biāo)位置.電磁波天線已經(jīng)用于國家經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的不同層面和千家萬戶.這一事實(shí)表明,無論是從應(yīng)用物理研究角度還是適應(yīng)實(shí)際發(fā)展需求角度,高效天線設(shè)計(jì)與制造不會(huì)是一個(gè)過時(shí)的課題.

天線輻射的電磁場空間方向分布特性是天線的主要性能,天線的方向系數(shù)是性能核心指標(biāo)之一.雖然天線的形式多種多樣,但物理上,任一天線的輻射性能可通過天線的歸一化方向圖函數(shù)F(θ,φ)來描述.天線在空間球坐標(biāo) (θ,φ)方向的方向系數(shù)D(θ,φ)定義為該方向輻射強(qiáng)度與整個(gè)空間所有方向的平均輻射強(qiáng)度之比.方向系數(shù)因此可理解為天線聚集電磁波能量程度大小的度量.天線方向系數(shù) D(θ,φ)與歸一化方向圖函數(shù) F(θ,φ)的關(guān)系如下[1]:

(1)式是計(jì)算任意天線方向系數(shù)的基本公式.工程計(jì)算中,通常所說的天線方向系數(shù)是指 D(θ,φ)的最大值 D0.根據(jù) (1)式,D0公式為

如上所述,方向系數(shù)D0是一支天線最重要的性能指標(biāo)之一,其準(zhǔn)確可靠計(jì)算是天線設(shè)計(jì)與應(yīng)用需要關(guān)注的核心問題之一.天線另一個(gè)重要性能指標(biāo)“增益”G(θ,φ)與方向系數(shù) D(θ,φ)緊密相關(guān),本文著重于方向系數(shù)的計(jì)算,對天線增益不做進(jìn)一步討論,在功率損耗可忽略的情況下,天線方向系數(shù)與天線增益大小相同.

根據(jù)(2)式,計(jì)算方向系數(shù)必須首先獲得天線歸一化方向圖函數(shù) F(θ,φ)的值,但是除了幾種幾何形狀簡單的天線外,實(shí)際上很難獲得 F(θ,φ)的解析表達(dá)式.工程上,通過實(shí)際天線的平面近場測試數(shù)據(jù)來計(jì)算 F(θ,φ)是一種可行方法,基于天線平面近場測試數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)F(θ,φ)和D0的高精度計(jì)算成為電磁場計(jì)算的一個(gè)重要課題.

天線平面近場測試已形成一套比較成熟的理論[2],其中探頭在天線輻射方向端測試采樣的所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)橫向、縱向間距均勻的矩形柵格平面,該平面與被測天線相距一般為2λ—10λ,這里λ為被測電磁波波長,獲得數(shù)據(jù)為探頭在測試采樣點(diǎn)感應(yīng)到的復(fù)電壓或復(fù)電流,該數(shù)據(jù)與被測天線激發(fā)的電磁場成正比.顯然,平面近場測試獲得數(shù)據(jù)為一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣,矩陣大小由測試選擇的橫向、縱向采樣點(diǎn)數(shù)決定.

平面近場測試?yán)碚撌且粋€(gè)有一定誤差的工程理論,這里列舉平面近場測試的主要誤差源:第一,天線遠(yuǎn)場與平面波譜的簡單正比關(guān)系式是平面近場波數(shù)譜積分利用駐相法獲得的近似計(jì)算結(jié)果;第二,平面近場離散采樣帶來的高波數(shù)譜貢獻(xiàn)被省略的誤差;第三,平面近場有限大小測試平面導(dǎo)致的截?cái)嗾`差;第四,一般近場測試數(shù)據(jù)處理未考慮探頭方向性帶來的誤差.當(dāng)然,也可從電磁場等效原理來分析平面近場測試技術(shù)的誤差源.另外,平面近場測試只考慮被測天線靠近探頭側(cè)即主要輻射方向半空間的電磁場分布,實(shí)際天線一般滿足此條件,背瓣方向電磁場相對較弱,在計(jì)算時(shí)一般不予考慮,認(rèn)為天線偏離探頭側(cè)的背面半空間電磁場為零.

如上所述,盡管平面近場測試?yán)碚摵图夹g(shù)有一定誤差,但是實(shí)際工作中仍然被廣泛使用,實(shí)踐證明平面近場測試誤差在根據(jù)被測天線特點(diǎn)選擇對應(yīng)的測試條件后可以容忍直至忽略不計(jì).因此,基于天線平面近場測試數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)F(θ,φ)和D0的高精度計(jì)算仍具有重要的工程意義.

實(shí)際應(yīng)用中,一般是在獲得了被測天線近場復(fù)數(shù)矩陣數(shù)據(jù)后,通過近場-遠(yuǎn)場快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT) 快速算法[3]來計(jì)算天線的歸一化方向圖函數(shù) F(θ,φ),再由 (2)式結(jié)合數(shù)值積分算法來計(jì)算天線的方向系數(shù)D0,從而形成一整套完備的天線性能數(shù)據(jù),特別是較為準(zhǔn)確可靠的方向系數(shù)D0的值,以用于雷達(dá)等實(shí)際探測應(yīng)用.這就引出了本文要關(guān)注的關(guān)鍵問題:根據(jù)(2)式,結(jié)合數(shù)值積分算法獲得的方向系數(shù)準(zhǔn)確可靠嗎? 與被測天線真實(shí)方向系數(shù)比較有多大誤差?分析這種誤差并給出評(píng)估結(jié)論,成為本文主要的研究內(nèi)容之一.

