正常使用極限狀態(tài)下隱式功能函數(shù)結(jié)構(gòu)可靠度計算

金波　周旺　唐麗瑩　李梓溢　姜早龍

摘???要：提出了一種適用于具有復(fù)雜隱式功能函數(shù)的鋼桁架結(jié)構(gòu)可靠度計算方法.?采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近正常使用極限狀態(tài)下隱式功能函數(shù)，基于可靠度指標的幾何意義，運用新改進的遺傳算法搜索鋼桁架可靠度指標最優(yōu)解及驗算點.?通過兩個算例，分別使用JC法和蒙特卡洛重要抽樣法驗證了新改進的遺傳算法的準確性和有效性.?結(jié)果表1明，新改進的遺傳算法與蒙特卡洛法計算的鋼桁架可靠度指標相對誤差僅為0.23%;且對于小概率失效結(jié)構(gòu)，引入的自適應(yīng)隨機變量能有效改善傳統(tǒng)方法中初始種群基因不良的問題.?該方法在計算復(fù)雜隱式功能函數(shù)結(jié)構(gòu)可靠度指標時，具有計算速度快、計算簡單、精度高等優(yōu)點.

關(guān)鍵詞：可靠度指標;隱式功能函數(shù);神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);遺傳算法

中圖分類號：U442.5???????????????????????????????文獻標志碼：A

Reliability?Calculation?of?Implicit?Function

Structure?in?Service?Ability?Limit?State

JIN?Bo？，ZHOU?Wang，TANG?Liying，LI?Ziyi，JIANG?Zaolong

（College?of?Civil?Engineering，Hunan?University，Changsha?410082，China）

Abstract：A?reliability?calculation?method?is?proposed?to?calculate?the?reliability?of?structure?with?complex?implicit?function?like?steel?truss?structures.?It?firstly?adopts?the?neural?network?to?approach?the?implicit?function?in?service?ability?limit?state?and?NGA?（New?Genetic?Algorithm）?is?employed?to?obtain?the?optimal?solution?of?reliability?index?of?steel?truss?structures?and?its?design?point?on?the?basis?of?the?geometric?implication?of?reliability?index.?Finally，JC?method?and?Monte?Carlo?Critical?Sampling?Method?are?introduced，respectively，in?two?examples?to?verify?the?accuracy?and?validity?of?NGA.?The?results?manifest?that?the?relative?error?is?only?0.23?percent?when?NGA?and?Monte?Carlo?Method?are?used，respectively，to?calculate?the?reliability?index?of?steel?truss.?In?addition，the?introduction?of?adaptive?random?variable?can?greatly?improve?the?gene?of?initial?population?for?small?probability?failure?structures.?All?above?prove?that?NGA?is?of?significance?in?practical?projects?for?calculating?the?reliability?index?of?structure?with?complex?implicit?function?due?to?its?advantages?of?fast?computation?speed?and?high?precision.

Key?words：reliability?index;implicit?function;neural?networks;genetic?algorithms

金波等：正常使用極限狀態(tài)下隱式功能函數(shù)結(jié)構(gòu)可靠度計算

保證結(jié)構(gòu)在規(guī)定的使用期內(nèi)能夠承受設(shè)計的各種作用，滿足設(shè)計要求的各項使用功能，保證結(jié)構(gòu)的安全性、適用性與耐久性，這三個方面構(gòu)成了工程結(jié)構(gòu)可靠性的基本內(nèi)容.?結(jié)構(gòu)可靠度是結(jié)構(gòu)可以完成“預(yù)定功能”的概率量度，通常采用“極限狀態(tài)”來衡量預(yù)定功能，工程結(jié)構(gòu)中的極限狀態(tài)可分為正常使用極限狀態(tài)與承載能力極限狀態(tài).?在實際工程中存在諸多不確定性，如材料性能、外荷載、制作安裝等變異.?這些變異是隨機的，可靠度分析是建立在統(tǒng)計數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，予以可靠性一個定量的描述.

在實際工程中結(jié)構(gòu)往往為多次超靜定結(jié)構(gòu)，其變量與響應(yīng)難以用顯式關(guān)系表1達，而且功能函數(shù)具有非線性、復(fù)雜性、多峰性等特點.?因此，鋼桁架的功能函數(shù)顯化難度大，甚至無法顯化[1-4].?另外，結(jié)構(gòu)失效為小概率事件導(dǎo)致可靠度計算工作量大.?傳統(tǒng)的一次二階矩法、二次二階矩法、響應(yīng)面法、蒙特卡洛法雖然理論成熟，但都是以顯式功能函數(shù)為前提的，因此不適用于小失效概率復(fù)雜隱式功能函數(shù)結(jié)構(gòu)的可靠度計算.

