劉煥文：撩開緩坡方程的神秘面紗

本刊記者　李明麗

劉煥文：撩開緩坡方程的神秘面紗

本刊記者李明麗

專家簡(jiǎn)介：

劉煥文，湖南瀏陽人。廣西民族大學(xué)二級(jí)教授。1982年大專畢業(yè)于湘潭師專（現(xiàn)湖南科技大學(xué)）；1988年碩士畢業(yè)于湘潭大學(xué)；2000年博士畢業(yè)于澳大利亞臥龍崗大學(xué)；2002～2004年于新加坡國(guó)立大學(xué)從事博士后研究。1988年起一直在廣西民族大學(xué)任教。2002年入選廣西十百千人才第二層次人選；2004年獲評(píng)教育部“全國(guó)優(yōu)秀教師”。2005年獲“廣西壯族自治區(qū)先進(jìn)工作者”稱號(hào)。2006年獲中華全國(guó)總工會(huì)“全國(guó)五一勞動(dòng)獎(jiǎng)?wù)隆?，中央統(tǒng)戰(zhàn)部“各民主黨派、工商聯(lián)、無黨派人士全面建設(shè)小康社會(huì)作貢獻(xiàn)先進(jìn)個(gè)人”，“廣西留學(xué)回國(guó)人員先進(jìn)個(gè)人”稱號(hào)。2010年獲廣西自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。2013年被評(píng)為“廣西壯族自治區(qū)優(yōu)秀專家”。

“緩坡方程”，這個(gè)聽起來生僻怪異的數(shù)學(xué)術(shù)語，在日常生活中，甚至一般學(xué)術(shù)研究中不甚多見，但卻是廣西民族大學(xué)劉煥文教授的精專之學(xué)，也是國(guó)際上研究海洋表面波的“敲門磚”之一。我們?cè)囍趯W(xué)術(shù)谷歌中用緩坡方程的英文名“mild slope equation”搜索，一下跳出28萬個(gè)相關(guān)條目，其中絕大多數(shù)與緩坡方程有關(guān)。該方程在水波理論中的重要性和熱門程度可見一斑。

正是由于十幾年的執(zhí)著，劉煥文解決了水波界40多年來的公開難題，而這個(gè)突破，迎來了水波在變水深海洋上傳播相關(guān)問題研究的“柳暗花明”。

磨劍十年 刺破水波理論中的“不可能”

緩坡方程的雛形，最早可追溯到美國(guó)加州大學(xué)學(xué)者Eckart于1951年采用水深平均法所建立的波浪運(yùn)動(dòng)的偏微分方程。1972年，當(dāng)時(shí)還是荷蘭德爾夫特理工大學(xué)博士生的Berkhoff，同樣采用水深平均思想，獨(dú)立建立了系數(shù)不同的另一個(gè)水波方程，這就是日后廣受歡迎的經(jīng)典緩坡方程。之所以稱為緩坡方程，是因?yàn)樵摲匠痰膶?dǎo)出是基于海底地形坡度較緩的假設(shè)。國(guó)際水波界學(xué)者們很快驚喜地發(fā)現(xiàn)，這一方程簡(jiǎn)單而美妙。說它簡(jiǎn)單，是因?yàn)槿サ袅算U直方向的自變量，方程的空間維數(shù)比原來拉普拉斯方程的降低一維，而由于這個(gè)降維簡(jiǎn)化，使得采用該方程對(duì)海洋波在大范圍海區(qū)的運(yùn)動(dòng)傳播進(jìn)行數(shù)值模擬成為可能；說它美妙，是因?yàn)樵摲匠滩坏擅枋霾ɡ苏凵渑c衍射雙重效應(yīng)，還包含一系列經(jīng)典方程如長(zhǎng)波方程、亥姆霍茲方程和光程方程等作為特例，且適用范圍涵蓋了從長(zhǎng)波到中波再到短波整個(gè)波譜。由于這諸多優(yōu)點(diǎn)，緩坡方程在水波理論中的地位極其重要，以致水波專著幾乎都會(huì)設(shè)置獨(dú)立一章對(duì)該方程進(jìn)行專門介紹。

