可容忍預(yù)測誤差及其在匯率組合預(yù)測中的應(yīng)用

陶志富，趙 勤，朱家明，劉金培

1.安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，合肥230601

2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥230601

3.安徽大學(xué) 商學(xué)院，合肥230601

1 引言

1969年，Bates和Granger提出組合預(yù)測的概念[1]，通過統(tǒng)計(jì)的方法對單項(xiàng)預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行賦權(quán)并集成從而提高預(yù)測精度。自這一概念被提出以來，在理論上和應(yīng)用上均成為近年來的研究熱點(diǎn)[2-10]。

一般地，隨著組合預(yù)測技術(shù)的廣泛和深入開展，按照研究的內(nèi)容不同，組合預(yù)測可以劃分為信息的組合、方法的組合和結(jié)果的組合三種類型。其中，信息的組合以最有效和最直接的方式對預(yù)測的信息進(jìn)行整合，例如某些行業(yè)數(shù)據(jù)綜合指數(shù)的編制等；方法的組合則是將某些專業(yè)信息挖掘技術(shù)與預(yù)測技術(shù)相結(jié)合，以提高預(yù)測精度，例如智能算法與經(jīng)典預(yù)測方法的結(jié)合等[7]；而結(jié)果的組合則是對若干單項(xiàng)預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行加權(quán)集成作為最終的預(yù)測結(jié)果[1，3-4]。本文遵循Bates 和Granger[1]給出的結(jié)果的預(yù)測這一組合預(yù)測概念，重點(diǎn)關(guān)注組合預(yù)測過程中單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果權(quán)系數(shù)的確定。

傳統(tǒng)的最優(yōu)化組合預(yù)測模型以預(yù)測誤差平方和達(dá)到最小、誤差全距達(dá)到最小或誤差絕對值達(dá)到最小為準(zhǔn)則的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)一步確定各單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果的權(quán)重系數(shù)。上述方法存在一定的缺陷，其原因在于，預(yù)測誤差平方和、誤差全距和誤差絕對值易受極端值的影響，這導(dǎo)致在極端值點(diǎn)出現(xiàn)誤差放大效應(yīng)[11-14]，影響組合預(yù)測的預(yù)測精度。此外，在組合預(yù)測中，就同一種單項(xiàng)預(yù)測方法而言，在不同時(shí)點(diǎn)的預(yù)測精度可能不相同，即在某個(gè)時(shí)點(diǎn)預(yù)測精度較高，在另一時(shí)點(diǎn)預(yù)測精度較低[15]；而從多個(gè)單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果看，在同一時(shí)點(diǎn)，不同單項(xiàng)預(yù)測方法給出的預(yù)測結(jié)果其精度也往往是參差不齊的。然而，在已有的組合預(yù)測理論探究中，鮮有文獻(xiàn)對上述差異進(jìn)行考量。

注意到在鑄件加工過程中，為了保證加工質(zhì)量，均規(guī)定了允許的誤差范圍，一方面其可以作為日常的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，另一方面也可以作為鑄件生產(chǎn)質(zhì)量的保證。除此之外，在審計(jì)中提出了抽樣結(jié)果可以達(dá)到審計(jì)目標(biāo)所愿意接受總體最大誤差的可容忍誤差的概念[16]。可見，當(dāng)給定一個(gè)可容忍的誤差范圍時(shí)，在實(shí)際的生產(chǎn)和管理實(shí)踐中，均可以有效地控制考察對象的質(zhì)量，提高實(shí)際運(yùn)營過程的效果。

基于此，為了更進(jìn)一步提高組合預(yù)測的預(yù)測精度，在上述概念和原理的基礎(chǔ)上，本文提出一類預(yù)測可容忍誤差的概念，并結(jié)合預(yù)測精度的相關(guān)概念，給出新的預(yù)測精度定義，并構(gòu)建一個(gè)新的最優(yōu)化組合預(yù)測賦權(quán)模型。另外，為從更多角度反映預(yù)測效果的好壞，本文除了運(yùn)用普通的預(yù)測評價(jià)指標(biāo)[15，17-20]對預(yù)測效果進(jìn)行測度之外，還嘗試運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中均值、方差、峰度和偏度的概念[21-22]反映預(yù)測的效果。最后，以實(shí)例說明本文所構(gòu)建的最優(yōu)化組合預(yù)測模型的可行性與有效性。

