例談高職數(shù)學(xué)中不定積分的應(yīng)用

杜珍珍，周 同

（銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

0.引言

高等數(shù)學(xué)是高職院校各專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，而不定積分是高職高等數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一，它是微積分學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，起著承上啟下的作用，對后續(xù)定積分的學(xué)習(xí)非常重要。我們常常需要解決一個(gè)重要的問題是，如何在只知道一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的情況下，將這個(gè)函數(shù)“復(fù)原”出來。這就需要用到微分的逆運(yùn)算——不定積分。下面將通過實(shí)例介紹不定積分在數(shù)學(xué)其他分支和實(shí)際生活中的應(yīng)用，為起點(diǎn)低、基礎(chǔ)薄弱的高職學(xué)生提供一定的借鑒作用。

1.不定積分在解微分方程中的應(yīng)用

微分方程是人們解決各類實(shí)際問題的有效工具之一。它在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)、自動(dòng)控制、生命科學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。下面通過一些例子來說明不定積分在解常微分方程中的應(yīng)用。

例1：求微分方程y'=4xy的通解。

這是可分離變量的微分方程，且y(0)=100,y(24)=900。

例2：細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比，如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24小時(shí)內(nèi)由100增長為900，那么前12小時(shí)后細(xì)菌總數(shù)是多少？

解：用y(t)表示細(xì)菌總數(shù)，則由導(dǎo)數(shù)的定義及題意可得

2.不定積分在幾何中的應(yīng)用

在微分學(xué)中，已知一條曲線方程f(x)，利用導(dǎo)數(shù)便能求出這條曲線上任意一點(diǎn)切線的斜率。但如果已知曲線在任一點(diǎn)切線的斜率，如何求出這條曲線方程呢？這類曲線方程的求解問題就可以用不定積分知識來解決。

例 3：已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)（1，3），且曲線上任一點(diǎn)的切線的斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的4倍，求這條曲線的方程。

解：設(shè)該曲線的方程為y=f(x)

由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：f＇(x)=4x

兩邊取不定積分，得：∫f＇(x)dx=∫4xdx

積分后，得：f(x)=2x2+C

又因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)(1，3)，代入上式，故3=2×12+C 得 C=1

于是所求曲線的方程為：f(x)=2x2+1。

3.不定積分在物理中的應(yīng)用

在物理學(xué)中，善于應(yīng)用積分知識解決問題是非常重要的，如經(jīng)常會遇到已知物體運(yùn)動(dòng)的速度求位移，已知物體運(yùn)動(dòng)的加速度求速度等問題。此類問題可以使用不定積分知識來解決。

例4：一輛小汽車以速度為30km/h正常行駛，當(dāng)距離交通路口10m處突然發(fā)現(xiàn)黃燈亮起，司機(jī)立刻剎車制動(dòng)，如果制動(dòng)后的速度ν=7.5－2.5t（單位：(m/s），問制動(dòng)距離是多少？

解：令速度為零，先計(jì)算出制動(dòng)所用時(shí)間，即當(dāng)7.5－2.5t=0，得 t=3s。

設(shè)汽車制動(dòng)后路程函數(shù)為 s=s(t)，由 s＇(t)=ν(t)，

兩邊求不定積分，得：

s(t)=∫ν(t)dt=∫(7.5－2.5t)dt=7.5t－1.25t2+C

根據(jù)題意，當(dāng)t=0時(shí)，s=0，代入上式得C=0

于是得到的制動(dòng)路程函數(shù)為s=s(t)=7.5t－1.25t2將t=3代入上式計(jì)算出制動(dòng)距離為s=7.5×3－1.25×32=11.25(m)。

兩邊取不定積分，得：

i(t)=∫(6t－0.09t2)dt=3t2－0.03t3＋C

將t=0時(shí)，i=3A代入上式得C=3

故電流 i關(guān)于時(shí)間 t的函數(shù)為 i（t）=3t2－0.03t3＋3。

諸如此類的問題還有很多，如質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的速度、液體流速、太陽能的能量、天然氣的產(chǎn)量、石油的消耗量等等，都可以用不定積分的知識加以解決。

4.不定積分在工程中的應(yīng)用

在工程技術(shù)日益發(fā)達(dá)的今天，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為研究工程問題的一個(gè)重要工具。而高等數(shù)學(xué)中的積分知識在工程技術(shù)中應(yīng)用十分廣泛，如橋梁合理拱軸問題、建筑構(gòu)件的冷卻時(shí)間問題等等。

例6：建筑構(gòu)件開始的溫度為100℃,放在20℃的空氣中，開始的600s溫度下降到60℃。問從100℃下降到25℃需要多長時(shí)間？

分析：高溫物體的冷卻是遵循冷卻定律的，冷卻定律為：

某物體放置于溫度為T0的環(huán)境中，其溫度變化率正比于物體的溫度與T0的差，若t時(shí)刻物體的溫度為 T，則有。

解：設(shè)物體溫度為T(t)，冷卻系數(shù)k＞0，由冷卻定律可知，該問題的方程及初始條件為：

方程中的負(fù)號是因?yàn)榻橘|(zhì)溫度20℃＜T，物體放熱是降溫過程，此時(shí)。

該方程是可分離變量的微分方程，也是一階線性非齊次微分方程。其解為：

又因?yàn)殚_始的600s下降到60℃，即T(600)=60,代入上式，得：。

即2400s后物體溫度下降到25℃。

5.不定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，并且內(nèi)容很豐富。在經(jīng)濟(jì)問題中，可以通過積分求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)問題，如知道邊際成本函數(shù)、邊際收入函數(shù)、邊際利潤函數(shù)、邊際需求函數(shù)等可以求成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤函數(shù)及需求函數(shù)；還可以通過積分由變化率求總量問題等。下面我們以幾個(gè)具體的例子來探討。

例7：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知每月生產(chǎn)的產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為。設(shè)固定成本是10000萬元。試求此工廠的成本函數(shù)和收入函數(shù)。

又因?yàn)楣潭ǔ杀臼?0000萬元，即C(0)=10000，故：

兩邊取不定積分，得收入函數(shù)：

又因?yàn)楫?dāng)產(chǎn)品 q=0時(shí)，收入為0，即R（0）=0，故：

人們將實(shí)際的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象結(jié)合數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，如廣告支出與利潤、商品的銷售量、如何確定商品價(jià)格浮動(dòng)的規(guī)律等等都可以進(jìn)行類似的研究并加以解決。

6.結(jié)束語

由上面的例子可以看出，不定積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛。高職數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中要注重案例講授，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，另一方面也讓學(xué)生明白生活中很多實(shí)際問題是可以用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決的。