事實(shí)上,本文作者所在單位已經(jīng)有專業(yè)科技人員開發(fā)出數(shù)值計(jì)算程序—處理近場 (processing near field,PNF),以計(jì)算、處理平面近場測試獲得的被測天線近場數(shù)據(jù),包括計(jì)算被測天線方向系數(shù)D0.這一PNF程序在本單位被廣泛使用于各種天線的平面近場測試數(shù)據(jù)分析與處理,經(jīng)過實(shí)踐驗(yàn)證,算法本身具有公認(rèn)的基本準(zhǔn)確度,其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算速度很快,但是本文作者對其算法的具體細(xì)節(jié)未能獲知,其嚴(yán)格準(zhǔn)確度需要通過測試數(shù)據(jù)計(jì)算進(jìn)行評(píng)估.

本文作者也曾利用美國矩陣實(shí)驗(yàn)室(Matrix Laboratory,MATLAB)軟件開發(fā)了相關(guān)程序計(jì)算D0值.結(jié)果顯示,針對不同的近場幅相分布數(shù)據(jù),與PNF對比,兩者計(jì)算所得的D0結(jié)果在大多數(shù)情況下存在一定偏離.本文的仿真算例中表1—表7給出了共7個(gè)算例的結(jié)果比對,其中方法1)乃PNF程序計(jì)算方法,而方法2)—4)乃本文將要敘述的方法.鑒于此,迫切需要對天線方向系數(shù)的算法進(jìn)行全面分析評(píng)估,以求既準(zhǔn)確又快速地逼近天線的真實(shí)方向系數(shù)D0.平面近場測試環(huán)境下的被測天線本身具有真實(shí)的方向系數(shù)(真值D0),但是由于平面近場測試方法具有一定誤差,根據(jù)該方法獲得的測試數(shù)據(jù)矩陣計(jì)算獲得的方向系數(shù)仍與真值D0有一定偏離,這是近場測試方法具有的系統(tǒng)誤差,這種偏離誤差成為本文研究評(píng)估的基本誤差之一.基本誤差之二為基于平面近場測試數(shù)據(jù)矩陣的數(shù)值積分算法本身具有的積分算法誤差.在整個(gè)過程中,被測天線方向系數(shù)的真值D0是評(píng)估的根本參考標(biāo)準(zhǔn).

本文采用的數(shù)值積分?jǐn)?shù)理計(jì)算方法本質(zhì)上是逼近積分真值,總具有一定的數(shù)值誤差,不過積分計(jì)算程序函數(shù)會(huì)給出誤差界(error bound),誤差界表示積分逼近值與積分真值的誤差絕對值上界,對同一被積函數(shù),不同方法的誤差界一般不同,誤差界越小,對應(yīng)方法獲得的積分值越可信,越逼近積分真值,也即收斂性越好;但是數(shù)值積分算法無法給出積分真值的確切數(shù)值,只能給出由誤差界和積分逼近值決定的一個(gè)真值所在區(qū)間.這是數(shù)值積分的基本特性.

基于上述兩類基本誤差,本文的研究思路為:建立一個(gè)可以計(jì)算方向系數(shù)真值的理論陣列模型,先求其嚴(yán)格的方向系數(shù);再按照實(shí)際近場掃描系統(tǒng)的掃描范圍與采樣間隔,用計(jì)算的方法得到采樣點(diǎn)的場強(qiáng)數(shù)據(jù)(模擬探頭測量),再用模擬探頭測量的有限離散數(shù)據(jù)計(jì)算方向系數(shù),與理論真值比較,這樣在控制基本誤差之二最小的情況下可評(píng)估算法的基本誤差之一的誤差程度,這是對基本誤差之一進(jìn)行評(píng)估.對基本誤差之二進(jìn)行評(píng)估主要依賴于MATLAB函數(shù)quad2d()最小積分誤差界的搜索和相關(guān)計(jì)算.

目前對方向系數(shù)的計(jì)算算法研究可分為兩類:一類為數(shù)值方法,另一類為解析方法.數(shù)值方法中一部分文獻(xiàn)在(2)式的基礎(chǔ)上引入簡化假定[4?10],如認(rèn)為方向圖函數(shù)只與θ有關(guān),對積分區(qū)間進(jìn)行截?cái)嗵幚淼?一部分文獻(xiàn)采用計(jì)算電磁學(xué)的數(shù)值方法[11?14]來計(jì)算特定屬性天線的電磁場,然后獲得方向系數(shù)的仿真解.解析方法中一類文獻(xiàn)聚焦于將方向系數(shù)的積分公式進(jìn)行重新解析分析,如文獻(xiàn)[15]利用電場強(qiáng)度的球面波級(jí)數(shù)展開和傅里葉級(jí)數(shù)技術(shù)重新分析獲得方向系數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式,文獻(xiàn)[16]則利用遠(yuǎn)場的空間帶寬有限特性,引入采樣技術(shù)和插值展開獲得了方向系數(shù)的閉式表達(dá)式,文獻(xiàn)[17]對一般空間陣列的方向系數(shù)進(jìn)行了解析分析獲得了通用公式.文獻(xiàn)[18]分析了環(huán)形微帶貼片天線的方向系數(shù)逼近解析公式,也即該公式是近似解析解.文獻(xiàn)[19]專題分析了掃描共線陣列天線的輻射功率和方向系數(shù).這些文獻(xiàn)有一個(gè)共同特點(diǎn):分別計(jì)算輻射強(qiáng)度和輻射功率,再得出方向系數(shù),而不是只關(guān)注歸一化方向圖函數(shù) F(θ,φ),這點(diǎn)是與本文不同的地方.