2 基于可容忍誤差的最優(yōu)組合預(yù)測模型

預(yù)測誤差反映了預(yù)測結(jié)果與實(shí)際觀測序列值之間的離差，其數(shù)值的大小反映了預(yù)測結(jié)果的精確程度，兩者之間呈反比關(guān)系，也即預(yù)測誤差越小，表明預(yù)測效果越好，因而預(yù)測精度也就越高?？紤]到同一時(shí)點(diǎn)不同單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果精度上的差異，變權(quán)組合預(yù)測方法得以被提出并廣泛應(yīng)用到實(shí)踐中[23-25]。為計(jì)算和控制抽樣誤差，抽樣調(diào)查中考慮容許誤差的范圍及其確定[26]。審計(jì)問題中也有類似的可容忍誤差的概念[15]。因而，對于預(yù)測方法，考慮引入可容忍誤差的概念，從而能夠反映預(yù)測結(jié)果在不同方法和不同時(shí)點(diǎn)上存在的差異及其效果。

2.1 可容忍誤差以及相應(yīng)預(yù)測精度的計(jì)算

設(shè)某社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)觀察值序列為{yt,t=1,2,…,T},{t=1,2,…,T} 為某預(yù)測方法給出的預(yù)測值（或稱擬合值）序列。

定義1 令：

為了應(yīng)用上的方便，給出如下可容忍相對誤差的概念。

定義2 令：

式（2）實(shí)質(zhì)上也確定了預(yù)測值可容忍的區(qū)間范圍，其依據(jù)實(shí)際觀測值和δ 聯(lián)合給出，也即

由定義1 和定義2 可知，可容忍誤差只能觀察某一時(shí)點(diǎn)的預(yù)測效果，為從整體上對預(yù)測結(jié)果的效果進(jìn)行測度，在可容忍誤差定義的基礎(chǔ)上，給出如下精度的定義：

定義3 令，則對預(yù)測值序列，定義其可容忍精度為：

依據(jù)定義3，可容忍精度反映了預(yù)測值中位于可容忍誤差內(nèi)的預(yù)測值所占的比例。容易知道，其數(shù)值越大，表明預(yù)測的效果越好。

應(yīng)用式（3），一個(gè)直接的反映預(yù)測可容忍絕對誤差的測度可以計(jì)算如下：

2.2 基于可容忍誤差組合預(yù)測模型建立

針對實(shí)際觀測值序列{ yt,t=1,2,…,N }，設(shè)現(xiàn)有m種單項(xiàng)預(yù)測方法，其預(yù)測值序列分別記為,…,}2,…,N ?？紤]到各單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果之間存在的差異性，為充分利用這種差異性，設(shè)各單項(xiàng)預(yù)測方法的權(quán)重向量為ω=( ω1,ω2,…,ωm)T，組合預(yù)測結(jié)果可以表示為這里ωi≥0,i=1,2,…,m 且傳統(tǒng)的組合預(yù)測考慮以組合預(yù)測誤差平方和達(dá)到最小為準(zhǔn)則，也即在上述權(quán)重應(yīng)滿足：

其中，eit=yt-yit,i=1,2,…,m；t=1,2,…,T 表示第i 種單項(xiàng)預(yù)測方法在第t 時(shí)刻的預(yù)測誤差。

為消除可能存在的極端值的影響，在上述可容忍誤差概念的基礎(chǔ)上，考慮新的組合預(yù)測賦權(quán)模型。

注意到，可容忍絕對誤差ε 值的水平越大，預(yù)測的可容忍精度也越大，但是預(yù)測值可能偏離實(shí)際值的程度也越大。換言之，可容忍預(yù)測精度與ε 值正相關(guān)但是實(shí)質(zhì)上總是希望ε 的值盡可能小而可容忍精度的值盡可能大，這是兩個(gè)矛盾的目標(biāo)。

