二十一歲本科生破解數十年來未解數學難題

21歲的本科生，推動了幾十年懸而未決的數學難題。他就是麻省理工學院（MIT）數學系的Ashwin Sah，其用手中的筆和草紙，助力拉姆齊數（Ramsey number）問題的解決，而該問題這是組合數學領域最重要的問題之一。

“Ashwin解決的難題是數學組合學的核心問題。Ashwin之所以能解出，是因為他發(fā)現了一些新的數學方法，而每一次突破成果的出現，都意味著新的數學工具即將誕生”，Ashwin的導師——MIT數學系華裔助理教授、斯隆獎得主趙宇飛表示。

什么是拉姆齊數？

拉姆齊數主要用于表示完全的無序是不可能的，即一個集合的元素數量達到特定臨界點后，肯定會出現預先定義的某種性質或結構。

以拉姆齊數的經典案例鴿籠原理為例，10只鴿子放進9個鴿籠，那么一定有一個鴿籠放進了至少兩只鴿子。

同樣的案例還有，要保證一群人中一定有兩個人的生日是同一天，那么至少需要367個人。其他例子還有，6個人中必有3個人相互認識或相互不認識;一群人里面一定有兩個人的生日是同一天等。想要的團規(guī)模越大，計算出精確的拉姆齊數就會越困難。

20世紀30年代，Paul Erd s和George Szekeres兩位數學家曾研究過拉姆齊數的上下界，此后至今該問題一直讓數學界“一籌莫展”。

匈牙利數學家曾這樣描述尋找拉姆齊數的難度：“想像有隊外星人軍隊在地球降落，要求取得R（5，5）的值，否則便會毀滅地球。在這個情況，我們應該集中所有電腦和數學家嘗試去找這個數值。若它們要求的是R（6，6）的值，我們可能要嘗試毀滅這隊外星人了?！?p>

鴿籠原理

而在2020年5月，Ashwin通過優(yōu)化前輩的方法，拓寬了拉姆齊數的研究邊界。其文章主要內容是，如果有6個頂點，它們互相通過邊來連接，此外還有15條邊著色，我們可以將每條邊涂成紅色或藍色。但是不管怎么著色，總會有3個頂點之間以同色邊相連，這種現象被稱作團（clique），而假設是5個頂點，情況就會發(fā)生變化?；诖?，兩種顏色、且團的規(guī)模為3的拉姆齊數為6，也就是說要保證團的存在，至少得有6個頂點。他的文章證明，一旦圖達到特定大小，就必然包含具備對應規(guī)模的團。

多位學者認為，Ashwin的證明是當前條件下，能達到的最佳結果。此前曾研究出該問題的最佳上限的加州理工學院數學教授大已·利隆表示，他將這一方法推向邏輯極限，并認為雖然是本科生，但他完成的工作足以使他獲得一份教職。

Ashwin Sah的文章

談起首次注意到Ashwin，趙宇飛向Ashwin讀大一時，趙宇飛在MIT教授研究生級別的數學組合課。當時還是大一新生Ashwin跑來聽他的課，趙宇飛感到很驚訝，同時也擔心Ashwin可能還沒準備好。但通過課后交流，發(fā)現Ashwin都能聽懂。除了上趙宇飛的課，他還參加數學組合學的研討課。

11歲時在做題的Ashwin

在4萬多名選手中斬獲銀獎

11歲時在做題的Ashwin趙宇飛

Ashwin本人較為深刻的童年經歷，是媽媽叫她學算數，這位出生于美國俄勒岡州的零零后，曾于16歲時斬獲國際數學奧林匹克競賽（IMO）金牌，18歲時他又獲得首屆阿里巴巴全球數學競賽的銀獎，全球四萬多名參賽者，僅有20名選手獲得金銀銅獎。

習慣用博客記錄學生進步的趙宇飛曾這樣寫道：“Ashwin已經有大量的論文清單”，同時“我很高興Ashwin將留在MIT攻讀博士學位。”

