基于改進(jìn)介質(zhì)微擾法的水膜厚度測(cè)量理論研究

張淑娥，張?zhí)旌?，曹宏?/p>

(華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，保定 071003)

常規(guī)電站中大型冷凝式蒸汽透平的末幾級(jí)和核電站中透平的全部級(jí)都工作在濕蒸汽區(qū)，蒸汽濕度會(huì)影響汽輪機(jī)運(yùn)行的安全性和經(jīng)濟(jì)性[1-3].在濕蒸汽長(zhǎng)期測(cè)量過程中，腔體內(nèi)壁表面會(huì)沉積一層水膜，水膜會(huì)給濕度測(cè)量帶來(lái)測(cè)量誤差[4]，所以蒸汽濕度傳感器內(nèi)壁水膜厚度的準(zhǔn)確測(cè)量對(duì)提高濕度測(cè)量精度具有重要意義.在進(jìn)行水膜厚度測(cè)量時(shí)，可以把圓柱腔內(nèi)壁附著的水膜等效成一層體積為VΔ厚度為b的電介質(zhì)，此時(shí)利用微波微擾法[5-6]可以通過測(cè)量諧振頻率間接確定環(huán)繞電介質(zhì)的厚度.由于圓柱腔內(nèi)壁附著水膜屬于小體積VΔ而εΔ、μΔ較大的介質(zhì)微擾情況，在利用介質(zhì)微擾法推導(dǎo)圓柱腔內(nèi)水膜厚度和諧振頻偏的關(guān)系式時(shí)，通常采用準(zhǔn)靜態(tài)法[7]近似.考慮到圓柱諧振腔內(nèi)的電場(chǎng)為交變場(chǎng)，將交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)等效成靜電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)存在誤差，影響水膜厚度測(cè)量的準(zhǔn)確度，所以有必要推導(dǎo)出交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)方程.國(guó)內(nèi)外對(duì)交變電場(chǎng)下電介質(zhì)的研究主要集中于對(duì)電介質(zhì)介電特性的研究[1-4]、電介質(zhì)極化的微觀機(jī)制研究[5-6]、光電信號(hào)在電介質(zhì)內(nèi)的傳播特性[7-8]等方面，缺少對(duì)交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)表達(dá)式的求解.因此，本文對(duì)交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)方程進(jìn)行了推導(dǎo)，并利用推得的電場(chǎng)方程對(duì)諧振腔介質(zhì)微擾公式進(jìn)行了改進(jìn)，最后基于改進(jìn)的介質(zhì)微擾公式建立起了圓柱腔內(nèi)壁水膜厚度和諧振頻偏之間的關(guān)系模型，對(duì)圓柱腔內(nèi)壁水膜厚度的測(cè)量問題提供了解決辦法.

1 介質(zhì)微擾公式的改進(jìn)

當(dāng)諧振腔填充的介質(zhì)有微小變化時(shí)，諧振頻率將發(fā)生微小的變化.諧振腔的介質(zhì)微擾分為兩種情況：腔體不變?chǔ)纽?、μΔ小的情況；小體積VΔ內(nèi)εΔ、μΔ大的情況.

當(dāng)諧振腔體積不變，腔體內(nèi)填充的介質(zhì)變成εε+Δ、μμ+Δ.若εΔ、μΔ很小時(shí)，可以近似地以E0、H0代替E、H；若小體積ΔV內(nèi)Δε、Δμ較大則要用準(zhǔn)靜態(tài)法近似.

1.1 準(zhǔn)靜態(tài)法近似

當(dāng)諧振腔內(nèi)引入一小介質(zhì)試樣(εΔ、μΔ較大)時(shí)，諧振腔受到微小擾動(dòng)，諧振頻率將發(fā)生微小的變化[7]，且有

式中：V0為微擾前腔的體積；ε、μ分別為微擾前腔體內(nèi)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率；E0、H0、ω0分別為微擾前腔體內(nèi)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)、諧振角頻率；VΔ為介質(zhì)試樣的體積；μΔ、εΔ分別為介電常數(shù)變化量、磁導(dǎo)率變化量；E、H、ω分別為微擾后腔體內(nèi)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和諧振角頻率.