為此，構(gòu)造如下的多目標(biāo)規(guī)劃問題：

其中，πi,i=1,2,…,m 為第i 種單項(xiàng)預(yù)測方法的可容忍預(yù)測精度，y^it為第i 種單項(xiàng)預(yù)測方法在第t 時(shí)刻的預(yù)測值。

模型（5）的第一個(gè)約束表明在考慮可容忍誤差的條件下，組合預(yù)測的可容忍精度應(yīng)大于單項(xiàng)預(yù)測中的最大者，其可以通過MATLAB或者Lingo軟件進(jìn)行求解。

綜上，基于可容忍絕對誤差的組合預(yù)測賦權(quán)模型是普通最優(yōu)化模型的推廣，其組合預(yù)測步驟如下：

步驟1 由式（5）計(jì)算各單項(xiàng)預(yù)測方法的權(quán)重向量

步驟2 依據(jù)公式對各單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行集成，得到組合預(yù)測預(yù)測值序列t=1,2,…,T 。

步驟3 對組合預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行效果評價(jià)和對比分析。

步驟4 就樣本外時(shí)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測。

這里，在對預(yù)測結(jié)果的效果評價(jià)時(shí)，除了常規(guī)的幾個(gè)誤差指標(biāo)外，本文還考慮對不同預(yù)測結(jié)果的殘差從均值、方差、偏度和峰度等基本的描述性統(tǒng)計(jì)指標(biāo)進(jìn)行對比和分析。應(yīng)用這些指標(biāo)對不同預(yù)測結(jié)果的殘差進(jìn)行效果分析的優(yōu)點(diǎn)在于可以從宏觀上對預(yù)測結(jié)果的狀態(tài)進(jìn)行掌握，進(jìn)而提高分析的全面性。

3 實(shí)證分析

為了驗(yàn)證本文所構(gòu)建的最優(yōu)化模型的有效性，本文運(yùn)用2016 年1 月4 日至2018 年6 月12 日的日元兌美元日匯率收盤價(jià)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證研究，并將樣本分為兩個(gè)部分，其中將2016 年1 月4 日至2018 年5 月31 日的625 個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，用于建模；2018 年5 月31 日至2018 年6 月12 日的10 個(gè)數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)樣本，并用于驗(yàn)證模型的有效性。

針對625個(gè)樣本，構(gòu)建如下的單項(xiàng)預(yù)測方法：

（1）BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BPNN）預(yù)測

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的一類典型互聯(lián)模式為一個(gè)多層感知器結(jié)構(gòu)，即包含輸入層、輸出層和若干隱含層（有時(shí)可加該層）并組成前向連接模型，其中同一層級神經(jīng)元互不連接而相鄰層級之間的神經(jīng)元通過權(quán)值連接。圖1給出一類典型的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型。

圖1 典型的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型

通過模擬生物神經(jīng)元的非線性特性，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)選用如下的S型輸出函數(shù)：

這里，vki為輸出層神經(jīng)元k 與隱含層神經(jīng)元i 的連接權(quán)值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的基本原理是將觀測值序列作為輸入，而將預(yù)測值作為輸出，利用自購的樣本訓(xùn)練這個(gè)網(wǎng)路，使得不同的輸入向量得到不同的輸出值。這樣，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所具有的連接權(quán)值便是經(jīng)自適應(yīng)學(xué)習(xí)所得到的內(nèi)部表示，因而訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)便可作為定性和定量相結(jié)合的有效工具對不同的預(yù)測對象進(jìn)行預(yù)測[27]。

本文選取前70%的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，中間15%數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)，最后15%作為驗(yàn)證數(shù)據(jù)。

運(yùn)用MATLAB運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。

（2）非線性自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（NARnet）

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測效果圖

非線性自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[28]是一類記憶功能的網(wǎng)絡(luò)，其結(jié)構(gòu)包含輸入層、隱含層和輸出層以及輸入和輸出的延時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的輸出取決于當(dāng)前的輸出和過去的輸出，其方程為：

其中，y(t)表示輸出，d 為延時(shí)階數(shù)，f 表示應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的非線性函數(shù)。