文獻[5]通過引入差分法，解決了隱式功能函數(shù)不能理論求解偏導(dǎo)的問題，并計算了隱式功能函數(shù)結(jié)構(gòu)的可靠度，其計算過程較繁瑣且未考慮截面尺寸的隨機性對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響.?文獻[6]采用傳統(tǒng)的遺傳算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的方法對斜拉橋的可靠度進行計算.?但BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有學(xué)習過程冗長、容易陷入局部極值等缺點;傳統(tǒng)遺傳算法存在“早熟”，陷入局部最優(yōu)，收斂速度慢等不足.?文獻[7]提出了將均勻設(shè)計法、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和最大熵原理相結(jié)合對邊坡進行可靠性分析的四階矩計算方法.?文獻[8]采用徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、β約界法、概率網(wǎng)絡(luò)評估技術(shù)與蒙特卡洛結(jié)合的方法求解了鋼桁架的可靠度指標.?文獻[9]通過建立標準化屈曲安全余量方程，采用逐步等效線性化Johnson求交法計算了輸電塔的結(jié)構(gòu)可靠度.?文獻[10]通過隨機有限元法和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性理論，建立桁架結(jié)構(gòu)單元的安全余量的表1達式，對桁架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行可靠性分析.?文獻[11]將一次可靠度確定驗算點與響應(yīng)面法的思路相結(jié)合，并引入單邊差分法針對性地解決了隱式功能函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的問題，確定各分量函數(shù)的二次多項式近似，從而獲得近似的整體功能函數(shù)，最后采用蒙特卡洛法進行計算，計算過程較繁瑣，且對于小概率失效結(jié)構(gòu)，蒙特卡洛法求解計算量巨大.?國內(nèi)外學(xué)者在復(fù)雜隱式功能函數(shù)可靠度計算上做了大量工作，但難以有效協(xié)調(diào)計算精度、計算量及方法適應(yīng)性等方面的要求進行可靠度計算.

為提高具有復(fù)雜隱式功能函數(shù)的小概率失效結(jié)構(gòu)可靠度計算的速度與精度，通過引入自適應(yīng)隨機變量與遺傳算子的改進對自適應(yīng)遺傳算法進行優(yōu)化.?采用泛化能力更好的徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近鋼桁架的隱式功能函數(shù)，基于可靠度指標的幾何意義，運用新改進的遺傳算法搜索鋼桁架可靠度指標最優(yōu)解.?該方法能更加精確地逼近復(fù)雜隱式結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，有效解決小概率失效結(jié)構(gòu)可靠度求解中帶來的精度不足、過程復(fù)雜與計算量大等問題.

1???新改進的遺傳算法（NGA）

對于具有復(fù)雜性、非線性、非凸性、多峰性功能函數(shù)的結(jié)構(gòu)，其可靠度指標是極限狀態(tài)曲面與坐標原點多個局部極小距離中的最小距離.?為避免計算過程中產(chǎn)生局部極小值問題，提高計算結(jié)果可靠性，可采用遺傳算法這類具有全局最優(yōu)搜索能力的算法.?但傳統(tǒng)的遺傳算法容易出現(xiàn)局部“搜索能力不足”“欺騙”以及“早熟”等問題，針對以上問題對傳統(tǒng)遺傳算法進行了改進.

1.1???改進遺傳算法的編碼方式與隨機變量的產(chǎn)生

為便于對所有連續(xù)變量進行統(tǒng)一編碼，在不改變隨機變量取值范圍的前提下，將所有隨機變量的產(chǎn)生轉(zhuǎn)化到[0?1]中，傳統(tǒng)方法產(chǎn)生服從正態(tài)分布隨機變量xi，可按式（1）計算.

xi?=?ui?+?σisin（2πγ3）.????（1）

式中：γi為[0，1]上相互獨立的均勻分布隨機數(shù).

由式（1）可知，基于二進制編碼及γi在[0?1]上服從均勻分布的特點，采用二進制進行編碼.