準(zhǔn)靜態(tài)法是把原來(lái)諧振腔在VΔ內(nèi)的場(chǎng)E0、H0作為加于介質(zhì)試樣上的外加均勻靜態(tài)場(chǎng)來(lái)處理.圖 1為小介質(zhì)試樣(0μΔ=)置于任意方向電場(chǎng)下介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)示意.

圖1 小介質(zhì)介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)示意Fig.1 Small medium sample placed in an electric field

圖 1中E0是介質(zhì)試樣所在處的原有諧振腔中的電場(chǎng).如圖1所示電介質(zhì)試樣為一薄圓板，相對(duì)介電常數(shù)為εr，E0z為E0的縱向分量，與薄圓板相垂直，由于電場(chǎng)的垂直分量必須是連續(xù)的，故介質(zhì)內(nèi)縱向電場(chǎng)

E0τ為E0在τ平面的分量，與薄圓板相切，由于E的水平分量必須是連續(xù)的，故介質(zhì)內(nèi)水平方向電場(chǎng)

因此，對(duì)置于任意方向交變電場(chǎng)下的電介質(zhì)來(lái)說(shuō)，電場(chǎng)方向與邊界垂直的分量用式(2)近似，與邊界相切的分量，則用式(3)近似.故該電介質(zhì)試樣置于任意方向的電場(chǎng)下，采用準(zhǔn)靜態(tài)法近似的介質(zhì)微擾公式為

由于諧振腔內(nèi)的電場(chǎng)是交變場(chǎng)，用準(zhǔn)靜態(tài)法近似始終存在誤差，若對(duì)測(cè)量結(jié)果精度要求較高，用準(zhǔn)靜態(tài)法近似的誤差就會(huì)很明顯.此時(shí)，就有必要得到交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)表達(dá)式.本文首先推導(dǎo)了交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)方程，并應(yīng)用電介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)方程對(duì)介質(zhì)微擾公式進(jìn)行了改進(jìn).

1.2 交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)方程

在外施電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)發(fā)生極化，電介質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生偶極矩，電介質(zhì)表面形成束縛電荷[9].這些束縛電荷和自由電荷一樣，在電介質(zhì)內(nèi)部空間產(chǎn)生附加電場(chǎng)，空間內(nèi)任意一點(diǎn)的電場(chǎng)是外施電場(chǎng)和束縛電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的向量和.

交變電場(chǎng)下，極化強(qiáng)度P(t)隨時(shí)間變化的方程[10]為

式中：εr、ε∞分別為電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)光頻介電常數(shù)；τ為弛豫時(shí)間常數(shù).

根據(jù)偶極子在點(diǎn)場(chǎng)內(nèi)的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩和摩擦轉(zhuǎn)矩相平衡的條件，可推得液體電介質(zhì)的弛豫時(shí)間常數(shù)[11]為

式中：a為極性分子半徑；η為電介質(zhì)的黏度，只與溫度有關(guān)；ξ為旋轉(zhuǎn)內(nèi)摩擦系數(shù)；K為玻耳茲曼常數(shù)；T為熱力學(xué)溫度.弛豫時(shí)間常數(shù)τ取決于電介質(zhì)本身的特性，是溫度的函數(shù)，隨溫度升高，τ按指數(shù)式急劇減少，反之則急劇增加.

交變電場(chǎng)下電介質(zhì)中的合場(chǎng)強(qiáng)E(t)等于外施電場(chǎng)E0(t)與束縛電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的向量和，即

這里，將式(5)代入式(7)中，得到交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的合場(chǎng)強(qiáng)E(t)隨時(shí)間變化的方程

將式(8)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，整理得到 1階線性微分方程

對(duì)式(9)求解，得到該1階線性微分方程的解

式(10)即為交變電場(chǎng)作用下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng).對(duì)式(10)整理得到

其中，

式中：E0(t)為微擾前的電場(chǎng)；E(t)為微擾后介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng).微擾前后電場(chǎng)比值ρ與介質(zhì)的介電常數(shù)εr、光頻介電常數(shù)ε∞、介質(zhì)弛豫時(shí)間常數(shù)τ以及頻率ω有關(guān).在一定溫度下，當(dāng)介質(zhì)確定時(shí)，ρ只與頻率ω有關(guān).