但是,基于天線平面近場測試?yán)碚?、?shù)據(jù)、FFT算法和數(shù)值積分的通用的方向系數(shù)計(jì)算求解方法研究文獻(xiàn)報(bào)道很少,針對基本誤差二,本文試圖研究一類基于前述理論和技術(shù)的逼近數(shù)值積分真值的數(shù)學(xué)物理計(jì)算方法,對算法計(jì)算誤差源進(jìn)行深入分析,提出盡可能減小誤差、逼近積分真值的較準(zhǔn)確計(jì)算方案,然后將積分計(jì)算結(jié)果與近場被測天線真實(shí)方向系數(shù)進(jìn)行比較,以評(píng)估這類算法的系統(tǒng)誤差,為理論和實(shí)際應(yīng)用提供參考.本文研究方法屬于數(shù)值方法,不是解析方法,與上述參考文獻(xiàn)研究方向合在一起構(gòu)成方向系數(shù)計(jì)算算法的兩類方向.

2 計(jì)算原理

根據(jù)平面近場測試?yán)碚揫2],任一天線的方向圖函數(shù)和方向系數(shù)評(píng)估都可以基于平面近場測試探頭掃描采樣點(diǎn)矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行,對天線方向系數(shù)的求解轉(zhuǎn)變?yōu)榛趯?yīng)掃描采樣點(diǎn)矩陣的近場測試數(shù)據(jù)矩陣的計(jì)算求解.

針對基本誤差之一分析,需要從被測天線模擬出探頭掃描有限采樣平面處的探頭輸出值,根據(jù)文獻(xiàn)[2],采用圖1坐標(biāo)系,探頭輸出值為

式中kx和ky是二重積分的自變量,有如下關(guān)系式:

G(kx,–ky)為探頭的平面波譜矢量,F(kx,ky)為被測天線的平面波譜矢量,r0為掃描平面的探頭位置矢量,又因?yàn)槿我惶炀€的平面波譜矢量A(kx,ky)和其遠(yuǎn)場E(r)有如下關(guān)系[2]:

式中 k0為對應(yīng)遠(yuǎn)場點(diǎn) r(r,θ,φ)方向 (θ,φ)的矢量,有如下關(guān)系式:

式中 K0z為 K0的 z 向分量,K0z=k cosθ,其他分量含義類似.根據(jù)(5)式,任一天線遠(yuǎn)場矢量方向圖函數(shù) P(θ,φ)與其平面波譜 A(Kx,Ky)有如下關(guān)系:

式中C為與θ,φ無關(guān)的部分,k為波數(shù)大小.

根據(jù)(7)式,只要知道了被測天線和探頭的方向圖函數(shù),即可獲知它們對應(yīng)的位于半徑為k的圓內(nèi)區(qū)域的平面波譜函數(shù),考慮到平面波譜的凋落波成分,在平面近場測試條件下根據(jù)(3)式可獲得探頭輸出值.為了簡化計(jì)算和提高測量及計(jì)算的精度,在探頭與被測天線同為線極化且方向都平行于z軸的情形下(參見圖1,這也是實(shí)際近場測試常見的配置,此時(shí)被測天線和探頭主極化都為eθ方向),為了(3)式有效采樣離散化來模擬掃描平面處的探頭響應(yīng)值,可設(shè)探頭矢量方向圖函數(shù)為 cosθeθ,被測天線方向圖函數(shù)為 f(θ,φ)eθ,eθ為球面坐標(biāo)系對應(yīng)θ的基矢,根據(jù)(7)式,(3)式成為

式中 Cp為與 θ,φ 無關(guān)的部分,Kx,Ky與 θ,φ 關(guān)系如下:

(8)式在平面近場測試條件下進(jìn)行采樣離散和截?cái)郲20],省掉Cp,有如下關(guān)系式:

式中Lx為掃描平面x向長度的一半,Ly為掃描平面y向長度的一半,Mx為掃描平面x向采樣點(diǎn)數(shù)的一半,My為掃描平面y向采樣點(diǎn)數(shù)的一半,為包括所有的傳輸波譜,Mx和My在Lx和Ly確定后需滿足(10)式中的不等式.

圖1 矩形陣列天線方向圖函數(shù)求解坐標(biāo)系Fig.1.The solution coordinate for the pattern of planar array antennas.

給定一個(gè)已知準(zhǔn)確方向圖函數(shù) f(θ,φ) (即f(u,v))和準(zhǔn)確方向系數(shù)D0的被測天線(本文數(shù)值算例部分選定一個(gè)平面陣列天線作為評(píng)估對象,該天線陣列根據(jù)文獻(xiàn)[17]可計(jì)算出本文條件下的準(zhǔn)確方向系數(shù)),根據(jù)(10)式求解出探頭輸出值后,再根據(jù)平面近場測試?yán)碚摵颓笆霰粶y天線和探頭極化假定后有如下關(guān)系式[2]:

式中ft(u,v)為由被測天線平面近場測試數(shù)據(jù)計(jì)算出的方向圖函數(shù),Dx為掃描平面x向探頭采樣間距,Dy為掃描平面 y 向探頭采樣間距.ft(u,v)與f(u,v)之間存在著一定的系統(tǒng)誤差,本文將在后節(jié)數(shù)值算例部分對由此導(dǎo)致的方向系數(shù)誤差給出評(píng)估.