但是，降維過程中消去鉛直方向自變量也付出了代價(jià)，那就是要求波數(shù)這個(gè)物理量必須額外滿足著名的波色散關(guān)系，但色散關(guān)系所呈現(xiàn)的是波數(shù)為水深變量的隱函數(shù)，由此導(dǎo)致緩坡方程的系數(shù)也為空間自變量的隱函數(shù)。在大學(xué)階段學(xué)過常微分方程的讀者都知道，只有少部分簡(jiǎn)單特殊的常微分方程能夠準(zhǔn)確求解，歷史上一些數(shù)學(xué)家正是因?yàn)榍蠼饬四愁悜?yīng)用廣泛的常微分方程而名留青史，如歐拉方程、貝塞爾方程和勒讓德方程等等。但前人所有關(guān)于常微分方程的研究，都僅僅局限于系數(shù)為顯函數(shù)的情形，系數(shù)為自變量的隱函數(shù)的常微分方程似乎從未有人涉獵過。正因?yàn)槿绱?，?jīng)典緩坡方程建立后四十年間，盡管原方程本身都已被很多學(xué)者改進(jìn)，形成了緩坡類方程家族，且數(shù)值解不計(jì)其數(shù)，但相應(yīng)的解析解卻始終無法給出。而少了解析解，對(duì)波浪傳播的機(jī)理分析就無法全面地把握。

“緩坡方程求解很困難”“模型方程解析解沒有”“求解析解幾乎不可能”……美國(guó)國(guó)家工程科學(xué)院院士、麻省理工學(xué)院教授Mei，美國(guó)國(guó)家工程科學(xué)院院士、佛羅里達(dá)大學(xué)教授Dean，美國(guó)國(guó)家工程科學(xué)院院士、約翰霍普金斯大學(xué)教授Dalrymple，以及澳大利亞華裔學(xué)者、臥龍崗大學(xué)資深教授Zhu分別在他們各自所著的名著和論文中寫下如此的慨嘆。2010年，臺(tái)灣學(xué)者Hsiao在國(guó)際雜志《Journal of Marine Science and Technology》上寫道：“雖然緩坡方程只是線性偏微分方程，但解析求解很困難?！奔词沟搅?011年，臺(tái)灣學(xué)者Cheng仍在國(guó)際權(quán)威雜志《Ocean Engineering》38卷1918頁斷定：“要想解緩坡方程，數(shù)值解只能是唯一選擇?！?/p>

就在幾十年來國(guó)際水波界一致認(rèn)為緩坡方程解析解是個(gè)啃不下的硬骨頭時(shí)，劉煥文卻偏偏想試一試。他最初接觸到該問題是在1997年，當(dāng)時(shí)他正師從澳大利亞臥龍崗大學(xué)諸頌平教授攻讀博士學(xué)位。在他的博士論文中希望用到緩坡方程的準(zhǔn)確解析解來驗(yàn)證他所得到的邊界元數(shù)值解。當(dāng)查閱資料和詢問導(dǎo)師后得知緩坡方程至今無人能解時(shí)，他感到很好奇，產(chǎn)生了濃厚興趣。自此這個(gè)難題在他心中扎下了根，每每讀到一篇與波色散關(guān)系或緩坡方程有關(guān)的論文，他就會(huì)靜下來仔細(xì)想想，看是否對(duì)解決難題有借鑒作用。博士畢業(yè)回國(guó)后，2002年去新加坡國(guó)立大學(xué)從事博士后研究，期間讀到英國(guó)雷丁大學(xué)學(xué)者Hunt于1979年所寫的有關(guān)波色散方程直接解的論文，他馬上意識(shí)到可能有助于緩坡方程的解析求解。果然，利用這個(gè)直接解，他和該校華裔學(xué)者林鵬智教授和印度裔學(xué)者Shankar教授合作，成功給出了緩坡方程的逼近解析解，于2004年發(fā)表在近海工程專業(yè)國(guó)際頂級(jí)雜志《Coastal Engineering》51卷421-437頁。該文創(chuàng)立的逼近解析技術(shù)隨后在國(guó)際水波界引發(fā)系列后繼性工作，臺(tái)灣國(guó)立成功大學(xué)在2004～2007年將該逼近解析技術(shù)作為博士論文課題予以專門研究。

