物理與圓的不解之緣

■楊新凱

圓是完美的象征，在物理學(xué)中圓的應(yīng)用非常廣泛，物理與圓有著不解之緣。在求解物理問(wèn)題時(shí)，結(jié)合物理規(guī)律和方法中隱含的“圓”的特征，大膽進(jìn)行聯(lián)想、變通、類比和遷移，會(huì)產(chǎn)生“四兩撥千斤”之奇效。

一、矢量圓：柳暗花明，豁然開朗

圖1

例1如圖1，柔軟輕繩ON的O端固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住輕繩的N端。初始狀態(tài)OM豎直且MN被拉直，OM與MN間的夾角為?，F(xiàn)緩慢將重物向右上方拉起，且保持夾角α不變。在OM由豎直被拉至水平的過(guò)程中，輕繩MN、OM段的張力如何變化?

分析：重物受三力平衡，其中只有重力恒定不變，且輕繩MN、OM段張力F1、F2的夾角不變，而大小與方向均發(fā)生變化，根據(jù)同一圓弧對(duì)應(yīng)圓周角不變的幾何特點(diǎn)，可將三個(gè)力平移入矢量圓中，如圖2，以mg為 固 定 弦，P點(diǎn)在圓上移動(dòng)，因此在OM由豎直被拉至水平的過(guò)程中，F(xiàn)1逐漸增大，F(xiàn)2先增大后減小。

圖2

二、等時(shí)圓：巧用推論，快速制勝

例2如圖3，在同一豎直線上有A、B、O三 點(diǎn)，其 中A、B兩點(diǎn)相距h，B點(diǎn)離地高度為H，O點(diǎn)在地面上?，F(xiàn)要在地面上找到一點(diǎn)C，使得物體由靜止沿從A、B兩點(diǎn)分別向C點(diǎn)安放的光滑木板滑動(dòng)時(shí)，滿足運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等。求O、C兩點(diǎn)間的距離。

圖3

分析：豎直平面內(nèi)有一固定圓周，小物體從圓周上的各點(diǎn)出發(fā)分別沿光滑斜面由靜止開始下滑到圓周的最低點(diǎn)，時(shí)間均相等(證明略)。該題中若A、B、C三點(diǎn)分別是豎直平面內(nèi)等時(shí)圓圓周上的三個(gè)不同位置，且C點(diǎn)是最低點(diǎn)，AC和BC分別是等時(shí)圓的兩條弦，則C點(diǎn)滿足題意。畫出過(guò)A、B兩點(diǎn)并與地面相切的圓，切點(diǎn)為C。由幾何關(guān)系得

三、等勢(shì)圓：獨(dú)辟蹊徑，峰回路轉(zhuǎn)

圖4

例3如圖4，傾角為30°的直角三角形底邊長(zhǎng)2L，斜邊為光滑絕緣導(dǎo)軌。整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，方向如圖。現(xiàn)在底邊中點(diǎn)O處固定一正點(diǎn)電荷Q，讓一質(zhì)量為m的正點(diǎn)電荷q從斜面頂端A處由靜止釋放沿斜面滑下(不脫離斜面)。現(xiàn)測(cè)得它滑到B點(diǎn)在斜邊上的垂足D點(diǎn)處的速度為v0，求該點(diǎn)電荷滑到斜面底端C點(diǎn)時(shí)的速率v。

分析：點(diǎn)電荷q在沿DC運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，洛倫茲力不做功，靜電力的大小和方向不斷變化，因?yàn)镈O=CO=BO，所以可作出以O(shè)為圓心的等勢(shì)圓，則點(diǎn)電荷q從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，靜電力不做功，僅重力做功，由動(dòng)能定理得，由幾何關(guān)系得，解得

四、動(dòng)態(tài)圓：動(dòng)態(tài)思維，舉重若輕

例4如圖5，在范圍內(nèi)有垂直于xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。某時(shí)刻在坐標(biāo)原點(diǎn)O處的一粒子源發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，它們的速率相等，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向間的夾角范圍是0～90°。已知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑在a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一，求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)速度方向與y軸正方向間的夾角的正弦值。

圖5

分析：作出從不同方向射出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)旋轉(zhuǎn)定圓，分析粒子運(yùn)動(dòng)圓軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)的變化可得，最后離開磁場(chǎng)(在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng))的粒子其軌跡圓應(yīng)與磁場(chǎng)的上邊界相切，如圖6。當(dāng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子其軌跡是圓心為C，與磁場(chǎng)的上邊界相切于D點(diǎn)的圓弧，設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則當(dāng)時(shí)，∠OCA=。設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向間的夾角為α，由幾何關(guān)系得，再結(jié)合sin2α+cos2α=1，解得。

圖6