本文選取80%為訓(xùn)練樣本，10%為檢驗(yàn)樣本和10%測試樣本。運(yùn)用MATLAB 分析，應(yīng)用MATLAB 得到的擬合結(jié)果如圖3所示。

圖3 NARnet預(yù)測效果圖

（3）自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理預(yù)測方法

自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理（Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System，ANFIS）能夠直接通過模糊推理實(shí)現(xiàn)輸入層與輸出層之間的非線性映射，與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的信息存儲能力和學(xué)習(xí)相近[29]。

典型的ANFIS模型結(jié)構(gòu)具有5層，即計(jì)算輸入的模糊隸屬度、每條規(guī)則的適用度、適用度的歸一化、每條規(guī)則的輸出和模糊系統(tǒng)的輸出。

圖4給出具有兩個(gè)輸入單個(gè)輸出的ANFIS結(jié)構(gòu)[30-31]。

圖4 具有兩輸入一輸出一階ANFIS結(jié)構(gòu)

模糊推理的輸出采用如下形式的加權(quán)平均法：

這里，wi為變量xi的權(quán)重。

類似地，選取前70%觀測值為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，中間15%為測試數(shù)據(jù)，最后15%為驗(yàn)證數(shù)據(jù)。通過MATLAB 分析可以得到如圖5。

圖5 ANFIS預(yù)測效果圖

通過訓(xùn)練樣本的625個(gè)數(shù)據(jù)建立模型，預(yù)測樣本外的10個(gè)數(shù)據(jù)，最終的單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果如表1所示。

首先，通過本文所構(gòu)造的多目標(biāo)最優(yōu)化模型（5），利用Lingo軟件運(yùn)行得到一組權(quán)重（全局最優(yōu)解）如下：

結(jié)果表明，由于各單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果精度均相對較高，因而在進(jìn)行組合時(shí)經(jīng)過對誤差的可容忍限制，最優(yōu)化模型給出了較為一致的權(quán)重分配。這也從另一個(gè)側(cè)面反映出普通等權(quán)重賦權(quán)結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中的合理性[32]。通過對各單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果集成，計(jì)算出組合預(yù)測值，如表1所示。

作為對比，考慮傳統(tǒng)的以組合預(yù)測誤差平方和達(dá)到最小為準(zhǔn)則構(gòu)造權(quán)重的方法，利用Lingo軟件運(yùn)行得到如下的一組權(quán)重：ω1=0,ω2=0.053,ω3=0.947。

表1 實(shí)際值及預(yù)測值

為了驗(yàn)證基于可容忍誤差的最優(yōu)組合預(yù)測方法權(quán)重構(gòu)造的有效性，本文從如下兩個(gè)方面對所提出的模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證：

（1）對本文的單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果及組合預(yù)測結(jié)果的殘差進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，分析結(jié)果如表2所示。

表2 模型的偏度及峰度

均值是反映數(shù)據(jù)的平均水平，表2的數(shù)據(jù)反映的是殘差的均值，殘差的均值的絕對值越接近于0，表明預(yù)測結(jié)果越好，僅僅從均值的角度可以得出，NARnet模型的預(yù)測效果比較好。

從方差的角度分析，方差是反映數(shù)據(jù)的離散程度，方差越接近0，表明數(shù)據(jù)的離散程度越小，從表2中可以看到，本文所提出的組合預(yù)測模型的預(yù)測效果比較好。綜合殘差的均值和方差兩方面看，組合預(yù)測的預(yù)測效果要優(yōu)于各單項(xiàng)預(yù)測方法；本文所提出的組合預(yù)測方法優(yōu)于普通的組合預(yù)測方法。

偏度是反映數(shù)據(jù)分布對稱性的測度，偏態(tài)系數(shù)為0，則說明該組數(shù)據(jù)的分布是對稱的。本文考慮的是殘差的偏度，從表2中可以看到，NARnet模型的偏度更接近于0，表明此模型的殘差序列分布近似于對稱分布，預(yù)測效果更好。