初戰(zhàn)告捷，但劉煥文并不滿意，因?yàn)樗麄兯鶚?gòu)造的還只是緩坡方程的逼近解析解而非準(zhǔn)確解析解。為徹底破解這一難題，劉煥文繼續(xù)深度思考。2011年，他與已經(jīng)回國(guó)在四川大學(xué)任長(zhǎng)江學(xué)者特聘教授的林鵬智再度合作，指導(dǎo)廣西民族大學(xué)碩士生楊靜，利用微積分學(xué)中的隱函數(shù)定理，分別導(dǎo)出了求波數(shù)、相速度和組速度三個(gè)物理隱參數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)的遞推式，據(jù)此第一次給出了求修正緩坡方程級(jí)數(shù)解的通用方法，破解了四十年來國(guó)際同行認(rèn)為不可能解決的難題。該項(xiàng)成果于2012年發(fā)表在應(yīng)用物理領(lǐng)域國(guó)際權(quán)威雜志《Wave Motion》49卷455-460頁。

至此，劉煥文對(duì)緩坡方程解析解的關(guān)注和研究已經(jīng)持續(xù)了近15年，他的成功，再一次證明了在攀登科學(xué)的道路上沒有一蹴而就，需要的是“十年寒窗”、“十年磨劍”和“甘坐冷板凳”的鍥而不舍。

別出心裁 撩開緩坡方程神秘面紗

成功破解難題后一段時(shí)間，劉煥文對(duì)這個(gè)本是相當(dāng)巧妙的方法又不滿意了，為何？因?yàn)榧?jí)數(shù)解析解雖然構(gòu)造出來了，但其中對(duì)波數(shù)、相速度和組速度三個(gè)隱參數(shù)遞推求導(dǎo)數(shù)的過程卻十分冗長(zhǎng)繁瑣；另外，要界定無窮級(jí)數(shù)解的收斂范圍，就必須搞清楚方程的奇異點(diǎn)分布，最終還是要分析緩坡方程隱系數(shù)的零點(diǎn)分布，這一點(diǎn)仍非常棘手和艱難。他由此認(rèn)識(shí)到，方程的隱函數(shù)系數(shù)不除，無窮級(jí)數(shù)解的收斂范圍就無法得到簡(jiǎn)單清晰的界定。但是，如何才能徹底摒棄方程的隱系數(shù)呢？

為此，劉煥文苦思良策。2012年的某天，他突然想起，在很多經(jīng)典文獻(xiàn)以及他自己進(jìn)行的研究中，在分析波浪沖高或波浪放大因子時(shí)，經(jīng)常會(huì)用一類圖形進(jìn)行演示，該類圖形的橫軸為波譜變量kh（其中h為水深，k為波數(shù)），縱軸則是波浪自由液面高程。他想，既然這類圖形能夠?qū)崒?shí)在在地繪制出來，說明自由液面高程應(yīng)該是波譜變量kh的顯式函數(shù)。他馬上聯(lián)想到緩坡類方程中的未知函數(shù)也是波浪自由液面高程，那如果把方程中的空間自變量替換為波譜變量，隱式方程是不是就會(huì)變成顯式方程呢？帶著這個(gè)想法，他立即推導(dǎo)起來。幾天的反復(fù)嘗試和一遍又一遍的演算，最終證明了這個(gè)想法并非異想天開。通過引入具有物理意義的波譜變量作為方程的自變量，隱式修正緩坡方程在很多情形下被成功轉(zhuǎn)化為顯式方程，覆蓋在緩坡方程上面的神秘面紗被徹底撩開，第一次露出了真容！他也因此建立了一個(gè)解析求解緩坡類方程簡(jiǎn)單而優(yōu)美的通用方法。該項(xiàng)原創(chuàng)成果于2014年發(fā)表在國(guó)際權(quán)威雜志《Journal of Engineering Mathematics》第87卷29-45頁。基于這個(gè)顯式修正緩坡方程，劉煥文繼續(xù)指導(dǎo)幾位碩士生謝健健、周小妹、王秋月、廖波、翟西媛，給出了多個(gè)不同地形下波浪傳播的級(jí)數(shù)解析解，分別在本領(lǐng)域國(guó)際主流雜志《Wave Motion》， 《Ocean Engineering》，《Journal of Waterway Port Coastal and Ocean Engineering》和《Applied Ocean Research》上發(fā)表。