(11a)式中Uil為PB(r0)在采樣點(diǎn)處的離散值,這一近場測試掃描采樣平面矩陣相當(dāng)于一個(gè)平面矩形陣列天線(因?yàn)槠浞较驁D表達(dá)式與對應(yīng)的單元位于采樣點(diǎn)并且單元電壓激勵(lì)與采樣點(diǎn)探頭輸出值相同的平面矩形陣列天線方向圖表達(dá)式陣因子完全一致).一般矩形陣列天線的示意圖如圖1所示,選取矩形陣列平面為xy平面,陣列平面每個(gè)交點(diǎn)數(shù)據(jù)代表一個(gè)天線單元(單元結(jié)構(gòu)一樣,只是每個(gè)單元激發(fā)的電壓或電流幅相可能不一樣).陣列單元數(shù)為 Nx×Ny個(gè),沿 x和y 軸的單元間距分別為 dx和 dy,而 (θ,φ)為空間電磁場場點(diǎn) r 的球坐標(biāo)方向角.

類似地,針對圖1的結(jié)構(gòu)參數(shù),單元各向同方向性的該平面天線陣列的方向圖函數(shù)為[1]

這里f(u,v)無下標(biāo)t,表示這是平面天線陣列的理論方向圖函數(shù).

近場測試中,利用FFT從平面近場數(shù)據(jù)矩陣得到的方向圖函數(shù)通常是直角坐標(biāo)形式Ft(u,v),這里使用下標(biāo)t表示該函數(shù)是測試數(shù)據(jù)產(chǎn)生的方向圖函數(shù),與(11a)式的未歸一化方向圖函數(shù)ft(u,v) 相對應(yīng).直角坐標(biāo)變量 (u,v) 對應(yīng)于球坐標(biāo)中單位球面上某點(diǎn)在xy平面上的投影坐標(biāo),它們的絕對值都不大于1.注意(u,v)實(shí)際上只代表上半球面或下半球面上的空間方向,滿足如下關(guān)系式[3]:

如前所述,根據(jù)平面近場測試?yán)碚摻Y(jié)果的半空間范圍特性,結(jié)合天線實(shí)際設(shè)計(jì)與應(yīng)用,可以認(rèn)為平面天線陣只具有前向輻射,無需考慮后向輻射,故 Ft(θ,φ)的 θ只取區(qū)間 [0,π/2],方向系數(shù)寫為Dpa,表達(dá)式 (2)式修正為

設(shè)有一被積函數(shù) H(u,v),滿足

式中 |···| 為雅可比行列式,是被積函數(shù)積分元變換的基本因子,可以寫為

根據(jù) (12)式,有

根據(jù) (14)式、(15)式和 (12)式,有

很顯然,(13)式可重寫為

本文基本誤差之二問題最后變成逼近計(jì)算近場測試數(shù)據(jù)矩陣方向系數(shù)(18)式的問題.基于PNF程序的算法可以快速計(jì)算平面近場測試數(shù)據(jù)的方向系數(shù),但所得系數(shù)Dpa沒有精度控制,無法估計(jì)計(jì)算結(jié)果的可靠性.本文將在(18)式基礎(chǔ)上引入數(shù)值積分精度控制,實(shí)現(xiàn)可靠逼近INVuv的真值,也就是實(shí)現(xiàn)可靠逼近近場測試數(shù)據(jù)矩陣方向系數(shù)積分式真值.

3 數(shù)值積分算法自身精度分析

為研究各種計(jì)算INVuv的方法,本文主要采用體現(xiàn)各種算法內(nèi)核的程序數(shù)值仿真形式,分析誤差來源,給出積分逼近值、誤差界和積分真值所在區(qū)間,進(jìn)行仿真驗(yàn)證、評(píng)估.共討論四種逼近方法.

1) PNF:作者所在單位專業(yè)科技人員開發(fā)的程序,作為一種近場數(shù)據(jù)處理程序得到廣泛使用,本文將其作為參考評(píng)估基礎(chǔ).它的方向系數(shù)算法類型肯定屬于數(shù)值積分,但是因?yàn)镻NF是編譯后可執(zhí)行程序,具體算法未知,只能通過與其他算法的結(jié)果進(jìn)行比較來分析、評(píng)價(jià)其準(zhǔn)確性和快速性.

2) 本文所述的FFT算法[3]基礎(chǔ)積分估算程序,無精度控制.其基本點(diǎn)是在已知矩形陣列幅相分布基礎(chǔ)上,利用FFT算法快速算出陣面方向圖函數(shù) Ft(u,v).該方法提供了有限的、離散的 (u,v)處函數(shù)值,然后基于對函數(shù)Ft(u,v)特性的分析來數(shù)值求積求和逼近INVuv.此方法由于積分?jǐn)?shù)據(jù)受FFT算法限制,計(jì)算所覆蓋的u值范圍未完全覆蓋積分定義域 [–1,1],因此 INVuv 在 (u,v)定義域邊緣處的積分值被忽略掉,導(dǎo)致INVuv偏小.另外,近似數(shù)值求積求和也引入了一定計(jì)算誤差.此方法的結(jié)果誤差界要通過與以下兩種方法尤其是第4)種方法的比較才能有一定的估計(jì),正是由于它沒有誤差控制,因此計(jì)算時(shí)間在第 2),3),4)種方法中是最短的,也即速度在三種方法中最快.

