促進(jìn)深度思維的數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究*

韓龍淑 劉凱 陳錦楠

摘? ?要? 深度學(xué)習(xí)是學(xué)科核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)重在深度思維。以典型數(shù)學(xué)概念為例，從創(chuàng)設(shè)疑難情境引發(fā)概念學(xué)習(xí)需求、數(shù)學(xué)概念的自然導(dǎo)入、數(shù)學(xué)概念的自然生成、數(shù)學(xué)概念的變式強(qiáng)化和遷移、數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建、數(shù)學(xué)概念的拓展深化等方面解析促進(jìn)學(xué)生深度思維的數(shù)學(xué)概念教學(xué)路徑，提出促進(jìn)深度思維的數(shù)學(xué)概念教學(xué)啟示。

關(guān)鍵詞? 深度思維? 數(shù)學(xué)概念? 疑難情境? 自然生長(zhǎng)

深度學(xué)習(xí)是核心素養(yǎng)培育與發(fā)展的基本途徑[1]，是學(xué)科核心素養(yǎng)落地生根的關(guān)鍵。而數(shù)學(xué)是思維為主的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值在于思維教學(xué)[2]，在于啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，因此數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)重在深度思維。其中數(shù)學(xué)深度思維主要體現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維的活躍度、數(shù)學(xué)思維的含量、數(shù)學(xué)思維的層次和數(shù)學(xué)思維的強(qiáng)度，旨在優(yōu)化思維策略，完善數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)深層理解和變式遷移。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”[3]。研課中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生若缺乏對(duì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性和合理性的感悟，未引發(fā)學(xué)習(xí)新概念的情感需求和思維需求，則容易導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念的機(jī)械學(xué)習(xí)或表層學(xué)習(xí)，因此基于促進(jìn)深度思維進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)研究具有重要意義。

一、促進(jìn)深度思維的數(shù)學(xué)概念教學(xué)路徑

學(xué)源于思，思源于疑。深度思維源于強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突、疑難困惑并生成問(wèn)題。鑒于目前多數(shù)教師對(duì)“為什么教學(xué)新概念”缺乏足夠的認(rèn)識(shí)，致使數(shù)學(xué)新概念產(chǎn)生的必要性和價(jià)值體現(xiàn)不夠，未能使學(xué)生感悟?qū)W習(xí)新概念的現(xiàn)實(shí)需要和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，從而不易形成認(rèn)知和情感的內(nèi)在學(xué)習(xí)需求。因此促進(jìn)學(xué)生深度思維的數(shù)學(xué)概念教學(xué)首先需要研究“為什么學(xué)習(xí)此概念”，激活學(xué)習(xí)新概念的情感需求和認(rèn)知需求（Why）;其次需要研究“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的哪些內(nèi)容”（What），挖掘數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及生成過(guò)程等。要促進(jìn)學(xué)生的深度思維，提升數(shù)學(xué)思維的活躍度、含量、層次和強(qiáng)度，數(shù)學(xué)概念應(yīng)盡量以“概念形成”的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過(guò)程。如表1所示。

1.創(chuàng)設(shè)疑難情境提出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)習(xí)新概念的情感需求和思維需求

深度思維源于情境中自然生成的疑難和困惑。通過(guò)創(chuàng)設(shè)疑難情境、營(yíng)造知識(shí)缺口，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上激活思維、產(chǎn)生困惑并發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題，引發(fā)新概念產(chǎn)生的情感需求和思維需求。

無(wú)理數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念，其發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上經(jīng)歷了艱難曲折的過(guò)程，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。課堂觀察發(fā)現(xiàn)：初中生只知道“無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”，再問(wèn)什么是無(wú)限？什么是不循環(huán)？學(xué)生往往模棱兩可，表現(xiàn)出對(duì)無(wú)理數(shù)概念本質(zhì)認(rèn)識(shí)的茫然。

問(wèn)題1：前面我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，如果將下列整數(shù)或分?jǐn)?shù)寫成小數(shù)形式，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

遵循知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和學(xué)生頭腦中與新知識(shí)有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的適當(dāng)觀念，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有理數(shù)可表示為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，并把有理數(shù)的小數(shù)表示作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。

2.感悟數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性和自然性，提升數(shù)學(xué)思維的層次和活躍度

