位移圖法計(jì)算桁架節(jié)點(diǎn)位移精度的討論

吳 曉

(湖南文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 常德 415000)

1 引 言

材料力學(xué)教材[1，2]在講授拉伸、壓縮章節(jié)時(shí)，都采用法國(guó)工程師J.V.維利奧特[1]于1877年提出的位移圖法求解簡(jiǎn)單平面桁架節(jié)點(diǎn)在外載荷作用下的位移。位移圖法是一種求解簡(jiǎn)單平面桁架節(jié)點(diǎn)在外載荷作用下位移的近似方法，由于直觀、簡(jiǎn)潔，更有利于學(xué)生在開(kāi)始接觸材料力學(xué)教學(xué)內(nèi)容時(shí)對(duì)求解平面桁架節(jié)點(diǎn)在外載荷作用下位移的學(xué)習(xí)和掌握。如果不采用位移圖法求解簡(jiǎn)單平面桁架節(jié)點(diǎn)在外載荷作用下的位移，能否用解析法求出平面桁架節(jié)點(diǎn)在外載荷作用下的位移，位移圖法給出的位移計(jì)算結(jié)果與解析法給出的位移計(jì)算結(jié)果誤差有多大，這都是值得研究的教學(xué)問(wèn)題。因此，本文討論了用位移圖法求解平面桁架節(jié)點(diǎn)位移的計(jì)算精度問(wèn)題。

2 靜定桁架節(jié)點(diǎn)位移的求解

以圖1所示三角桁架為例[2]，假設(shè)各材料及橫截面積均相同，AB=lACsinβ，BC=lACcosβ，研究三角桁架受力變形時(shí)A點(diǎn)位移AD。假設(shè)圖1所示三角桁架的桿件受力皆為拉力，A點(diǎn)受力變形后移動(dòng)到D點(diǎn)，其受力圖可見(jiàn)圖2。

圖1 集中力作用下平面三角桁架

圖2 節(jié)點(diǎn)D的受力圖

由圖2可列出節(jié)點(diǎn)D處的平衡方程為：

NBDcosθ1+NCDcos(90°-β-θ2)=0
NBDsinθ1=NCDsin(90°-β-θ2)+P

(1)

由式(1)可以求得：

(2)

由圖1，利用三角函數(shù)正弦定理可得：

(3)

三角桁架變形后BD的長(zhǎng)度為：

(4)

三角桁架變形后CD的長(zhǎng)度為：

(5)

利用式(3)-式(5)可得：

(6)

利用式(6)，可以求出θ1、θ2。再由余弦定理，可得三角桁架在集中載荷P作用下節(jié)點(diǎn)A變形后的位移AD為：

(7)

3 靜不定桁架節(jié)點(diǎn)位移求解

圖3 靜不定桁架

圖4 節(jié)點(diǎn)A′的受力圖

設(shè)∠ABA′=θ1，∠ACA′=θ2，∠ADA′=θ3，由圖4可列出節(jié)點(diǎn)A′處的平衡方程為：

N1cos(90°-α-θ1)+N2cos(90°-θ2)

=N3cos(90°-β+θ3)

N1sin(90°-α-θ1)+N2sin(90°-θ2)+

N3sin(90°-β+θ3)=P

(8)

由圖3利用三角函數(shù)正弦定理可得：

(9)

由式(9)可以得到：

(10)

又因各桿件在外力作用下的伸長(zhǎng)為：

(11)

利用式(8)-式(11)可以求得：

(12)

再由余弦定理，可得靜不定桁架在集中載荷P作用下節(jié)點(diǎn)A變形后的位移AA′為：

(13)

由式(12)求出θ1、θ2、θ3后，代入式(13)中，即可得到節(jié)點(diǎn)A變形后的位移AA′。

下面采用位移圖法計(jì)算圖3所示靜不定桁架節(jié)點(diǎn)A的位移。文獻(xiàn)[3]認(rèn)為，桁架節(jié)點(diǎn)A的位移是沿著桿CA方向被拉伸，也就是默認(rèn)桿CA的伸長(zhǎng)即為桁架節(jié)點(diǎn)A的位移。同時(shí)，還認(rèn)為桿BA、桿DA均沿各自桿長(zhǎng)方向被拉伸，因此可知桿BA、桿CA、桿DA的拉伸長(zhǎng)度關(guān)系為：

ΔlBA=ΔlCAcosα，ΔlDA=ΔlCAcosβ

(14)

由式(14)，可得到圖3所示靜不定桁架的變形協(xié)調(diào)條件：

ΔlCAsin(α+β)=ΔlBAsinβ+ΔlDAsinα

(15)