若施加正弦電場(chǎng)E0(t)= sin(ωt)，則微擾前后水內(nèi)的電場(chǎng)如圖 2所示.其中，圖 2(a)為原施加正弦電場(chǎng)，圖 2(b)為校正后水內(nèi)的電場(chǎng).觀察可發(fā)現(xiàn)，原施電場(chǎng)與校正后的電場(chǎng)相比幅度降低，相角滯后0.1701rad.

因此，式(11)適用于求解任意交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)問題.

圖2 施加正弦電場(chǎng)微擾前后電場(chǎng)變化曲線Fig.2 Electric field curves before and after sinusoidal electric field perturbation

1.3 介質(zhì)微擾公式的改進(jìn)

得到了交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)方程后，式(2)應(yīng)為

將式(13)代入式(4)中，得到

對(duì)于有耗的介質(zhì)微擾，介電常數(shù)和諧振角頻率均要用復(fù)數(shù)形式代入，即

將式(15)代入式(14)并整理得到

2 仿真驗(yàn)證交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)

為了對(duì)交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，利用 HFSS電場(chǎng)仿真軟件設(shè)計(jì)了同軸腔和圓柱腔，在介質(zhì)一定的情況下，通過改變同軸腔長(zhǎng)度分析諧振頻率對(duì)ρ的影響；在諧振頻率一定情況下，通過改變圓柱腔內(nèi)壁電介質(zhì)材料分析不同電介質(zhì)對(duì)ρ的影響.

2.1 同軸腔驗(yàn)證

微波諧振腔選用同軸諧振腔，采用 TEM 模式作為工作的模式，在這種工作模式下，諧振腔的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定、無(wú)色散、無(wú)頻率下限[12].采用λ/2型同軸諧振腔，作為諧振頻率對(duì)交變電場(chǎng)影響的傳感器.同軸腔可以看作是由兩端短路的同軸線構(gòu)成的.為了讓同軸線只工作在TEM波，同軸腔波長(zhǎng)λ滿足

式中：D為外導(dǎo)體直徑；d為內(nèi)導(dǎo)體直徑；c為真空中光的傳播速率；l′為同軸腔長(zhǎng)度；f0為同軸腔諧振頻率.在同軸腔中，外層介質(zhì)均勻分布在同軸腔內(nèi)壁上，且介質(zhì)厚度為b，內(nèi)層介質(zhì)為空氣且半徑為a1.

對(duì)于工作在TEM模式的同軸線，其電場(chǎng)只有Er分量.因此同軸線微擾前后電場(chǎng)變化可以用Er分量上的電場(chǎng)表示.當(dāng)同軸腔內(nèi)的介質(zhì)都為空氣時(shí)，等間距取電場(chǎng)Er分量上半徑為b上的電場(chǎng)，分別為.當(dāng)同軸腔內(nèi)壁附著一層厚度為b的液膜后，取相同位置上的電場(chǎng)分別為可以得到微擾前后同一點(diǎn)的電場(chǎng)比值為.

根據(jù)式(10)可知，在交變電場(chǎng)下，介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)與腔體的諧振頻率有關(guān).因此改變同軸腔的諧振頻率即可得到不同頻率下介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)的變化，如圖 3所示.

圖3 微擾前后電場(chǎng)比值隨諧振頻率變化關(guān)系Fig.3 Relation of electric field ratio with resonance frequency before and after perturbation

其中同軸腔內(nèi)填充的液體介質(zhì)為水，根據(jù)圖3可知：當(dāng)諧振頻率從1GHz增加到10GHz，由式(11)得到微擾前后電場(chǎng)比值ρ和仿真微擾前后電場(chǎng)比值ρ′都降低，且變化趨勢(shì)一致.在同一諧振頻率下，微擾前后的比值較為一致，且最大比值差為 2.50，最小比值差僅為 1.04.因此可以驗(yàn)證，在同軸腔中，交變電場(chǎng)下介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)相較于靜電場(chǎng)會(huì)減小.

2.2 圓柱腔驗(yàn)證

在 TE111工作模式下的圓柱形諧振腔，具有徑向電場(chǎng)分量，且模式最低，使液膜厚度與諧振頻率具有較強(qiáng)的相關(guān)性，可以較為準(zhǔn)確地測(cè)量液膜厚度[13].由于在空氣和液膜邊界處，電場(chǎng)在Eφ分量連續(xù)，而Er分量不連續(xù)，因此在交變電場(chǎng)下，令φ=0，取電場(chǎng)的垂直分量Er.在同一諧振頻率下，取不同的介質(zhì)，得到微擾前后電場(chǎng)比值ρ′和ρ.