3) 在第 2)種方法基礎(chǔ)上,引入 MATLAB二維插值函數(shù)interp2()和二維數(shù)值積分基本函數(shù)quad2d()的積分程序.積分基本函數(shù)quad2d()提供誤差容差控制,積分方法是平鋪(tiled),不是兩次一重積分迭代(iterated),平鋪的基本方法是將非矩形平面積分區(qū)域通過內(nèi)部變換函數(shù)變換為一批小矩形積分區(qū)域再進(jìn)行數(shù)值求積,而且quad2d()函數(shù)能處理積分區(qū)域邊界處的被積函數(shù)暇點(diǎn),這種能力正好適應(yīng)(18)式中被積函數(shù)在積分邊界處的暇點(diǎn)特性,具體信息可參閱文獻(xiàn) [21].一般來說,這一方法的積分結(jié)果比第2)種方法的結(jié)果更逼近積分真值,它在第2)種方法得到的Ft(u,v)離散值基礎(chǔ)上進(jìn)行二維插值,來估算所需插值點(diǎn)處的函數(shù)值.這些插值點(diǎn)由求積函數(shù)quad2d()根據(jù)積分算法需要產(chǎn)生,從而使本方法獲得了更多的被積函數(shù)值.這些插值點(diǎn)處的被積函數(shù)值相對于函數(shù)值真值來說仍存在一定插值誤差,雖然經(jīng)過MATLAB的三次Hermite或樣條插值方法可盡量逼近函數(shù)值真值,但插值誤差不可能完全消除.

4) 基于累加求和的 Ft(u,v)積分計(jì)算,稱為累加求和被積函數(shù)解析值方法.注意到被積函數(shù)Ft(u,v)的“未歸一化”累加求和解析表達(dá)式 ft(u,v)即為(11a)式:

式中Uil為PB(r0)在采樣點(diǎn)處的離散值,Uil也可理解為探頭采樣平面對應(yīng)的平面矩形陣列天線離散單元處激發(fā)的電壓或電流的幅相復(fù)數(shù)值.Ft(u,v)與 ft(u,v)關(guān)系為

很顯然,要得到 Ft(u,v)的值,必須知道 ft(u,v)的最大值.有兩種方法:一是由第2)種方法得到的主瓣位置 (u0,v0)(即 ft(u,v)最大值所在方向)代入(19)式求得.這里,得到的最大值因?yàn)槭请x散數(shù)據(jù),在第2)種方法二維FFT計(jì)算點(diǎn)數(shù)(一般取為210×210)較多的情形下只有一定的微小誤差;二是理論分析得到ft(u,v)函數(shù)最大值,比如圖1相控陣的最大值方向(u0,v0)在某些情形下可有理論分析值,代入 (11a)式即可獲得 ft(u,v)函數(shù)最大值,這一方法沒有函數(shù)值誤差.雖然理論分析法精度更高,但是理論分析值可應(yīng)用情形不多,第一種方法是(11a)式獲得最大值的通用方法.

根據(jù)(11)式、(18)式和(19)式,本方法引入MATLAB二維數(shù)值積分基本函數(shù)quad2d()的積分程序來計(jì)算積分值.該方法與第3)種方法不同之處在于被積函數(shù)即為根據(jù)近場測試?yán)碚摰贸龅腇t(u,v)解析表達(dá)式,而第 3)種方法中,被積函數(shù)Ft(u,v)的值來源于被插值 (u,v)處的估計(jì)值,引入了插值誤差.本方法避免了數(shù)值計(jì)算Ft(u,v)這一影響積分精度的關(guān)鍵因子時(shí)引入的誤差,直接引入Ft(u,v)累加求和解析表達(dá)式.該方法根本誤差源只有一項(xiàng):來源于MATLAB二維數(shù)值求積函數(shù)quad2d()的計(jì)算精度誤差,因此在同樣容差精度條件下其結(jié)果是最逼近積分真值的,雖然計(jì)算耗時(shí)最長.

本文基于MATLAB和其包含的二維數(shù)值積分基本函數(shù)quad2d()開發(fā)了數(shù)值積分計(jì)算天線方向系數(shù)的程序,程序中根據(jù)quad2d()函數(shù)返回的信息不斷調(diào)節(jié)計(jì)算容差,實(shí)現(xiàn)最小容差定位和最佳積分逼近值,同時(shí)給出誤差界和積分真值區(qū)間.誤差界越小,積分值越逼近積分真值.需要說明的是,此處積分真值與被測天線方向系數(shù)真值是不同的概念,兩者之間如前所述有一定的系統(tǒng)偏離.

鑒于以上分析和論證,方法4)可作為對于同一被積函數(shù)不同數(shù)值積分算法關(guān)于積分真值的參考基準(zhǔn),數(shù)值算例和結(jié)果可以予以驗(yàn)證,算例結(jié)果應(yīng)體現(xiàn)在同樣被積函數(shù)條件下方法4)的誤差界最小,方法4)是積分真值的最佳逼近.

綜上所述,對于第1)種方法,只能將其計(jì)算結(jié)果與其他三種方法進(jìn)行誤差比較來給出評(píng)估;第2),3)種方法可以用第4)種方法的結(jié)果作為評(píng)估積分真值本身的參考基準(zhǔn),這點(diǎn)將由下節(jié)的數(shù)值算例和結(jié)果驗(yàn)證.