但式（1）中含有自然對數(shù)，自然對數(shù)的值域在0附近分布密集，在[0，1]區(qū)間采用均勻分布產(chǎn)生隨機變量時，大量有效的點將會被忽略.?由圖1可知，當二進制步長為0.001時，按均勻分布產(chǎn)生的隨機變量大約分布在[-3，3]區(qū)間，但隨機變量的取值應(yīng)該為

[-∞，+∞]，同時對于小概率失效結(jié)構(gòu)，最優(yōu)解距中心點的距離較遠，故采用傳統(tǒng)產(chǎn)生隨機變量的方法，不能滿足遺傳算法初始變量的要求，甚至導(dǎo)致可靠度計算失敗.?為提高隨機變量的適應(yīng)性，根據(jù)失效概率的大小，通過引入自適應(yīng)隨機參數(shù)進行改進以改善自然對數(shù)對隨機變量的影響，從而擴大初始變量距中心點的距離，達到改善遺傳算法初始種群中不良基因的目的.

設(shè)x為已知分布特征的隨機變量，可按式（2）（3）（4）產(chǎn)生服從正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布和極值Ⅰ型分布的隨機變量.

正態(tài)分布：

xi?=?ui?+?aγ1σisin（2πγ3）.????（2）

對數(shù)正態(tài)分布：

[????????σy?=?σln?x?=?，

uy?=?ln?ux?-?σ2

ln?x?=?ln，

yi?=?uy?+?aγ1σysin（2πγ3），

xi?=?e.????????????????????????][?（3）]

極值Ⅰ型分布：

xi?=?ui?-?0.5σi?-?0.779?7aγ1σi?ln（-lnγ2）.????（4）

式中：a為變量自適應(yīng)參數(shù)，可根據(jù)失效概率進行調(diào)整.

1.2???改進遺傳算法的基本操作

通過改變傳統(tǒng)遺傳算法的交叉率、變異率及加入精英保留策略，能使種群中最大適應(yīng)度個體的交叉和變異率不為零，從而增加算法跳出局部極小值問題的可能性，自動調(diào)整適應(yīng)度，有效地保護最優(yōu)個體不受損害及加快收斂速度.?新改進遺傳算法的基本操作如下.

1）選擇.?采用輪盤賭，按照適者生存的原則，使適應(yīng)度高的個體生存，低的淘汰.

2）交叉.?采用改進的二進制單點交叉法，兩個染色體在同一位置截斷，其相應(yīng)位置交叉組合成兩個新的染色體.?在進化過程中，通過式（5）對交叉率進行自適應(yīng)調(diào)整.

Pc?=

，f?′≤?favg，

，f?′>?favg.?（5）

3）變異.?染色體復(fù)制時以很小的概率產(chǎn)生復(fù)制

差錯，形成新的染色體.?在進化過程中，通過式（6）對交叉率進行自適應(yīng)調(diào)整.

Pm?=

，f?≤?favg，

，f??>?favg.?（6）

式中：fmax表1示種群中最大適應(yīng)度值;favg表1示每代群體的平均適應(yīng)度值;f?′表1示要交叉的2個個體中較大的適應(yīng)度值;f表1示變異個體的適應(yīng)度值;Pc1、Pc2、Pc3為區(qū)間（0，1）內(nèi)表1示給定的交叉概率值，Pm1、Pm2、Pm3為區(qū)間（0，1）內(nèi)表1示給定的變異概率值，且有Pc1?>?Pc2?>?Pc3，Pm1?>?Pm2?>?Pm3.

1.3???適應(yīng)度函數(shù)

遺傳算法中，可以通過引入罰函數(shù)將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題.?功能函數(shù)為z?=?0，以搜索目標函數(shù)的最小值為目標，適應(yīng)度函數(shù)如式（7）所示.

fit（x）?=?.?????（7）

式中：c為β（x）的保守估計值;mz為懲罰項，m為懲罰因子，取值一般很大.

2???基于RBF-NGA法可靠度計算

2.1???RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合隱式功能函數(shù)

在實際工程可靠度計算中，結(jié)構(gòu)失效一般為小概率事件，且結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)具有非線性、復(fù)雜性、多峰性等特點，導(dǎo)致可靠度計算時計算量大、顯化難度大與精度難以滿足甚至無法用顯化的方程表1示.?對隱式功能函數(shù)，利用數(shù)值模擬或試驗方法得到結(jié)構(gòu)的變量與響應(yīng)，以此作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練和測試.?訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能較好地逼近結(jié)構(gòu)的功能函數(shù).

徑向基函數(shù)（Radial?Basis?Function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個三層前反饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).?徑向網(wǎng)絡(luò)能夠根據(jù)用戶設(shè)定的目標誤差，自適應(yīng)地增加網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點數(shù)量，直到滿足目標誤差要求，無需用戶指定隱含層節(jié)點數(shù).?以精確映射出結(jié)構(gòu)各個隱式功能函數(shù)為目的構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，能更加精確地逼近結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，該方法避免了對功能函數(shù)的顯化、擬合功能函數(shù)的精度不足、計算量大等問題.?采用MATLAB?13a神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中提供的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計和擬合函數(shù).?函數(shù)如下所示.