由表 1可知，與靜電場(chǎng)相比，在交變電場(chǎng)下，微擾前后電場(chǎng)比值ρ′和ρ都增大，即介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)會(huì)相對(duì)降低.不同介質(zhì)下，微擾前后電場(chǎng)實(shí)際比值ρ′與式(11)得到的比值ρ是較為一致的.因此可以證明在交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)方程的正確性.

表1 交變電場(chǎng)下微擾前后電介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)比值Tab.1 Ratio of the electric field in the dielectric before and after perturbation under alternating electric field

2.3 介質(zhì)微擾公式驗(yàn)證

當(dāng)介質(zhì)厚度一定時(shí)，取不同介質(zhì)微擾后的電場(chǎng)，將交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)方程代入到式(14)中，可得到微擾后諧振腔的諧振頻率.

表 2中，f′為式(4)得到的改進(jìn)前理論諧振頻率，f1′為式(17)改進(jìn)后理論上諧振頻率，f2′為實(shí)際仿真諧振頻率.根據(jù)表 2可知：當(dāng)介質(zhì)厚度一定時(shí)，微擾公式改進(jìn)前的諧振頻率與實(shí)際仿真頻率相差較大，以介質(zhì)為水為例，且隨著諧振頻率的增大，f′與f2′之間的頻差逐漸增大，當(dāng)諧振頻率為 5.6166GHz時(shí)，f′與f2′之間的頻差達(dá)到了 37.7MHz，而微擾公式改進(jìn)后的諧振頻率f1′與f2′頻差明顯縮小至28.0MHz.改變不同介質(zhì)，f1′與f2′之間的頻差都有較大程度的減小.因此改進(jìn)后的微擾公式可以較為準(zhǔn)確反映微擾后的諧振頻率，可以說(shuō)明改進(jìn)后微擾公式的合理性.

表2 不同介質(zhì)微擾后諧振頻率Tab.2 Resonant frequency after perturbation of different media

3 基于改進(jìn)介質(zhì)微擾法的水膜厚度測(cè)量理論

自從2003年提出了采用微波諧振腔微擾法進(jìn)行蒸汽濕度測(cè)量[1-3]的方法以來(lái)，微波諧振腔測(cè)量蒸汽濕度的技術(shù)得到了廣泛的研究.該方法采用圓柱諧振腔作為濕度傳感器，讓其工作在 TE011模式下，通過檢測(cè)頻偏來(lái)進(jìn)行濕度測(cè)量.

在濕度測(cè)量的過程中，由于圓柱諧振腔長(zhǎng)期放置于濕蒸汽環(huán)境中，腔體內(nèi)壁會(huì)環(huán)繞一層水膜.水膜會(huì)給濕度測(cè)量帶來(lái)測(cè)量誤差.若能準(zhǔn)確測(cè)量水膜厚度，就可通過理論分析扣除誤差，所以蒸汽濕度傳感器內(nèi)壁水膜厚度的準(zhǔn)確測(cè)量對(duì)提高濕度測(cè)量精度具有重要意義.本節(jié)基于改進(jìn)的微波微擾法，采用圓柱腔TE111模式對(duì)腔體內(nèi)壁水膜厚度進(jìn)行測(cè)量.

TE111模式下，電場(chǎng)只存在水平分量.圓柱諧振腔內(nèi)電場(chǎng)穿過水膜內(nèi)任意一點(diǎn)P時(shí)的電場(chǎng)分量如圖4所示.Eφ、Er分別為腔內(nèi)軸向、徑向的電場(chǎng)分量.

圖4 水膜內(nèi)任意一點(diǎn)電場(chǎng)Fig.4 Electric field at any point in the water film

在測(cè)量水膜厚度時(shí)不考慮介質(zhì)損耗，此時(shí)，Er與邊界相垂直，采用式(13)近似；Eφ與邊界相切，采用式(3)近似.故諧振頻偏與水膜厚度之間的關(guān)系式為

式中：f1、f2分別為微擾(產(chǎn)生水膜)前、后的測(cè)量腔的諧振頻率；諧振頻偏 Δfw=f1-f2.