毋容置疑，劉煥文對(duì)緩坡類方程解析解的研究在國(guó)際上已遙遙領(lǐng)先，系列論文的相繼發(fā)表，表明他的合作研究成果得到了國(guó)際同行的廣泛肯定。

重視細(xì)節(jié) 創(chuàng)造“劉-林解”和“劉-林模型”

其實(shí)，獲得國(guó)際同行認(rèn)可，對(duì)劉煥文而言，早已不是第一次。2003年，佛羅里達(dá)大學(xué)教授Dean和他的博士生Bender在《Coastal Engineering》第50卷發(fā)表了長(zhǎng)波越過梯形陷坑時(shí)求解長(zhǎng)波方程的“斜坡法”。劉煥文仔細(xì)研讀他們的論文后，覺得作者的工作并不徹底，在最后求解8階線性方程組時(shí)，可能是沒有想到或者是太困難，他們沒有給出解的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)式，直接就交給數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行黑箱式的數(shù)值處理，這也因此使得他們的解由精致的解析解淪落為數(shù)值解，無法確立波浪反射系數(shù)對(duì)梯形陷坑參數(shù)的明確函數(shù)關(guān)系。劉煥文想，能否將8階線性方程組直接解出來呢？為此，他和林鵬智教授一起，花了一個(gè)禮拜，硬是用手算的方法，將8階行列式按行逐步展開，推導(dǎo)出長(zhǎng)波越過梯形陷坑時(shí)的閉合形式解析解。該結(jié)果于2005年以商榷形式發(fā)表在《Coastal Engineering》52卷197-200頁，囊括了以往多位國(guó)外學(xué)者的相關(guān)經(jīng)典結(jié)果為特例。兩位原作者Bender和Dean在《Coastal Engineering》2005年52卷上撰文給予正面回應(yīng)：“劉和林的解析解具有如下價(jià)值：提供了驗(yàn)證數(shù)值解基礎(chǔ)，能夠演示寬廣波場(chǎng)解，討論了直線斜坡組成的廣泛地形，建立了適當(dāng)?shù)臒o量綱變量”。而美國(guó)陸軍工程兵團(tuán)專家Michalsen，俄勒岡州立大學(xué)Haller和韓國(guó)首爾國(guó)立大學(xué)教授Suh在《Journal of Waterway Port Coastal and Ocean Engineering》2008年134卷1-11頁發(fā)表的合作論文中將該結(jié)果以劉煥文和林鵬智的姓命名為劉-林解（LL solution）和劉-林模型（LL model），并在同一篇論文中引用達(dá)12次之多。

劉煥文對(duì)記者說，從中學(xué)大學(xué)再到碩士博士，學(xué)過的數(shù)學(xué)定理和物理定律不計(jì)其數(shù)，但命名幾乎都被外國(guó)人名所壟斷，因此當(dāng)知悉研究成果被以自己和林鵬智教授的姓命名，而且還是國(guó)外同行給命的名時(shí)，他感到特別高興，慶幸自己沒有輕易放過別人忽略的細(xì)節(jié)。

