基于H∞擴(kuò)展卡爾曼濾波器模型不確定性的動(dòng)態(tài)狀態(tài)估計(jì)

范 俊

（國網(wǎng)湖北省電力有限公司 荊州供電公司檢修分公司，湖北 荊州 434000）

0 引 言

電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)狀態(tài)變量的準(zhǔn)確估計(jì)對(duì)于監(jiān)視和控制至關(guān)重要。迄今為止，已經(jīng)提出了各種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）和無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）的動(dòng)態(tài)狀態(tài)估計(jì)器（Dynamic State Estimator，DSE）[1-6]。然而，卡爾曼型濾波器需要在某些特定條件下才能很好地工作[7]。首先需要知道每個(gè)時(shí)刻系統(tǒng)過程噪聲和觀測噪聲的均值和相關(guān)性，其次應(yīng)該知道系統(tǒng)的過程噪聲和觀測噪聲的協(xié)方差，最后系統(tǒng)的離散時(shí)間非線性狀態(tài)空間模型要是準(zhǔn)確的。但是，由于實(shí)際的電力系統(tǒng)難以獲得系統(tǒng)過程噪聲和觀測噪聲的統(tǒng)計(jì)信息，因此假設(shè)可能不成立，此外系統(tǒng)模型的某些參數(shù)或輸入可能是未知的，狀態(tài)估計(jì)結(jié)果會(huì)大大惡化。

盡管H∞濾波器已廣泛應(yīng)用于控制和信號(hào)處理中，但在實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)狀態(tài)估計(jì)器時(shí)，尚未將其應(yīng)用到電力系統(tǒng)模型不確定性中。本文提出了一種基于魯棒控制理論的H∞擴(kuò)展卡爾曼濾波器來約束系統(tǒng)不確定性的影響以及調(diào)整HEKF參數(shù)的方法，并基于IEEE-39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)的仿真結(jié)果證明了HEKF的有效性。

1 H∞擴(kuò)展卡爾曼濾波方法

1.1 問題描述

對(duì)于電力系統(tǒng)，其離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式可以表示為：

式中，xk是狀態(tài)矢量，其中包括同步發(fā)電機(jī)、勵(lì)磁機(jī)以及調(diào)速器的狀態(tài)變量；zk是包含電壓相量、電流相量以及無功功率的測量向量；ωk和vk是系統(tǒng)過程噪聲和觀察噪聲，并假設(shè)它們是零均值和協(xié)方差矩陣為Qk和Rk的正態(tài)分布；uk是系統(tǒng)輸入向量；f(·)為預(yù)測向量函數(shù)；h(·)為量測函數(shù)。

為了估計(jì)xk，可以使用EKF和UKF，假設(shè)過程噪聲和觀察噪聲的協(xié)方差矩陣Qk和Rk是已知的，系統(tǒng)的輸入uk和發(fā)電機(jī)參數(shù)準(zhǔn)確且已知，則EKF和UKF可以良好工作，然而由于發(fā)電機(jī)參數(shù)存在不確定性，因此這些假設(shè)很難成立。例如，由于鐵磁飽和的影響，瞬變電抗在不同的運(yùn)行條件下會(huì)發(fā)生變化，同時(shí)過程噪聲和觀察噪聲的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也難以獲得，并且系統(tǒng)輸入可能未知，此外系統(tǒng)的非線性可能無法建模，在這些系統(tǒng)不確定性的情況下，EKF和UKF可能會(huì)產(chǎn)生明顯偏差的估計(jì)結(jié)果。

1.2 H∞擴(kuò)展卡爾曼濾波器

為保證估計(jì)誤差的上限是有限的，并同時(shí)最小化該上限，給定直到（包括）時(shí)間N-1的測量值、初始狀態(tài)以及噪聲統(tǒng)計(jì)信息，設(shè)計(jì)一個(gè)滿足以下條件的濾波器：

式中，x0和x^0|0分別是真實(shí)的初始狀態(tài)向量及其估計(jì)值；xk和x^k|k分別表示真實(shí)狀態(tài)向量及其估計(jì)向量值；P0|0和Pk|k分別是初始協(xié)方差矩陣和估計(jì)協(xié)方差矩陣；γ是限制系統(tǒng)不確定性的正標(biāo)量參數(shù)。

使用式（3）并參考文獻(xiàn)[8]中的工作，可以通過以下兩個(gè)步驟來表示HEKF。

確保協(xié)方差矩陣Pk|k-1的正定性，本文提出以系統(tǒng)的方式調(diào)整參數(shù)γ，具體而言，通過將矩陣求逆引理應(yīng)用于公式（8），可得到：