正常情況下，汽輪機(jī)排汽的質(zhì)量濕度一般不超過15%[13].為了簡(jiǎn)化分析，假設(shè)微擾前圓柱腔內(nèi)的干飽和蒸汽的相對(duì)介電常數(shù)，諧振頻率是f2[5]，且

式中r、l分別代表圓柱腔的腔體內(nèi)半徑、高度.參考腔的諧振頻率只與腔體內(nèi)半徑和腔體高度有關(guān)系，因此當(dāng)腔體結(jié)構(gòu)一定時(shí)，參考腔諧振頻率就會(huì)確定.

TE111模式下圓柱諧振腔的電磁場(chǎng)方程(圓柱坐標(biāo)系)[5]為

式中：kc1= 1.841/R；R為諧振腔的內(nèi)半徑；r為半徑方向變量；z為長(zhǎng)度方向變量；J1、J1′分別為1階貝塞爾函數(shù)(Bessel function)、1階貝塞爾函數(shù)的1階導(dǎo)數(shù).

根據(jù)貝塞爾函數(shù)[14]遞推公式可知

式中A111為腔內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度的幅值.

將式(24)代入公(20)中，得到諧振頻偏與水膜厚度的關(guān)系為

式中 J0、J1、J2分別為 0階貝塞爾函數(shù)(Bessel function)、1階貝塞爾函數(shù)和2階貝塞爾函數(shù).

采用 HFSS仿真分析了圓柱諧振腔內(nèi)壁沉積不同厚度的水膜，水膜厚度變化范圍為 10～30μm，間隔是 4μm，在 TE111模式工作時(shí)產(chǎn)生的諧振頻率，如圖5所示.

圖5 TE111模式下不同厚度水膜的S參數(shù)曲線Fig.5S-parameter curve of the water film with different thicknesses in the TE111mode

根據(jù)式(23)可以計(jì)算出水膜厚度從 10μm 變化到 30μm時(shí)諧振頻率的理論值.對(duì)仿真數(shù)據(jù)、改進(jìn)前后理論數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到改進(jìn)前后理論數(shù)據(jù)對(duì)比圖，如圖 6所示，在同一水膜厚度下，使用改進(jìn)后微擾公式得到諧振頻率較實(shí)際仿真數(shù)據(jù)更加吻合.當(dāng)水膜為10μm時(shí)，改進(jìn)前諧振頻率的理論與仿真數(shù)據(jù)相差 0.6MHz，改進(jìn)后諧振頻率的理論與仿真數(shù)據(jù)相差 0.001MHz，改進(jìn)后的結(jié)果提高了將近 99.94%；當(dāng)水膜為30μm時(shí)，改進(jìn)前諧振頻率的理論與仿真數(shù)據(jù)相差 4.2MHz，改進(jìn)后諧振頻率的理論與仿真數(shù)據(jù)相差2.7MHz，改進(jìn)后的結(jié)果提高了35.7%.

圖6 校正前后理論與仿真數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.6 Comparison of the theoretical and simulation data before and after correction

4 結(jié) 論

(1)推導(dǎo)了交變電場(chǎng)作用下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)方程.通過對(duì)比原施加正弦電場(chǎng)和校正后電介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)，表明了本文推導(dǎo)的交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)方程的正確性，且對(duì)任意交變電場(chǎng)都適用.

(2)基于交變電場(chǎng)作用下電介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)方程，得到了改進(jìn)后的介質(zhì)微擾公式.

(3)分別用同軸腔和圓柱腔對(duì)交變電場(chǎng)電介質(zhì)方程進(jìn)行了驗(yàn)證.結(jié)果表明：對(duì)于不同電介質(zhì)，仿真和理論得到的電場(chǎng)比值相差不大，且在 1～10GHz范圍內(nèi)，電場(chǎng)比值變化趨勢(shì)一致，證明了交變電場(chǎng)下電介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)方程的正確性.

(4)基于改進(jìn)的介質(zhì)微擾公式，建立了圓柱腔內(nèi)壁水膜厚度和諧振頻偏之間的關(guān)系模型.結(jié)果表明：改進(jìn)后的介質(zhì)微擾公式能降低諧振頻率偏移，諧振頻率的理論與仿真誤差至少提高了35.7%.