數(shù)理金融學(xué)研究方法存在的錯誤及糾正方法探析

高宏

摘要： 金融資產(chǎn)價格隨時間演變的過程為非平穩(wěn)隨機(jī)過程，本文指出了數(shù)理金融學(xué)將平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)變量研究方法用于研究非平穩(wěn)資產(chǎn)價格過程樣本函數(shù)的方法存在錯誤。分析了數(shù)理金融學(xué)隨機(jī)變量研究方法的錯誤現(xiàn)象及歷史原因，并使用樣本函數(shù)研究方法重建了描述資產(chǎn)價格隨時間演變過程的隨機(jī)游走數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出了資產(chǎn)價格的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，給出了預(yù)測股票市場指數(shù)長期趨勢和波動范圍的原理及方法。

關(guān)鍵詞： 資產(chǎn)價格模型 隨機(jī)游走 維納過程 非平穩(wěn)隨機(jī)過程

一、引言

任何一門學(xué)科的現(xiàn)代化和精確化進(jìn)程，都必然導(dǎo)致以數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)工具來研究該學(xué)科研究對象的運動狀態(tài)、內(nèi)在聯(lián)系及運動規(guī)律。數(shù)理金融學(xué)就是運用隨機(jī)過程理論和方法，來建立描述資產(chǎn)價格波動現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在運動規(guī)律和特征，以解決不確定環(huán)境下金融資產(chǎn)定價、最優(yōu)配置和風(fēng)險管理等問題。早在1900年，數(shù)理金融學(xué)的奠基人、法國數(shù)學(xué)家Bachelier就首先使用概率方法對股票價格現(xiàn)象進(jìn)行定量研究，建立了描述股票價格波動現(xiàn)象的算術(shù)布朗運動模型。從現(xiàn)代隨機(jī)過程的角度看，Bachelier采用隨機(jī)變量方法來研究非平穩(wěn)隨機(jī)過程樣本函數(shù)，無意中使數(shù)理金融學(xué)的研究對象發(fā)生了錯位，勢必會得出一系列與事實不符的錯誤結(jié)論。令人不可思議的是，數(shù)理金融學(xué)一直沿用Bachelier的錯誤研究方法研究金融市場的數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律，導(dǎo)致廣泛應(yīng)用時給金融市場帶來巨大的災(zāi)難，暢銷書《黑天鵝》作者Taleb在《金融時報》上發(fā)表專欄文章，將數(shù)理金融學(xué)斥之為“破壞市場的偽科學(xué)”。

二、非平穩(wěn)隨機(jī)過程的特點及研究方法

隨機(jī)過程X（ω，t）是定義在Ω×T上的二元函數(shù)。對于固定的t∈T，X（ω，t）是定義在狀態(tài)空間Ω上的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量，簡記為大寫的X（t）;對于固定的ω∈Ω，X（ω，t）是時間的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)，簡記為小寫的x（t）。人們觀察到的股票價格隨時間變化過程，只是隨機(jī)過程中的一個樣本函數(shù)。

對于平穩(wěn)隨機(jī)過程中的各態(tài)歷經(jīng)過程，各個樣本函數(shù)都同樣經(jīng)歷了整個隨機(jī)過程在狀態(tài)空間所有可能的狀態(tài)，因此，任何一個樣本函數(shù)所作的各種時間平均（均值、均方值），在概率意義上等于此過程隨機(jī)變量在狀態(tài)空間的各種統(tǒng)計平均（數(shù)學(xué)期望、方差）。因此在研究這類隨機(jī)過程時，即可用隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征來描述任何一個樣本函數(shù)，也可用任何一個樣本函數(shù)的時間平均來代替隨機(jī)變量的統(tǒng)計平均。

但是對于非平穩(wěn)隨機(jī)過程X（ω，t），其隨機(jī)變量X（t）的統(tǒng)計平均與各個樣本函數(shù)x（t）的時間平均完全不同，因此在研究非平穩(wěn)隨機(jī)過程X（ω，t）時，對隨機(jī)變量X（t）和樣本函數(shù)x（t）要采用分別研究的方法，否則會使研究對象發(fā)生錯位，得出與事實完全不符的錯誤結(jié)論。