勇于質(zhì)疑　顛覆傳統(tǒng)結(jié)論

2011年，他指導(dǎo)碩士生謝健健同樣以商榷的形式在《Coastal Engineering》58卷948-952頁發(fā)表論文，文中通過技巧性引入變量替換，改進(jìn)了清華大學(xué)同行構(gòu)造的長(zhǎng)波越過水下淺灘散射現(xiàn)象的無窮級(jí)數(shù)解的收斂局限性，使得新級(jí)數(shù)解對(duì)任何水深情形在整個(gè)變水深區(qū)域都能夠百分之百保證收斂。

2013年，他指導(dǎo)碩士生傅丹娟和孫小玲構(gòu)造了波浪越過帶沖刷槽矩形防波堤時(shí)修正緩坡方程的解析解，論文發(fā)表在美國(guó)土木工程師協(xié)會(huì)《Journal of Engineering Mechanics》139卷第1期39-58頁。結(jié)果表明，麻省理工學(xué)院教授Mei在其英文名著《The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves》中有關(guān)長(zhǎng)波被矩形潛堤反射的反射系數(shù)是波譜變量的周期函數(shù)的經(jīng)典結(jié)論其實(shí)是不正確的，因?yàn)閯ㄎ牡葟臄?shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了該反射系數(shù)在全波譜范圍僅為波譜變量具有衰減性的周期振蕩函數(shù)，而非永不衰減的周期函數(shù)，這正好與水波的物理特性相吻合。劉煥文解釋說，Mei教授基于長(zhǎng)波理論所給出的解其推導(dǎo)無懈可擊，但由于對(duì)線性波色散關(guān)系采用了長(zhǎng)波近似，導(dǎo)致最后得出的結(jié)論在大范圍看是不對(duì)的，而且是衰減與否的定性錯(cuò)誤。他舉例說，若局限于地球上一個(gè)小地方近似地看，地球給人以錯(cuò)覺，好像真是平的，尤其當(dāng)我們身處廣袤無垠的華北平原，但當(dāng)我們跳出地球在更大范圍的太空回望，才仿然大悟它是圓的。

學(xué)數(shù)學(xué)出身的劉煥文就是這樣，對(duì)遇到的問題總喜歡問個(gè)為什么，對(duì)任何結(jié)論都喜歡去質(zhì)疑。

耕耘不止 追求真理無止境

“登泰山而小天下”。劉煥文解決了緩坡方程解析解后發(fā)現(xiàn)，近海工程中不少問題，如變水深港口的減振分析、布拉格潛堤的優(yōu)化設(shè)計(jì)、周期性變水深海床對(duì)波浪散射的能帶結(jié)構(gòu)分析以及變水深容器中的液體晃蕩等問題，其實(shí)都可采用緩坡類方程模擬。但幾十年來，受制于緩坡類方程復(fù)雜的隱函數(shù)形式和解析解的無法給出，相關(guān)的理論分析不完善，對(duì)數(shù)值解的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)也不精確。因此，顯式緩坡類方程的建立，使得有關(guān)這些問題的研究迎來了“柳暗花明”。最近劉煥文指導(dǎo)碩士生羅恒、曾惠丹和石云萍成功給出了幾類布拉格潛堤各項(xiàng)參數(shù)間的優(yōu)化曲線，成果分別在《Journal of Waterway Port Coastal and Ocean Engineering》和《Journal of Hydrodynamics》上發(fā)表。工程師們只需根據(jù)擬建防波堤海域來波的主頻和擬建防波堤的個(gè)數(shù)和高度，通過查閱劉煥文他們建立的優(yōu)化曲線，馬上就能知道怎樣設(shè)置各種形狀潛堤的最優(yōu)寬度。

雖然破解了國(guó)際水波界的難題，但對(duì)學(xué)術(shù)真理的追求永無止境。劉煥文仍在探索，仍在努力。他永遠(yuǎn)在路上?？?/p>