1）RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習函數(shù)newrb.?調(diào)用格式為：

net=newrb（P，T，goal，spread，MN，DF）

其中：P為輸入矩陣;T為目標輸出矩陣;spread為RBF的擴展常數(shù);goal為網(wǎng)絡(luò)的均方差;MN為網(wǎng)絡(luò)學(xué)習過程中神經(jīng)元的最大數(shù)目;DF為兩次顯示之間所增加的神經(jīng)元數(shù)目.

2）RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真函數(shù)sim.?調(diào)用格式為：

Y?=?sim（net，X）

其中：net為學(xué)習好的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);X為輸入測試矩陣;Y為預(yù)測值.

在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時，為減少神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本點數(shù)量，需采用更高質(zhì)量的訓(xùn)練數(shù)據(jù).?UD（均勻設(shè)計）[12]與正交設(shè)計相比，有更好的均勻性，且同樣試驗次數(shù)可安排更多的水平數(shù)，采用DPS[13]（數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)）的均勻試驗設(shè)計功能，通過多次迭代可生成更高質(zhì)量的均勻試驗設(shè)計變量.

為提高計算響應(yīng)的效率，采用Python多線程調(diào)用ANSYS批量計算均勻設(shè)計變量的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，其具體操作流程如圖2所示.

最后將變量和結(jié)構(gòu)響應(yīng)歸一化后作為網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出，構(gòu)建鋼桁架的功能函數(shù).

2.2???可靠度指標的幾何意義

可靠度指標β在標準獨立正態(tài)坐標系中等于原點到極限狀態(tài)曲面的最短距離，其對應(yīng)在失效面上的點即為驗算點.?設(shè)具有n個獨立正態(tài)分布變量的極限方程為g（x）?=?g（x1，x2，…，xn），將變量標準化，[x]i?=（xi?-?ui）/σi，其中ui、σi分別為變量的均值和標準差.?極限狀態(tài)方程可改寫為z?=?g（u

x1+?[x]1σ

x1，…，u

xn+

[x]n?σ

xn），故β在標準正態(tài)空間中按式（8）計算.

β（x）?=?min

，

g（[x]）?=?g（[x]1，[x]2，…，[x]n）?=?0.?（8）

對于服從一般分布的隨機變量，可進行高斯變換，將一般分布當量成正態(tài)分布.?高斯變換如[x]i?=?？-1[Fi（xi）]，其中：Fi（xi），？-1[Fi（xi）]分別為隨機變量xi的CDF和標準正態(tài)分布的CDF.

2.3???RBF-NGA方法的可靠度計算

傳統(tǒng)的蒙特卡洛法及一次二階矩法難以實現(xiàn)具有隱式功能函數(shù)鋼桁架的可靠度指標的計算[14].事實上基于可靠度的幾何意義，可采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近復(fù)雜功能函數(shù)供具有全局搜索能力的NGA調(diào)用，搜索可靠度指標.

由式（2）～（4）可知，只需對γi產(chǎn)生均勻隨機數(shù)就可得xi的取值，即可靠度指標可表1示為γi的函數(shù)，則式（1）可改寫為式（9）.

β（x）?=?min?f（γ1，γ2，…，γm），

g（[x]）?=?g（γ1，γ2，…，γm）?=?0.??????（9）

根據(jù)式（9）以RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建好的隱式功能函數(shù)為約束條件，運用自編的NGA計算可靠度指標β.?RBF-NGA的計算過程如圖3所示.

3???工程算例分析

3.1???例1：較大概率失效結(jié)構(gòu)可靠度計算

已知非線性極限狀態(tài)方程為g?=?567fr?-?0.5H2?=0，參數(shù)取值及分布見表11.?采用NGA分別計算傳統(tǒng)隨機變量方法與式（2）～（4）產(chǎn)生隨機變量方法計算可靠度指標，結(jié)果見表12.

采用3個標準節(jié)建立ANSYS計算模型.?荷載布置在每個標準節(jié)平聯(lián)桿的1、2、3、4位置，如圖5所示.

3.2.2???RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建鋼桁架功能函數(shù)

考慮到失效模式為位移失效的情況，可從位移限值的角度構(gòu)建鋼桁架的復(fù)雜隱式功能函數(shù)，以正常使用極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的最大豎向位移構(gòu)造功能函數(shù).?其功能函數(shù)如式（10）所示.

z?=?umax?-?u（x）.?????（10）

式中：?umax為正常使用極限狀態(tài)下位移限值;?u（x）為各隨機變量對應(yīng)的鋼桁架的最大豎向位移.