從峰度的角度考慮，不論是組合預(yù)測模型還是單項(xiàng)預(yù)測模型，其峰度都是大于0 的，表明各個(gè)模型的殘差分布是比較集中的，其中本文所提出的組合預(yù)測方法的峰度更接近于3，更趨向于正態(tài)分布，其殘差分布更集中；其次是普通的組合預(yù)測方法的峰度更接近于3。因此，可以得出，組合預(yù)測方法優(yōu)于各單項(xiàng)預(yù)測方法，本文所提出的基于可容忍度的組合預(yù)測模型優(yōu)于普通的組合預(yù)測模型。

此外，可以繪制各單項(xiàng)預(yù)測方法及組合預(yù)測方法的殘差絕對值圖，如圖6所示。

圖6 預(yù)測結(jié)果和效果對比

由圖6（a）可見，單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果的預(yù)測效果較差，兩種組合預(yù)測的結(jié)果都優(yōu)于單項(xiàng)預(yù)測方法，并且隨著時(shí)點(diǎn)的推移，本文所提出的組合預(yù)測方法與實(shí)際值越接近。

由圖6（b）可見，單項(xiàng)預(yù)測方法在各時(shí)點(diǎn)的殘差波動比較大，基于可容忍誤差的最優(yōu)化組合預(yù)測模型的殘差波動相對較穩(wěn)定；另外，本文所提出的組合預(yù)測模型的殘差略小于傳統(tǒng)的組合預(yù)測模型。

為了更好地對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析，不能僅僅局限于對預(yù)測結(jié)果的殘差序列進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，于是，本文從如下幾個(gè)普通的評價(jià)指標(biāo)考慮，對其預(yù)測結(jié)果的好壞進(jìn)行分析。

（2）運(yùn)用常用的幾種誤差評價(jià)指標(biāo)對單項(xiàng)預(yù)測結(jié)果及組合預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析，結(jié)果如表3所示。

由表3，本文可以得出以下結(jié)論：

（1）相對于三種單項(xiàng)預(yù)測方法而言，從四種評價(jià)指標(biāo)來看，不論是相對指標(biāo)還是絕對指標(biāo)，組合預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果均優(yōu)于單項(xiàng)預(yù)測方法。

表3 模型擬合效果比較

（2）相對于以預(yù)測誤差平方和達(dá)到最小為準(zhǔn)則的普通加權(quán)組合預(yù)測方法，本文所提出的方法由于考慮到了可容忍誤差，提高了組合預(yù)測的精度。

（3）由于單項(xiàng)預(yù)測方法均采用了精度較高的智能預(yù)測方法，在組合結(jié)果改善了預(yù)測效果的同時(shí)，結(jié)果改善的幅度相對偏小。但是，仍可以觀測出通過簡單的附加可容忍誤差的條件，預(yù)測效果整體而言仍是占優(yōu)的，表明了所提概念和方法的有效性。

4 結(jié)語

本文基于可容忍誤差的概念，并結(jié)合預(yù)測精度的相關(guān)概念，給出新的預(yù)測精度的定義，并構(gòu)建了一個(gè)新的最優(yōu)化組合預(yù)測賦權(quán)模型。另外，為從多角度反映預(yù)測精度的好壞，本文除了運(yùn)用普通的預(yù)測評價(jià)指標(biāo)對預(yù)測效果進(jìn)行測度之外，還嘗試運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中均值、方差、峰度和偏度的概念反映預(yù)測的效果。并以實(shí)例說明本文所構(gòu)建的多目標(biāo)最優(yōu)化組合預(yù)測模型的可行性和有效性。

可容忍預(yù)測誤差作為傳統(tǒng)預(yù)測誤差的推廣，本文僅將其應(yīng)用到組合預(yù)測賦權(quán)問題中。未來，這一誤差測度可以進(jìn)一步推廣到各單項(xiàng)預(yù)測方法中，例如，通過設(shè)定可容忍絕對誤差水平，考慮多元線性回歸模型中的參數(shù)確定。同時(shí)，也可以將可容忍預(yù)測誤差拓展到基于誤差的預(yù)測方法構(gòu)建和評估問題中。