一類積分不等式組中未知函數(shù)的估計

黃星壽

(河池學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西 宜州 546300)

0 引言

Gronwall[1]和Bellman[2]為了研究微分方程的解對參數(shù)的連續(xù)依賴性考慮了下面的積分不等式

其中c≥0是常數(shù)，給出未知函數(shù)的估計式

因為Gronwall-Bellman型積分不等式及其推廣形式在研究微分方程、積分方程和微分-積分方程解的存在性、有界性和唯一性等定性性質時具有重要作用，許多學者不斷地研究它的各種推廣形式，使其應用范圍不斷擴大，例如文獻[3-8]。由于分析微分-積分方程組解的需要，人們經常研究積分不等式組。Greene[9]和Das[10]研究了積分不等式組

中未知函數(shù)的上界。該結果可以用來研究相應的積分-微分方程組的有關問題。Pachpatte[11]進一步研究了有趣的積分不等式組

(1)

(2)

中未知函數(shù)的上界。Kim[12]討論了左邊是未知函數(shù)冪函數(shù)的時滯積分不等式

周俊[13]研究了更一般形式的積分不等式組

(3)

(4)

作者受文獻[9-13]的啟發(fā)，研究了積分號外具有非常數(shù)因子，不等式左邊是未知函數(shù)冪函數(shù)的時滯積分不等式組

(5)

(6)

不等式(5)和(6)把文獻[11]中的不等式(1)和(2)推廣成不等式左邊是未知函數(shù)冪函數(shù)的積分不等式,把文獻[13]中的不等式(3)和(4)推廣成積分號外含有非常數(shù)因子的積分不等式。本文為了簡化主要結果的證明,先引進兩個引理,給出只含有一個未知函數(shù)的積分不等式中未知函數(shù)的估計。接著利用兩個引理和變量替換技巧和放大技巧給出不等式組(5)和(6)中兩個未知函數(shù)的估計。該結果可用于研究積分、微分方程組解的性質。

1 主要結果與證明

引理1[2,14]設u(t),g(t)為區(qū)間[t0,t1]上的非負實連續(xù)函數(shù)且導數(shù)g′(t)≥0，函數(shù)f(t)≥0在區(qū)間[t0,t1]上可積，它們滿足

則

引理2 設v,a,b,c,f,g∈C([t0,t1],R+),a,b,c為不減函數(shù)，α(t),β(t)∈C1([t0,t1],[t0,t1])單調增并且在[t0,t1]上滿足α(t)≤t,β(t)≤t,q>1為常數(shù)，它們滿足不等式

(7)

則不等式(7)中未知函數(shù)有估計式

(8)

證明定義函數(shù)

g(s)v(s)ds,t∈[t0,t1]

(9)

利用Bernoulli不等式(1+x)a≤1+ax，其中0

(10)

把(10)代入(9)得到

(11)

其中T∈(t0,t1]任意選定，用不等式(11)的右端定義函數(shù)z2，即

由此可以看出z2(t)在(t0,T]上單調不減且有

(13)

求函數(shù)z2的導數(shù)，利用(11)得到

(14)

不等式(14)兩邊同除于z2(t)得到對任意t∈(t0,T]，有

不等式(14)兩邊同時從t0到t關于積分t得到

t∈[t0,T]

(15)

由(13)和(15)進一步有

z1(t)≤z2(t)≤exp

(16)

令估計式(16)中t=T得到

z1(T)≤exp

(17)

由于T∈(t0,∞)具有任意性，由(17)得到

z1(t)≤exp

(18)

利用(12)和(18)得到v(t)的估計式(8)。

定理1 設u,v,a,b,g,h1,h2,h3,h4,∈C([t0,t1],R+),b,g為不減函數(shù)，α(t),β(t)∈C1([t0,t1],[t0,t1])單調增并且在[t0,t1]上滿足α(t)≤t,β(t)≤t,p,q>1為常數(shù)，它們滿足不等式(5)和(6)，則有不等式(5)和(6)中未知函數(shù)的估計：

(19)

v(t)≤V(t),t∈[t0,t1]

(20)

其中：

(21)

(22)

(23)

(24)

證明令

(25)

把(25)代入(5)得到

up(t)≤a(t)+g(t)z(t)

從而有

(26)

因p>1是一個常數(shù)，利用Bernoulli不等式，由(26)推出

(27)

把(27)代入(25)知道對任意t∈[t0,t1]有

(28)

利用引理1，由(28)推出對任意t∈[t0,t1]有

z(t)≤

(29)

把(29)代入(27)看出對任意t∈[t0,t1]有

(30)

其中：K1,K2在(23)和(24)中定義，把(30)代入(6)得到

(31)

其中：A(t),B(t)分別由(21)和(22)式定義，把引理2應用于不等式(31)推出所要求的估計式(20)。把估計式(20)代入不等式(30)得到所要求的估計式(19)。

2 應用

考慮積分方程系統(tǒng)(參見[13])

(32)

(33)

為了對x,y的模進行估計，令u(t)=‖x(t)‖,v(t)=‖y(t)‖，由(32)和(33)得到

M1是一個常數(shù)，故K1(t)有界。

M2是一個常數(shù)，故K2(t)有界。

綜上，由定理1可以看出系統(tǒng)(32)和(33)的解的模有界。