式(15)與文獻(xiàn)[3]給出的變形協(xié)調(diào)條件是一致的。再利用圖3所示靜不定桁架節(jié)點(diǎn)A的靜力平衡方程并結(jié)合式(15)，即可得到節(jié)點(diǎn)A變形后的位移為：

(16)

4 計(jì)算分析及討論

下面通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單算例討論分析位移圖法的計(jì)算精度。

算例1：

以文獻(xiàn)[2]三角桁架為例計(jì)算節(jié)點(diǎn)D的位移。三角桁架相關(guān)參數(shù)為：sinβ=0.6，E=200GPa，P=60kN，AAB=3.14×10-4m2，AAC=1.02×10-3m2，AB=1.2m，AC=2m。把有關(guān)參數(shù)代入式(7)，可求得θ1=0.0746°，θ2=0.0466°，節(jié)點(diǎn)D的位移為AD=1.785mm。而文獻(xiàn)[2]采用位移圖法求得節(jié)點(diǎn)D的位移為AD=1.78mm。

由以上計(jì)算可知，式(7)計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[2]計(jì)算結(jié)果的誤差僅為0.28%，這說(shuō)明在三角桁架滿足強(qiáng)度條件的前提下，此算例采用位移圖法計(jì)算三角桁架節(jié)點(diǎn)的位移，所得計(jì)算結(jié)果是足夠精確的，完全可以滿足實(shí)際工程的要求。

算例2：

以文獻(xiàn)[3]桁架為例計(jì)算節(jié)點(diǎn)A的位移，桁架相關(guān)參數(shù)為：E=200GPa，A=3.14×10-4m2，P=60kN，lAC=1.2m，α=45°，β=30°。把有關(guān)參數(shù)代入式(12)中，可以求得θ1=-0.0174°，θ2=-0.0046°，θ3=0.0096°，這說(shuō)明桁架節(jié)點(diǎn)A在外力P作用下變形后的位置，在桁架節(jié)點(diǎn)A變形前的左邊。把相關(guān)參數(shù)代入式(13)中，可求得節(jié)點(diǎn)A變形后的位移AA′=0.6385mm；把有關(guān)參數(shù)代入式(16)中，可得采用位移圖法求得節(jié)點(diǎn)A的位移為AA′=0.5726mm。解析法計(jì)算的節(jié)點(diǎn)A位移是斜直線，位移圖法計(jì)算的節(jié)點(diǎn)A位移是沿CA方向伸長(zhǎng)的直線，因此解析法計(jì)算結(jié)果大于位移圖法計(jì)算結(jié)果，而解析法給出的節(jié)點(diǎn)A的位移卻是圖3所示桁架的真實(shí)位移。

由算例2可知，式(13)計(jì)算結(jié)果與式(16)計(jì)算結(jié)果的誤差為11.51%， 這個(gè)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了實(shí)際工程所允許的誤差5%。造成誤差的原因是文獻(xiàn)[3]對(duì)圖3所示桁架節(jié)點(diǎn)A位移的方向做出了不合理的假設(shè)。因?yàn)?，只有?dāng)α=β時(shí)，圖3所示靜不定桁架節(jié)點(diǎn)A位移才是沿CA方向伸長(zhǎng)的；當(dāng)α≠β時(shí)，圖3所示靜不定桁架節(jié)點(diǎn)A位移是在桁架節(jié)點(diǎn)A變形前的左邊或右邊的斜直線。所以，采用位移圖法計(jì)算桁架的節(jié)點(diǎn)位移時(shí)，應(yīng)根據(jù)桁架的受力實(shí)際情況對(duì)節(jié)點(diǎn)位移方向做出合理的假設(shè)，這樣才能控制位移圖法的計(jì)算精度不超過(guò)實(shí)際工程所允許的誤差5%。

5 結(jié) 論

由以上算例可以看出，解析法的計(jì)算結(jié)果均大于位移圖法的計(jì)算結(jié)果，其主要原因是用位移圖法計(jì)算桁架節(jié)點(diǎn)位移時(shí)，只能對(duì)桁架節(jié)點(diǎn)位移的方向做出近似假設(shè)。

以上分析可以在教學(xué)中做簡(jiǎn)要分析介紹，讓學(xué)生了解采用位移圖法求解桁架節(jié)點(diǎn)位移雖然直觀、簡(jiǎn)潔，但是采用位移圖法求桁架節(jié)點(diǎn)位移有時(shí)也存在計(jì)算精度會(huì)超過(guò)實(shí)際工程所允許誤差5%的不足之處。