以學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新概念有自然的、內(nèi)在聯(lián)系的已有知識(shí)作為新概念的生長(zhǎng)點(diǎn)，使新舊概念之間產(chǎn)生非人為和實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)概念導(dǎo)入的自然性和必要性，從而提升數(shù)學(xué)思維的層次和活躍度。

問(wèn)題2：是否存在無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)呢？圓周率你能寫到多少位？教師借助PPT整屏幕展示圓周率的近似值：3.14159265358979323846264……，使學(xué)生直觀感知圓周率的精確值書寫不完，是無(wú)限且不循環(huán)的小數(shù)。

體驗(yàn)無(wú)理數(shù)產(chǎn)生是數(shù)學(xué)自身邏輯發(fā)展的需要。

問(wèn)題3：數(shù)學(xué)發(fā)展史上畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的門徒西帕索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線不能用整數(shù)或整數(shù)比表示。而邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線是腰為1的等腰直角三角形的斜邊，啟發(fā)學(xué)生自然思考腰為1的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)a。借助等腰直角三角形面積的兩種不同表征，邏輯推理得到[7]a2=2，斜邊的長(zhǎng)是多少呢？1

學(xué)生感悟到有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)不夠用了，由于數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要自然會(huì)出現(xiàn)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，而不是人為造出的，感悟無(wú)限不循環(huán)小數(shù)存在的自然性和合理性。

無(wú)限和不循環(huán)理解起來(lái)有難度，學(xué)生不易建構(gòu)無(wú)理數(shù)概念。通過(guò)邏輯推理而不是動(dòng)手操作的拼補(bǔ)圖形，探索等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)，提升了數(shù)學(xué)思維的層次和活躍度。

3.經(jīng)歷概念抽象概括的自然形成過(guò)程，提升數(shù)學(xué)思維的含量和強(qiáng)度

要促進(jìn)學(xué)生的深度思維，提升數(shù)學(xué)思維的含量和數(shù)學(xué)思維的強(qiáng)度，數(shù)學(xué)概念盡量以“概念形成”的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷概念獲得的辨別-分化-抽象—概括—檢驗(yàn)—表示等思維活動(dòng)過(guò)程。

問(wèn)題4：結(jié)合圓周率的值：3.14159265358979323846264……，a2=2時(shí)a的值，0.5050005000005...（相鄰兩個(gè)5之間0的個(gè)數(shù)逐漸加2），啟發(fā)學(xué)生對(duì)情境進(jìn)行辨別和分化，自然抽象概括無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，或者不能表示成兩整數(shù)之比的數(shù)。

通過(guò)三個(gè)變式情境啟發(fā)學(xué)生結(jié)合有理數(shù)概念的經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)無(wú)理數(shù)來(lái)源的認(rèn)識(shí)，抽象概括無(wú)理數(shù)概念的本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的自然形成過(guò)程。

4.通過(guò)正反例變式強(qiáng)化，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的深層理解和拓展度

促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深層次理解，需要通過(guò)正反例的變式強(qiáng)化，變更數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)屬性，突出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，并將所學(xué)概念靈活遷移到問(wèn)題解決中，達(dá)到數(shù)學(xué)概念的深層理解和深度遷移。

①下面各數(shù)中哪些是有理數(shù)？哪些是無(wú)理數(shù)？

3.14，-■，0.■，0.1010001000001（相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐漸加2），

②（1）假設(shè)面積為10的正方形的邊長(zhǎng)為x，x是否為有理數(shù)？說(shuō)說(shuō)你的理由

（2）對(duì)x的值進(jìn)行估計(jì)（答案精確到0.1），并用計(jì)算器或機(jī)驗(yàn)證估算結(jié)果

（3）如果結(jié)果精確到0.01呢？

通過(guò)正反例變式強(qiáng)化無(wú)理數(shù)概念，理解無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)，并鞏固用有理數(shù)估算無(wú)理數(shù)的方法，借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行檢驗(yàn)，與現(xiàn)代信息技術(shù)深度融合。

5.構(gòu)建數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，體驗(yàn)概念自然生長(zhǎng)的思維主線和思維方法的關(guān)聯(lián)度