4 數(shù)值算例與結(jié)果

為了比較這四種方法的結(jié)果,本文選取某個(gè)矩形陣列天線作為被測天線,矩形陣列天線示意圖如圖1 所示.矩形陣列結(jié)構(gòu)參數(shù)為:Nx=60,Ny=40,dx=0.65λ,dy=0.65λ,λ 為計(jì)算輻射電磁波波長.結(jié)合實(shí)際精度和速度需要,二維FFT計(jì)算點(diǎn)數(shù)一般設(shè)為210×210.這一陣列將作為以下7個(gè)算例的平面近場測試被測天線(單元各向同方向性),它的方向圖函數(shù)和方向系數(shù)真值都可獲得.文獻(xiàn)[17]給出了任意立體陣列的方向系數(shù)解析解,自然本被測天線也包含在內(nèi),結(jié)合平面近場測試的測試條件和假定,單元各向同方向性的相位線性遞增分布的平面天線陣列方向系數(shù)有如下表達(dá)式[17]:

式中N表示天線陣列的單元總數(shù),I表示單元激勵(lì)電流或電壓振幅值,β表示單元激勵(lì)電流或電壓相位值 (弧度),k 為波數(shù),m和n 是單元下標(biāo),rmn表示單元m和單元n之間的空間距離,real表示取復(fù)數(shù)實(shí)部.下文算例1至算例4天線陣列屬于這一類別.

類似地,單元各向同方向性的相位任意分布的天線陣列的方向系數(shù)有如下表達(dá)式[17]:

式中 x和y 是單元的直角坐標(biāo)值,(θ0,φ0)為根據(jù)第3節(jié)第2)種方法求解出的方向圖函數(shù)最大值球坐標(biāo)方向角,其他物理量含義同(20)式.下文算例5至算例7天線陣列屬于這一類別.

被測天線與探頭掃描采樣平面距離d0=3λ,(10)式中有關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:Lx=Nx·dx=39λ,Ly=Ny·dy=26λ,采樣間距 Dx=0.5λ,Dy=0.5λ,Mx,My由 (10)式給出為 Mx=78,My=52.

本文共針對7個(gè)算例展開數(shù)值仿真計(jì)算,7個(gè)算例給定的電壓激勵(lì)模式都是針對矩形陣列被測天線,電壓激勵(lì)模式選擇遵循如下原則:盡量覆蓋方向系數(shù)高、低的情形,同時(shí)結(jié)合天線電訊設(shè)計(jì)工程實(shí)際中常用的電壓激勵(lì)幅相分布,以全面評(píng)估、驗(yàn)證、判斷這四種方法哪一種計(jì)算的方向系數(shù)Dpa的準(zhǔn)確性最好.計(jì)算過程簡介如下:先由(10)式模擬算出被測天線在探頭采樣平面的激勵(lì)電壓值,再由(11a)式和(18)式等對模擬探頭測試數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行四種方法的數(shù)值積分計(jì)算,并將結(jié)果與被測天線的方向系數(shù)理論真值進(jìn)行比較,從而獲得近場測試數(shù)據(jù)方法計(jì)算方向系數(shù)的誤差評(píng)估結(jié)果,具體如以下7個(gè)算例所示.

本文的計(jì)算機(jī)軟硬件環(huán)境配置如下:操作系統(tǒng)為 Windows 7 SP 1 X64 旗艦版,內(nèi)存 4 GB,處理器Intel Core2 Duo CPU P9400@2.4GHz,MATLAB版本為 8.1.0.604(R2013a) 32-bit(Win32).第 1)種方法為Windows可執(zhí)行程序,計(jì)時(shí)采用秒表;第2),3),4)種方法為 MATLAB 程序,可在程序中精確計(jì)時(shí),quad2d()函數(shù)初始絕對誤差控制為10–7,該值不同,第 3),4)種方法耗時(shí)會(huì)不同.四種方法都在上述同一計(jì)算平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)估.

算例1激勵(lì)模式滿足幅度均勻分布、相位同相的條件.理論分析可知主瓣波束指向(即方向圖函數(shù)最大值方向)滿足 (θ0,φ0)=(0°,0°),即指向陣面法向.此時(shí),數(shù)值積分時(shí)不存在 ft(u,v) 函數(shù)最大值誤差.這種幅相分布稱為幅相均勻分布,在工程實(shí)際應(yīng)用中,雷達(dá)天線發(fā)射通常采用這種幅相分布.其特點(diǎn)是方向圖波束寬度很窄,副瓣電平為–13.3 dB 左右,方向系數(shù)較大.對此分布,利用(20)式被測天線方向系數(shù)理論真值公式和所列四種方法對近場測試矩陣的計(jì)算和評(píng)估結(jié)果如表1所列.計(jì)算結(jié)果表明,天線陣列方向系數(shù)達(dá)到40 dB 以上,實(shí)現(xiàn)了高方向性,與均勻分布的規(guī)律一致.

算例2激勵(lì)模式滿足幅度均勻分布條件,但相位則依x軸、y軸可分離線性遞增分布(廣義遞增,相鄰單元相位增量為負(fù)也叫遞增).這種相位分布是典型的相控陣掃描相位分布,在工程實(shí)際中廣泛應(yīng)用,能實(shí)現(xiàn)相控陣波束掃描功能.本例設(shè)定波束掃描指向?yàn)?(θ0,φ0)=(40°,–60°),即在算例 1的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)相控陣波束掃描,也就是主瓣波束掃向空間方向 (θ0,φ0)=(40°,–60°).相比于 (θ0,φ0)=(0°,0°)的情況,這一相控陣掃描陣列方向系數(shù)要小,且掃描角偏離 (θ0,φ0)=(0°,0°) 越大,方向系數(shù)就越小.針對此分布的四種方法計(jì)算與評(píng)估結(jié)果如表2所列.計(jì)算結(jié)果表明,本例相控陣掃描陣列方向系數(shù)比算例1的情形下降2.0 dB左右.