由式（10）可知，由于Pk|k是正定的，這就意味著式（10）等式右邊的項(xiàng)大于或等于0，因此參數(shù)γ需滿足：

式中，eig表示求矩陣的特征值。

將參數(shù)γ調(diào)為最優(yōu)的方法是：

式中，λ是大于1的正常數(shù)，當(dāng)λ趨于無窮大時(shí)，HEKF變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)EKF，因此可以將λ視為在H無限性能和最小方差性能之間進(jìn)行權(quán)衡的調(diào)整參數(shù)。通過大量仿真可以發(fā)現(xiàn)，只要選擇的λ不是很大，那么HEKF始終會(huì)獲得良好的性能。在電力系統(tǒng)DSE中，λ的建議值在1～10變化。

2 算例仿真與分析

基于圖1所示的IEEE-39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)評(píng)估本文所提基于H∞擴(kuò)展卡爾曼濾波器的模型不確定性動(dòng)態(tài)狀態(tài)估計(jì)方法，以驗(yàn)證所提出的HEKF用于估計(jì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)狀態(tài)變量的性能[9]。具有IEEE DC1A激勵(lì)的TGOV1渦輪調(diào)速器用于每個(gè)發(fā)電機(jī)的9階兩軸模型，每臺(tái)發(fā)電機(jī)狀態(tài)變量數(shù)的總和為90個(gè)。Att=0.5 s，將連接節(jié)點(diǎn)15到節(jié)點(diǎn)16的傳輸線關(guān)閉以模擬系統(tǒng)干擾。時(shí)域仿真結(jié)果取真實(shí)值，測量矢量包含所有發(fā)電機(jī)終端的注入有功功率和無功功率，以及電壓幅值和角度。

圖1 IEEE-39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

PMU采樣速率為每秒50個(gè)樣本，假設(shè)系統(tǒng)過程噪聲和觀測噪聲均具有零均值和方差等于10-6的隨機(jī)高斯噪聲，λ設(shè)置為2。將誤差為5%的預(yù)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)值用作初始狀態(tài)，考慮以下兩種情況，并使用估計(jì)狀態(tài)變量的均方根誤差進(jìn)行說明。

情況1，由于系統(tǒng)運(yùn)行條件的變化，發(fā)電機(jī)的瞬態(tài)電抗發(fā)生變化，不確定性被認(rèn)為是15%～20%[5]。情況2，系統(tǒng)過程和測量噪聲未知，它們的方差設(shè)置為10-4，而真實(shí)值為10-6。為正確合理評(píng)估HEKF算法，使用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）作為估計(jì)性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)。在k時(shí)刻，第k斷面的RMSE計(jì)算公式如下：

式中，表示k時(shí)刻估計(jì)值的第i個(gè)分量；xk,i表示k時(shí)刻真實(shí)值的第i個(gè)分量；n表示狀態(tài)量個(gè)數(shù)；RMSE(k)、RMSE,max和RMSE,mean分別表示第k斷面的均方根誤差、系統(tǒng)最大均方根誤差以及系統(tǒng)平均均方根誤差；max表示取最大值；mean表示取均值。

對(duì)以上兩種仿真情況分別使用EKF、UKF以及本文所提HEKF算法進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如表1和表2所示。

表1 IEEE-39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)情況1時(shí)均方根誤差結(jié)果

表2 IEEE-39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)情況2時(shí)均方根誤差結(jié)果

由表1和表2的仿真結(jié)果可知，在情況1時(shí)EKF算法的電壓的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.007 3和0.003 5，相角的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.030 9和0.009 7，均為最大。UKF算法的電壓的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.004 1和0.002 7，相角的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.010 7和0.005 8，均小于EKF算法，而大于HEKF算法。HEKF算法的電壓的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.005 1和0.000 9，相角的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.0087和0.002 6，均為最小。在情況2時(shí)EKF算法的電壓的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.007 5和0.003 8，相角的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.029 6和0.006 8，也均為最大。UKF算法的電壓的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.004 7和0.002 9，相角的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.015 7和0.004 7，也均小于EKF算法，而大于HEKF算法。HEKF算法的電壓的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.002 3和0.001 9，相角的RMSE,max和RMSE,mean分別為0.008 9和0.001 5，也均為最小?？梢钥闯?，無論是在情況1還是在情況2，無論是對(duì)于電壓還是對(duì)于相角，本文所提HEKF算法指標(biāo)均最小，結(jié)果最好。

3 結(jié) 論

由于電力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型會(huì)受到各種不確定性的影響，如在不同運(yùn)行條件下變化的發(fā)電機(jī)瞬態(tài)電抗、不確定的輸入以及噪聲統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，因此卡爾曼型濾波器的性能會(huì)大大降低。為限制這些參數(shù)不確定性的影響，本文提出了一種基于魯棒控制理論的H∞擴(kuò)展卡爾曼濾波器以及調(diào)整HEKF參數(shù)的方法。該方法能夠有效利用調(diào)優(yōu)參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)各種不確定性參數(shù)的濾波處理。此外，基于IEEE-39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)對(duì)本文所提HEKF算法進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果表明，所提方法能夠有效限制系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響，得到最優(yōu)估計(jì)結(jié)果。