考慮到材料截面尺寸的制作和安裝誤差、荷載的不確定性，以鋼桁架的高度H、橫架的截面高度h1、寬度w1和腹桿截面寬度w2為不確定性變量.?各變量的設(shè)計值分別為H?=?7?500?mm，h1?=?800?mm，h2?=?w1?=?640?mm，w2?=?340?mm，外荷載F?=?550?kN.?不確定性范圍取±10σ.?先采用DPS生成U400（4005）的均勻設(shè)計樣本作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，設(shè)計變量取值范圍、分布類型及參數(shù)見表13.

再根據(jù)圖3流程，計算各個樣本值對應(yīng)鋼桁架的最大豎向位移，最后均勻設(shè)計變量與最大豎向位移分別進行歸一化處理后，采用MATLAB中的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱構(gòu)建鋼桁架的功能函數(shù).?RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)見表14，測試網(wǎng)絡(luò)精度如圖6所示.

根據(jù)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測和ANSYS計算結(jié)果，最大豎向位移神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與ANSYS計算值最大相對誤差為1.88%.?由圖6可看出，在有限組變量下，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合精度高，得到泛化能力較好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

3.2.3???鋼桁架可靠度計算

按照圖3所示流程分別按傳統(tǒng)的方法產(chǎn)生遺傳算法隨機變量（方案1）與按式（2）～（4）自適應(yīng)產(chǎn)生隨機變量（方案2）兩種方案，采用自編的NGA程序（參數(shù)見表15，兩種方案進化過程如圖7所示）搜索鋼桁架的可靠度指標及驗算點.

對于小概率失效結(jié)構(gòu)，若直接采用蒙特卡洛模擬方法，則效率和精度都較低.?若以NGA搜索的驗算點為蒙特卡洛抽樣中心，則能使樣本點有更多機會落入失效區(qū)域，增加功能函數(shù)小于0的機會，從而有效提高蒙特卡洛法的效率和精度，并以此驗證NGA的準確性和有效性.?采用蒙特卡洛法在方案2搜索的驗算點處進行重要抽樣（108次）（可認為是精確解），結(jié)果見表16.

從圖7、表16可看出，對于小概率失效結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)方法產(chǎn)生的初始種群適應(yīng)性較差，種群的平均適應(yīng)度、最佳適應(yīng)度、進化后期個體多樣性都不理想.?且搜索的最優(yōu)解與蒙特卡洛法的相對誤差為13.89%，難以實現(xiàn)小概率失效結(jié)構(gòu)可靠度的準確計算.

自適應(yīng)隨機變量方法根據(jù)結(jié)構(gòu)失效概率自適應(yīng)調(diào)整隨機變量分布，使初始種群個體更集中于適應(yīng)度大的個體.?從進化圖（圖7）中可看出，產(chǎn)生的初始種群適應(yīng)性良好、進化過程保存了個體的多樣性，優(yōu)化了小概率失效結(jié)構(gòu)可靠度的計算過程.?NGA進化到第25代左右時已收斂，且與蒙特卡洛法相對誤差僅為0.23%，進一步驗證了NGA收斂速度快、計算精度高的優(yōu)點.

4???結(jié)???論

基于本文提出的一種適用于具有復(fù)雜隱式功能函數(shù)的鋼桁架結(jié)構(gòu)可靠度計算方法，采用RBF-NGA算法計算可靠度指標，通過兩個算例，得到如下主要結(jié)論：

1）采用均勻設(shè)計變量構(gòu)建的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與ANSYS計算出的最大位移值最大相對誤差僅為1.88%，說明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法能很好地擬合復(fù)雜結(jié)構(gòu)隱式功能函數(shù).

2）在小概率失效結(jié)構(gòu)可靠度計算中引入的自適應(yīng)隨機變量較好地改善了傳統(tǒng)方法隨機變量的適用性和遺傳算法中不良基因.

3）采用NGA計算具有復(fù)雜隱式功能函數(shù)結(jié)構(gòu)

可靠度指標的結(jié)果與蒙特卡洛法（精確解）基本吻合，且第25代左右已收斂，說明NGA計算復(fù)雜功能函數(shù)可靠度具有精度高、收斂速度快等優(yōu)點.

4）通過工程算例驗證了RBF-NGA的結(jié)果精度高、可靠性高等優(yōu)點，故該算法具有一定的工程實際意義.

參考文獻

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