算例3激勵(lì)的幅相遵循常用的Taylor分布.在相同副瓣電平設(shè)計(jì)要求的條件下,Taylor分布易于在實(shí)際工程中實(shí)現(xiàn).工程實(shí)際中,此分布一般用于天線接收時(shí)的幅相分布設(shè)計(jì).本例假定幅度在 x方向?yàn)楱C35 dB 副瓣電平的 Taylor分布,在y 方向?yàn)楱C25 dB 副瓣電平的 Taylor分布,相位掃描波束指向?yàn)?(θ0,φ0)=(40°,–60°).針對此分布的四種方法計(jì)算和評(píng)估結(jié)果如表3所列.

算例4FFT計(jì)算精度的影響.在算例3基礎(chǔ)上,將FFT算法分辨率進(jìn)一步提高,一維FFT點(diǎn)數(shù)由210變?yōu)?11,注意本文所指FFT實(shí)際上是二維FFT運(yùn)算.因?yàn)镕t(u,v)的真實(shí)離散值數(shù)量同步增大,數(shù)值積分計(jì)算結(jié)果一般會(huì)更加逼近真值.但是,FFT點(diǎn)數(shù)不宜太多,否則計(jì)算逼近時(shí)間太長,不便實(shí)用,如本例第 3)種方法耗時(shí)太多.在此情況下,考察積分結(jié)果的變化,四種方法計(jì)算和評(píng)估結(jié)果如表4所列.

算例5幅度、相位隨機(jī)“均勻”分布誤差的影響.以上算例為高方向性的計(jì)算實(shí)例,在其基礎(chǔ)上,可以研究低方向性情況下的性能.一種可能性為在上述幅相分布的基礎(chǔ)上引入隨機(jī)幅相分布誤差,因此本算例在算例3的基礎(chǔ)上引入幅度、相位隨機(jī)“均勻”分布誤差.四種方法計(jì)算和評(píng)估結(jié)果如表5所列.結(jié)果表明,隨機(jī)均勻分布幅相誤差對矩形陣列天線的方向系數(shù)數(shù)值影響很大(方向系數(shù)降低24 dB左右),實(shí)現(xiàn)了低方向性矩形陣列幅相分布.注意到PNF更加逼近方向系數(shù)真值.

表1 激勵(lì)均勻分布四種方法方向系數(shù)計(jì)算比較評(píng)估Table 1.Comparison and evaluation of four computation methods of directivity in uniform distribution of electromagnetic excitation.

表2 激勵(lì)幅度均勻相位掃描分布四種方法方向系數(shù)計(jì)算比較評(píng)估Table 2.Comparison and evaluation of four computation methods of directivity in uniform amplitude &linear scanning phase distribution of electromagnetic excitation.

表3 激勵(lì)Taylor分布四種方法方向系數(shù)計(jì)算比較評(píng)估Table 3.Comparison and evaluation of four computation methods of directivity in Taylor distribution of electromagnetic excitation.

算例 6幅度、相位隨機(jī)“正態(tài)”分布誤差對Taylor分布的影響.在算例3的基礎(chǔ)上,引入幅度、相位隨機(jī)“正態(tài)”分布誤差.四種方法計(jì)算和評(píng)估結(jié)果如表6所列.結(jié)果表明,隨機(jī)正態(tài)分布幅相誤差對方向系數(shù)數(shù)值影響顯著(方向系數(shù)減小25 dB左右),實(shí)現(xiàn)了低方向性矩形陣列幅相分布.注意到PNF更加逼近方向系數(shù)真值、速度最快,其他方法逼近積分真值規(guī)律和計(jì)算速度上與高方向系數(shù)的情形類似.

算例7幅度、相位隨機(jī)“正態(tài)”分布誤差對均勻分布的影響.在算例1基礎(chǔ)上引入幅度、相位隨機(jī)“正態(tài)”分布誤差,進(jìn)一步考察較小方向系數(shù)的矩形陣列天線.四種方法計(jì)算和評(píng)估結(jié)果如表7所列.四種方法逼近積分真值規(guī)律和計(jì)算速度上與算例6的情形類似,正態(tài)分布誤差對均勻幅相分布的影響比對Taylor分布的影響大,本例方向系數(shù)下降27 dB左右.注意到PNF更加逼近方向系數(shù)真值.

上述7個(gè)算例的計(jì)算仿真和評(píng)估驗(yàn)證表明,計(jì)算天線方向系數(shù)的數(shù)值積分四種方法各有特點(diǎn)和局限,如下所述.

表4 激勵(lì)Taylor分布FFT精度提高四種方法方向系數(shù)計(jì)算比較評(píng)估Table 4.Comparison and evaluation of four computation methods of directivity in Taylor distribution of electromagnetic excitation with raised precision of FFT algorithm.