非平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性不但是時間的函數(shù)，而且各個樣本函數(shù)的時間平均也是各不相同的時間函數(shù)。例如，維納過程隨機(jī)變量W（t）的數(shù)學(xué)期望為零，方差與時間成正比，因此維納過程是典型的非平穩(wěn)隨機(jī)過程。維納過程的樣本函數(shù)是均值隨時間變化、均方值為常數(shù)的時間函數(shù)，圖1給出了10條維納過程樣本函數(shù)的仿真曲線。從圖中可以看出，維納過程所有樣本軌道的均方值（方差）都為固定的常數(shù)，但樣本軌道在狀態(tài)空間呈發(fā)散狀態(tài)，樣本軌道的發(fā)散程度可用維納過程隨機(jī)變量W（t）的方差進(jìn)行度量。

三、隨機(jī)變量研究方法的錯誤

證券交易所給出的股票價格s是時間t的函數(shù)，它只是股票價格隨機(jī)過程S（t）中的一個樣本函數(shù)s（t）。金融領(lǐng)域大量的實證研究結(jié)果表明，股票價格的對數(shù)收益率為零均值不相關(guān)白噪聲序列，設(shè)y（t）=ln s（t），因此有

式中σ為股票價格對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，ε（t）為均方差為1的白噪聲過程樣本函數(shù)，這里不要求ε（t）服從正態(tài)分布，只需ε（t）的均值為零，在不同時刻的取值互不相關(guān)即可。

式（1）表明：股票對數(shù)價格y（t）的一階差分Δy（t）為零均值不相關(guān)白噪聲樣本函數(shù)ε（t），這是眾多學(xué)者通過對股票價格波動現(xiàn)象長期觀察和實證研究得到的規(guī)律性認(rèn)識，它是構(gòu)建數(shù)理金融學(xué)理論的基礎(chǔ)或公理。

1958年，Osborne通過對美國紐約證券交易所股票價格數(shù)據(jù)的實證分析發(fā)現(xiàn)，股票價格的對數(shù)收益率服從均值為零的正態(tài)分布，與維納過程增量的統(tǒng)計特征完全相同，于是建立了下面的股票價格隨機(jī)變量模型

式中的維納過程W（t）為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，ΔW（t）服從（0，1）正態(tài)分布。

式（2）可改寫隨機(jī)游走形式的股票價格模型

式中Y（t）服從參數(shù)為（0，tσ2）正態(tài)分布。

1965年，F(xiàn)ama使用式（3）的隨機(jī)變量模型來描述實際股票價格現(xiàn)象，并將隨機(jī)變量模型的統(tǒng)計特性用于股票價格樣本函數(shù)，建立了著名的EMH（Efficient Market Hypothesis）有效市場假說，得出了股票市場未來的價格變化與當(dāng)前和過去的歷史價格無關(guān)，股票價格波動中不存在趨勢和規(guī)律，股票市場不可預(yù)測等一系列結(jié)論。有效市場假說直接推翻了技術(shù)分析中“價格沿趨勢運動”的基本假設(shè)，認(rèn)為投資者完全無法根據(jù)股票市場歷史價格來預(yù)測其未來的走勢，最終得出了技術(shù)分析無效的結(jié)論。

若將Y（t）數(shù)學(xué)期望為零的統(tǒng)計特性用于樣本函數(shù)y（t），則無法描述和解釋實際股票價格y（t）中存在長期線性趨勢這一現(xiàn)象。Samuelson為了解決式（2）與事實不符的問題，不是從式（2）的隨機(jī)變量假設(shè)去尋找原因，而是畫蛇添足地給式（2）增加了線性漂移項，建立了帶漂移的幾何布朗運動模型

式中μ為股票期望收益率，也稱股票價格漂移率。

1973年，Black和Scholes基于式（4）推導(dǎo)出了著名的BS期權(quán)定價公式。由于從理論上解決了金融衍生產(chǎn)品的定價問題，BS期權(quán)定價公式直接導(dǎo)致了“第二次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”，對各種金融創(chuàng)新工具和金融創(chuàng)新產(chǎn)品的面世起到了重大推動作用，使華爾街金融市場獲得了空前規(guī)模的發(fā)展。讓人意外的是，BS期權(quán)定價公式的廣泛應(yīng)用，竟成為直接導(dǎo)致1987、1997和2007年三次重大金融危機(jī)的主要原因之一。

