基于G-H Copula函數(shù)的惠州市龍門縣留洞水庫洪水設(shè)計研究

劉立新

(龍門縣水利水電勘測設(shè)計室,廣東 龍門 516800)

設(shè)計洪水過程線是水庫防洪調(diào)度標準、防洪設(shè)計的基礎(chǔ)[1]。當前，研究洪水過程的主要方法為同頻倍比放大法，僅考慮其中某一特征變量作為設(shè)計洪水標準[2-3]。近年來，Copula函數(shù)以其聯(lián)合概率分布模擬優(yōu)勢在水文研究中取得良好應(yīng)用，本文用該方法對惠州市龍門縣留洞水庫洪水安全進行聯(lián)合分布設(shè)計，以期為洪水調(diào)配與工程建設(shè)提供參考依據(jù)。

1 研究方法

1.1 邊緣分布函數(shù)

邊緣分布是基于概率統(tǒng)計理論發(fā)展起來用以度量多維隨機變量中只符合特定條件下部分變量概率分布情況。概率分布如下：

P(x，y)

(1)

則其在該特定條件下的邊緣分布密度為特定條件下的概率分布：

(2)

洪水事件中洪峰、洪量是在時間尺度上具有密切關(guān)聯(lián)性，采用邊緣分布函數(shù)模擬二者之間的概率分布。

皮爾遜Ⅲ型(P-Ⅲ)頻率分布函數(shù)概率密度為：

(3)

式中α、a0、β為形狀尺度特征參數(shù)，一般應(yīng)用概率權(quán)重法進行計算，通過對樣本序列的前3階距進行估計[4-5]。

1.2 G-H Copula函數(shù)

Copula函數(shù)是數(shù)學家Sklar[8]提出來用以描述變量相依存的表達函式，后經(jīng)Nelsen.2006等人改進多元分布、零基面N維遞增理論后，被廣泛應(yīng)用于確定隨機變量之間的相依性的非參數(shù)度量方面。假設(shè)有一n維分布函數(shù)H，H函數(shù)的邊緣分布依次為F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，則有n-Copula函數(shù)C，滿足x∈R， 有:

H(x1，x2，…，xn)=C[F1(x1)，F(xiàn)2(x2)，…，F(xiàn)n(xn)]

(4)

Copula作為構(gòu)造二維分布族的起點，其優(yōu)勢在于不損失隨機變量所有的相依信息實現(xiàn)多元模型分布和隨機模擬，并且在傳統(tǒng)線性相關(guān)統(tǒng)計不明確的情況下依然不受影響。通常有Clayton Copula(式2)、Gumbel-Hougaard(G-H)Copula(式3) 、Ali-Mikhail-Haq (AMH)Copula(式4)、Frank Copula(式5)，等類型，其中G-H類型表達式如下：

(5)

參數(shù)θ的估計通常采用秩相關(guān)性指標進行推求[3-6]。

2 工程區(qū)及其洪水設(shè)計

2.1 工程區(qū)概況

留洞水庫位于龍門縣藍田瑤族鄉(xiāng)東北面，離藍田鄉(xiāng)府所在地約10 km。壩址位于藍田河支流矮陂河中游的留洞(地名)處，屬增江水系。工程始建于20世紀90年代末，屬小(1)型水庫。水庫庫區(qū)集雨面積為10.99 km2，河長為6.6 km，河床比降為0.066。水庫設(shè)計洪水位為379.02 m，相應(yīng)庫容為380.5萬m3，校核洪水位為379.59 m，總庫容為401.6萬m3。正常水位為377.0 m，正常庫容為310萬m3，死水位為353.00 m，死庫容為0.3萬m3。庫區(qū)主要功能為防洪、灌溉、養(yǎng)殖和生態(tài)觀光。該區(qū)雨熱同季、降水集中，6—9月降水量可占全年的65%以上，是洪澇災(zāi)害易發(fā)期。

2.2 邊緣分布函數(shù)參數(shù)估計與洪水設(shè)計

庫區(qū)為典型的季風性氣候，降水歷史短、集中性強，采用我國水文界標定的P-III分布函數(shù)進行多元分布模擬與概率計算。先通過最大似然法對正態(tài)分布函數(shù)參數(shù)進行求解，得到水庫洪峰歷時統(tǒng)計特征值(見圖1)，洪水峰量集中于6～15 t時段內(nèi)。結(jié)合歷史經(jīng)驗值，采用Q均值為752 m3/s，Cv為62.16%，Cs為1.072，頻率累積值雙尾漸漸顯著性檢驗sig分別為0.523、0.421，表明其符合正態(tài)分布，可進行洪水歷時估計，得到特征量μ=1.186，σ=0.203。

以該地區(qū)歷年洪水資料為基礎(chǔ)，采用Copula函數(shù)推求水庫洪峰流量理論頻率值。擬合的理論頻率值如圖1所示， 經(jīng)驗值與理論值相關(guān)系數(shù)為0.995 2，說明模擬效果良好。計算得到3 d的kendall秩相關(guān)系數(shù)τ、Hougaard Copula函數(shù)θ分別為0.235 1、0.182 4，而6 d的則為0.198 5、0.1618。誤差統(tǒng)計結(jié)果表明，各項參數(shù)設(shè)計值與復核值之間誤差介于0.5%～3%之間，說明設(shè)計洪水參數(shù)相對安全。

圖1 水庫洪水歷時累積曲線與理論經(jīng)驗頻率示意

2.3 洪峰洪量聯(lián)合分布

先基于最大似然法進行參數(shù)估計，利用G-H Copula函數(shù)得到洪峰洪量之間的二維相依結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)，分別為1.3215、1.053、1.107 2。選取特征年作為主變量，結(jié)合聯(lián)合分布公式進行模擬二維相依分布結(jié)構(gòu)(見圖2)?？芍榉?、洪量之間存在密切相依存關(guān)系，洪水分布概率較小，采用該標準進行校核洪水設(shè)計有利于確保防洪安全。

2.4 洪水調(diào)度設(shè)計

調(diào)洪設(shè)計以某年特征洪水事件為典型洪、水過程，由臺風氣旋與高壓冷氣團相遇后長時靜止、滯留引起的強對流造成。本文給出了基于單變量同倍比放大與雙變量聯(lián)合分布設(shè)計洪水(見圖3)。該水庫設(shè)計洪水主要特征為峰型，存在多個微小褶皺波動，洪峰流量峰值在12 h左右，歷史較短。其中單變量設(shè)計值洪水過程性略低于雙變量，雙變量聯(lián)合設(shè)計考慮的是峰量組合特征，更能體現(xiàn)徑流匯聚的滯后性，其設(shè)計值略高。雙變量設(shè)計考慮了峰量相關(guān)性情況下的洪水過程，更能達到防洪安全水平。

圖2 水庫洪水峰量聯(lián)合重現(xiàn)及其概率密度示意

圖3 水庫洪水過程設(shè)計示意

3 結(jié)語

通過對惠州市龍門縣留洞水庫運用G-H類型Copula函數(shù)從洪峰、洪量二維特征出發(fā)進行聯(lián)合設(shè)計。結(jié)果表明二維聯(lián)合設(shè)計方案安全可行，有利于最大程度上防御汛限洪水。G-H Copula函數(shù)考慮了洪水事件過程峰量聯(lián)合分布特征，是基于洪水過程與形態(tài)的設(shè)計方案，可為庫區(qū)洪水調(diào)度提供參考。