知識(shí)經(jīng)過(guò)分類組織具有結(jié)構(gòu)后，才易于理解、遷移和運(yùn)用。梳理并提煉數(shù)學(xué)概念自然生長(zhǎng)的思維主線和思維方法，通過(guò)概念之間的橫縱向關(guān)聯(lián)度，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，形成組織良好的概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，建立新舊知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，促進(jìn)對(duì)新概念的深度思維和深層理解，旨在形成組織良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

6.認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)生過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)的理性思維價(jià)值和延伸度

呈現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展史上無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的艱難曲折歷程，并用反證法邏輯推理得到平方為2的數(shù)是無(wú)理數(shù)。通過(guò)體味數(shù)學(xué)新概念產(chǎn)生的歷史發(fā)生過(guò)程和思考方法，對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深度加工和拓展深化，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的理性思維等文化價(jià)值，提升數(shù)學(xué)思維的延伸度。

二、促進(jìn)深度思維的數(shù)學(xué)概念教學(xué)啟示

1.讀懂并創(chuàng)造性運(yùn)用教科書，把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

一節(jié)自然生長(zhǎng)且促進(jìn)深度思維的數(shù)學(xué)概念課，關(guān)鍵在于深層理解概念并能遷移運(yùn)用概念。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要深層理解教科書，并對(duì)不同版本教科書內(nèi)容進(jìn)行精選和整合。

目前有兩個(gè)以上版本的初中數(shù)學(xué)教科書中，無(wú)理數(shù)概念的引入是把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形“剪一剪，拼一拼”，得到一個(gè)大正方形，發(fā)現(xiàn)面積為2的正方形的邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)。雖然剪和拼也可以產(chǎn)生無(wú)理數(shù)，但是剪和拼的動(dòng)手操作和直觀感知比較突兀，為什么要通過(guò)“剪和拼”得到一個(gè)大正方形呢？學(xué)生缺乏對(duì)無(wú)理數(shù)概念產(chǎn)生的抽象過(guò)程的體驗(yàn)，降低了數(shù)學(xué)思維的抽象層次。通過(guò)啟發(fā)學(xué)生邏輯推理發(fā)現(xiàn)腰為1的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)的平方為2，以此探索平方為2的數(shù)的本質(zhì)特征。既提升了理性思維的層次和思維的強(qiáng)度，又有利于抽象無(wú)理數(shù)概念的本質(zhì)，體現(xiàn)概念的生長(zhǎng)到思維和智慧的生長(zhǎng)。

2.盡可能使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)新概念產(chǎn)生的必要性和自然性

通過(guò)現(xiàn)實(shí)需要的分析，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)及其他學(xué)科的聯(lián)系，產(chǎn)生概念學(xué)習(xí)的情感需求;通過(guò)數(shù)學(xué)自身發(fā)展需要的分析，使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的思維需求。

深度思維重在使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念等的起源與發(fā)展是自然的，是已有數(shù)學(xué)概念不夠用了，是水到渠成和有人情味的，從而經(jīng)歷概念產(chǎn)生過(guò)程中的火熱數(shù)學(xué)思考，在頭腦中展開高水平的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，感悟數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性、自然性和合理性。教學(xué)中需要教師創(chuàng)設(shè)疑難、困惑的“憤悱”情境，并運(yùn)用啟發(fā)性提示語(yǔ)、合乎情理地引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)概念的自然生成，從而使鮮活的數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中自然而然地流淌出來(lái)。

3.課堂小結(jié)重在使學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念圖，形成組織良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

課堂小結(jié)是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，旨在對(duì)所學(xué)概念進(jìn)行梳理歸納、改造重組和系統(tǒng)提升。對(duì)強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念、啟迪學(xué)生深度思維、形成數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)和促進(jìn)數(shù)學(xué)遷移具有重要作用。概念教學(xué)中教師盡量，引導(dǎo)學(xué)生歸納概念的本質(zhì)和研究方法等，并輔以文字、圖表等搭建數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)圖。網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)越多，通道越豐富，概念理解越深刻，從而形成組織良好的數(shù)學(xué)概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。以此促進(jìn)數(shù)學(xué)深度思維，切實(shí)提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

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[作者：韓龍淑（1965-），女，山西榆次人，太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，教授，博士;劉凱（1995-），女，山西交城人，太原師范學(xué)院教育學(xué)院，碩士生;陳錦楠（1997-），女，天津人，太原師范學(xué)院教育學(xué)院，碩士生。]【責(zé)任編輯? 劉永慶】