事實上，Osborne早在1958年就得出了股票對數(shù)價格的方差與時間成正比的結(jié)論，證明股票價格過程為非平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是Osborne本人，以及后來的Fama、Samuelson、Black、Scholes和Merton等數(shù)理金融學(xué)家，依舊使用Bachelier在1900年使用的隨機(jī)變量研究方法來研究非平穩(wěn)的股票價格樣本函數(shù)，從而將數(shù)理金融學(xué)理論建立在錯誤的隨機(jī)變量假設(shè)基礎(chǔ)之上。

四、樣本函數(shù)研究方法

股票價格隨時間演變的過程是非平穩(wěn)隨機(jī)過程中的一個樣本函數(shù)，因此我們只能采用樣本函數(shù)分析方法，來建立股票價格現(xiàn)象的樣本函數(shù)模型，研究其自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度、長期線性趨勢及波動范圍等時域和頻域特性。

（一）時間函數(shù)模型

由式（1），直接可得積分形式的股票價格隨機(jī)游走模型

式中積分上限隨時間變化，表明隨機(jī)游走模型為非線性時變模型。

（二）自相關(guān)函數(shù)

由式（5），可推導(dǎo)出y（t）的自相關(guān)函數(shù)

式中為時間間隔。Ry（）在很寬的范圍內(nèi)具有非零值，表明y（t）中存在可以識別和利用的規(guī)律，y（t）具有可預(yù)測性。

（三）功率譜密度

y（t）平均功率有限，Ry（）絕對可積，根據(jù)維納-辛欽定理，y（t）的功率譜密度函數(shù)Sy（ω）是Ry（）的傅立葉變換，有

式中，Sinc（ωt）為辛格函數(shù)。Sy（ω）為時變功率譜，Sy（ω）與ω的平方成反比，因此y（t）是能量集中在低頻段的紅噪聲。

（四）長期趨勢和波動范圍的預(yù)測原理及方法

式（1）的模型不僅能夠描述、解釋過去和現(xiàn)在的資產(chǎn)價格現(xiàn)象，更重要的是能夠預(yù)測股票市場指數(shù)未來的發(fā)展趨勢和變化范圍。將式（1）變化為

式中為ε（t）在[0，t]區(qū)間上的算術(shù)平均值，其物理意義表示白噪聲信號在有限區(qū)間被截斷后因“頻譜泄露”效應(yīng)而產(chǎn)生的直流分量。

也是一隨機(jī)過程樣本函數(shù)，由概率論大數(shù)定律可知，隨著t的增加，的數(shù)學(xué)期望E[]會趨于真值（常數(shù)），因此，y（t）中存在一條σE[]t的長期線性趨勢線。

設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)差為σε，利用切比雪夫不等式，可以確定在E[]±σε范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為99.73%，因此，y（t）也會在相應(yīng)的范圍內(nèi)進(jìn)行波動，從而可以得出如下的推論：

推論：股票對數(shù)價格在線性通道內(nèi)圍繞長期線性趨勢線波動運行。

在實際預(yù)測股票市場指數(shù)的未來長期趨勢和波動范圍時，使用技術(shù)分析中的軌道線作圖法就能確定長期線性通道。例如，在對數(shù)坐標(biāo)下，將上證指數(shù)歷史數(shù)據(jù)的最高點連成一條直線，可得線性通道的上軌道線;將上證指數(shù)歷史數(shù)據(jù)的最低點連成一條直線，可得線性通道的下軌道線，上證指數(shù)未來20年、50年，甚至100年都將以99%以上的概率在上、下軌道線構(gòu)成的線性通道內(nèi)運行。如果未來上證指數(shù)接近上軌道線運行，表示市場已經(jīng)到達(dá)牛市的頂部;如果上證指數(shù)在下軌道線附近運行，則表明市場處于熊市的底部。

五、結(jié)論

本文指出了數(shù)理金融學(xué)將隨機(jī)變量研究方法用于研究非平穩(wěn)隨機(jī)過程樣本函數(shù)的方法錯誤。并用樣本函數(shù)研究方法重建了股票價格數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出了可揭示股票價格運動規(guī)律及特征的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，給出了預(yù)測股票市場指數(shù)未來長期趨勢和波動范圍的原理及方法，可為證券投資活動的價格分析、價格預(yù)測及風(fēng)險管理提供有效的數(shù)學(xué)模型及分析工具。

作者單位：清華大學(xué)