第1)種方法PNF對高方向系數(shù)的計(jì)算誤差相對較大,誤差較大值接近 0.6 dB,對低方向系數(shù)的計(jì)算逼近方向系數(shù)真值,速度總是最快.這表明PNF計(jì)算高方向系數(shù)天線時(shí),算法對應(yīng)INVuv的積分結(jié)果比INVuv積分真值偏小,造成計(jì)算的方向系數(shù)值比第4)種方法計(jì)算的方向系數(shù)值偏大,因?yàn)榈?)種方法對應(yīng)INVuv的積分結(jié)果(如算例1—算例7誤差分析、估計(jì)部分結(jié)果證明)總是INVuv積分本身真值的最佳逼近(近乎完全符合).但是所有方法(包括第4)種方法)計(jì)算出的方向系數(shù)總是比方向系數(shù)真值偏大,這就造成PNF計(jì)算的方向系數(shù)更加遠(yuǎn)離方向系數(shù)真值,如算例1—算例4所示.PNF計(jì)算低方向系數(shù)天線時(shí),算法對應(yīng)INVuv的積分結(jié)果比INVuv積分真值偏大,造成計(jì)算的方向系數(shù)值比第4)種方法計(jì)算的方向系數(shù)值偏小,同樣因?yàn)榈?)種方法對應(yīng)INVuv的積分結(jié)果總是INVuv積分本身真值的最佳逼近(近乎完全符合).但是所有方法(包括第4)種方法)計(jì)算出的方向系數(shù)總是比方向系數(shù)真值偏大,這樣就造成PNF計(jì)算的方向系數(shù)更加逼近方向系數(shù)真值,如算例5—算例7所示.

表6 激勵(lì)Taylor分布幅相誤差隨機(jī)正態(tài)分布四種方法方向系數(shù)計(jì)算比較評(píng)估Table 6.Comparison and evaluation of four computation methods of directivity in Taylor distribution of electromagnetic excitation with normal random errors for amplitude &phase.

表7 激勵(lì)均勻分布幅相誤差隨機(jī)正態(tài)分布四種方法方向系數(shù)計(jì)算比較評(píng)估Table 7.Comparison and evaluation of four computation methods of directivity in uniform distribution of electromagnetic excitation with normal random errors for amplitude &phase.

第 2)種方法速度稍慢,計(jì)算時(shí)間依賴于FFT點(diǎn)數(shù)和測試數(shù)據(jù)矩陣大小,對于測試矩陣數(shù)據(jù)總數(shù)在 16000 (104×156=16224)規(guī)模,一般計(jì)算時(shí)間在 20 s左右;第 3)種方法速度更慢,基于第(2)種方法已知的方向圖函數(shù)值,引入MATLAB二維插值函數(shù)interp2()和二維數(shù)值積分基本函數(shù)quad2d(),采用三次Hermite插值或樣條插值和二維數(shù)值積分精度控制,一般來說使計(jì)算結(jié)果更加逼近積分真值,第4)種方法根據(jù)前面小節(jié)的理論分析論證和本小節(jié)的數(shù)值算例仿真結(jié)果驗(yàn)證,誤差界一般情況下最小,因此可作為積分真值最佳逼近,也可作為其他三種方法積分計(jì)算結(jié)果本身準(zhǔn)確性評(píng)估的基礎(chǔ),該方法根本誤差源只有quad2d()的計(jì)算誤差,但是耗時(shí)最長.

所有方法計(jì)算結(jié)果都比被測天線方向系數(shù)真值偏大.其中PNF對于高方向性天線計(jì)算誤差最大值達(dá) 0.6 dB;對于低方向性天線,計(jì)算結(jié)果更加逼近方向系數(shù)真值.第 2),3),4)種方法計(jì)算誤差最大值為 0.4 dB,在這三種方法中,第 4)種方法誤差最小.在四種方法中,第4)種方法總是積分本身真值的最佳逼近,但是耗時(shí)最長.

5 結(jié) 論

基于平面近場測試?yán)碚摣@得的矩形陣列幅相數(shù)據(jù),利用MATLAB插值函數(shù)和數(shù)值積分函數(shù)對被測天線的方向系數(shù)進(jìn)行了逼近求解.提出了三種新的近場測試數(shù)據(jù)數(shù)值積分計(jì)算方法,并與已有的PNF計(jì)算程序進(jìn)行了仿真數(shù)據(jù)對比,給出了這些方法的特點(diǎn)和局限.結(jié)果顯示:所有方法計(jì)算結(jié)果都比被測天線方向系數(shù)真值偏大.其中第1)種方法PNF對于高方向性天線計(jì)算誤差最大值達(dá)0.6 dB;對于低方向性天線,計(jì)算結(jié)果更加逼近方向系數(shù)真值.第2)、第3)、第4)種方法計(jì)算誤差最大值為 0.4 dB,在這三種方法中,第 4)種方法誤差最小.在四種方法中,第4)種方法總是積分本身真值的最佳逼近,但是耗時(shí)最長.第1)種方法PNF速度總是最快.第2)種方法FFT算法基礎(chǔ)積分估算程序速度稍慢,但是計(jì)算誤差對于高方向系數(shù)情形較小.第3)種方法基于MATLAB插值函數(shù)interp2()和數(shù)值積分函數(shù)quad2d()的積分程序一般來說比第2)種方法計(jì)算精度更高,速度較慢,積分結(jié)果一般來說相對于第2)種方法更加逼近方向系數(shù)真值.第4)種方法累加求和被積函數(shù)解析值方法可作為方向系數(shù)積分式本身真值的最佳逼近,相比于第2)種、第3)種方法離被測天線方向系數(shù)真值更近,但是耗時(shí)最長,不大能滿足快速響應(yīng)的需求.本工作是對基于平面近場測試數(shù)據(jù)的一類天線方向圖和方向系數(shù)計(jì)算技術(shù)的系統(tǒng)評(píng)估,對天線方向系數(shù)的計(jì)算數(shù)理方法研究具有理論和應(yīng)用價(jià)值.