與此同時，趙宇飛還推動了Ashwin和他的另一名學生Mehtaab Sawhney的合作。

Mehtaab Sawhney是Ashwin的小伙伴。Mehtaab也參加了趙宇飛的研究生組合學課程，因此他倆特別熟，經常一起上課和討論。

Ashwin和Mehtaab Sawhney

趙宇飛發(fā)現后，跟他們談話說：“你們倆（既然）對于組合學都很感興趣，那么可以嘗試一起研究課題”。而他倆的正式合作也從這里開始，合作過數十篇論文，并解出很多趙宇飛一直想解的課題，對此他評價稱：“本科生研究傳統(tǒng)由來已久，但不管是數量還是質量，無人能及Sah和Mehtaab?！?/p>

而基于此前合作成果，Ashwin和Mehtaab Sawhney于今秋獲得由美國數學學會（AMS）、美國數學協(xié)會（MAA）和工業(yè)與應用數學學會（SIAM）共同評定2021摩根獎（Morgan Prize），該獎項主要授予表現出色的美國、加拿大或墨西哥的數學專業(yè)大學生，獎金為1000美元。而趙宇飛作為導師，其價值之一便是獲悉學生背景后，幫他們找到合適課題。

數學生的“無知者無畏”

趙宇飛的很多學生和Ashwin一樣，對組合數學領域有著濃厚興趣，其中包括MIT華人學生姚遠、張盛桐和馀鴻勛，他們都是國際奧數競賽金牌得主。目前，姚遠和張盛桐已經加入趙宇飛的科研團隊，并與MIT博士后姜子麟、博士生Jonathon Tidor一起利用圖論方法，解決了幾何學中長期未解決的等角線問題。其中，馀鴻勛在趙宇飛的指導下，對離散幾何課題做出重大突破，并延伸了多項式這一前沿數學方法。

數學是特別容易出年輕天才的領域，而被評為MIT優(yōu)秀導師的趙宇飛表示，在跟學生相處時，他經常受到鼓舞啟發(fā)。因為一個從未見過太多數學方法的學生，一定程度上的“無知者無畏”，反而能想出看起來很奇怪、但其實非常新的方法。有時學生做出的結果，連數學專家都未必能想出來。

不過他認為，學數學天賦和積累都重要，數學需要很強的功底，而不管做什么研究，都是辛苦且漫長的過程，一個數學課題有時整整一月都毫無進展，因此即便有天賦的學生也會半途而廢，但再堅持一下，可能就會在某天突然想到新方法。

趙宇飛認為，學習數學最重要的是思想方法，而不是機械性地解固定題目。所謂數學不是給個公式就去算題，數學是一種分析型的創(chuàng)造性學科，像Ashwin做出來的結果，是他自己閱讀很多論文后，發(fā)現這是他的興趣點，然后才投入時間去研究。

在MIT工作的趙宇飛，經常接觸到能力很強的中國留學生，他很愿意指導中國留學生，并希望他們能更主動地找他探討問題。他認為，中國的教育機制讓學生們打下了扎實基礎，但很多學生只是被動地期待導師來布置課題，而非積極探索熱愛的方向，這樣或許可以取得一些短期成績，但不利于取得重大進展。

趙宇飛

Ashwin的成果，離不開趙宇飛的指導，未來在教學方面他會把多年研究成果，整理成研究生組合學課程的教學材料，并把教學視頻放在MIT公開課網站上。他還希望能把這一課程寫成一本書，從而給更多從事數學研究的學生創(chuàng)造一個接觸組合數學的窗口。

提到數學畢業(yè)生的出路，趙宇飛表示，數學出身的人當然可以做含數學在內的學科研究，比如去做計算機、經濟學、運籌學，數學教給他們的思想方法在很多學科都管用。如果不想留在學術界，他們可以去金融公司或者科技公司，這些公司都很重視數學好的學生。（摘自美《深科技》） （編輯/萊西）