星形混合多胞管的耐撞性數(shù)值與理論研究*

孔志成，胡 俊，郭智平

（安徽建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，安徽 合肥 230601）

薄壁管具有輕質(zhì)高強(qiáng)度、高吸能等特點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域[1-4]。在薄壁管的耐撞性研究中，數(shù)值模擬在研究效率方面具有明顯優(yōu)勢(shì)[5-7]，理論預(yù)測(cè)可作為輔助工具，用于分析薄壁管在特定階段的性能變化趨勢(shì)[8]。Zhao 等[9]通過(guò)建立有限元模型，探討了三角形、方形、六邊形等截面形狀的薄壁管在多種沖擊角度下的力學(xué)響應(yīng)，認(rèn)為薄壁管的耐撞性與截面形狀有著密切的關(guān)系。Deng 等[10]采用實(shí)驗(yàn)分析了制造工藝對(duì)星形管耐撞性的影響，發(fā)現(xiàn)星形管的肋角數(shù)過(guò)多會(huì)降低吸能效果，基體材料會(huì)對(duì)變形模式產(chǎn)生影響。Tran 等[11]研究了三角形多胞管的吸能特性，發(fā)現(xiàn)胞元個(gè)數(shù)越多，越有利于能量吸收。Wang 等[12]針對(duì)方形多胞管進(jìn)行了深入的討論，認(rèn)為在同等的截面尺寸下，增加方形多胞管的胞元數(shù)量可以減小折疊波長(zhǎng)度。Ma 等[13]發(fā)現(xiàn)，相比于單胞元的圓形薄壁管，圓形多胞管的初始峰值力更低，變形過(guò)程更穩(wěn)定。因此，多胞結(jié)構(gòu)在耐撞性應(yīng)用方面具有很大的潛力。

最近，仿生設(shè)計(jì)和層級(jí)設(shè)計(jì)作為多胞結(jié)構(gòu)的兩種重要截面設(shè)計(jì)思路，成為研究熱點(diǎn)[14-16]。Zhang 等[17]效仿甲蟲(chóng)鞘翅的微結(jié)構(gòu)，將多邊形管的節(jié)點(diǎn)用圓柱代替，認(rèn)為仿生多邊形管的承載能力更強(qiáng)，且八邊形截面的吸能效率最高。Ha 等[18]研究了仿生樹(shù)狀結(jié)構(gòu)，分析了樹(shù)狀分形階數(shù)對(duì)耐撞性的影響，并結(jié)合理論預(yù)測(cè)對(duì)有限元數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。Fu 等[19]基于竹子橫截面紋理，設(shè)計(jì)出了帶肋條的仿生圓形管，發(fā)現(xiàn)當(dāng)肋條數(shù)為6 時(shí)的仿生圓形管具有最佳的耐撞性。Gong 等[20]提出了一組方形層級(jí)多胞管，利用截面的自相似性，將大胞元的邊緣替換成多個(gè)形狀相似的小胞元，并研究了該管在不同排列形式下的性能變化。Xu 等[21]采用頂點(diǎn)分層設(shè)計(jì)，在主六邊形的頂點(diǎn)處添加子六邊形，由此設(shè)計(jì)出具有自相似性的六邊形層級(jí)結(jié)構(gòu)，證明了層級(jí)設(shè)計(jì)是提高薄壁結(jié)構(gòu)耐撞性的有效方法。

但是，仿生結(jié)構(gòu)和層級(jí)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題在于截面形狀十分復(fù)雜，對(duì)于制造工藝的要求較高。為此，有學(xué)者提出了混合截面設(shè)計(jì)思路，由該設(shè)計(jì)方法得出的截面形狀相對(duì)精簡(jiǎn)，同時(shí)保持了良好的吸能性能。Vinayagar 等[22]將三角形薄壁管填充至圓形薄壁管內(nèi)，發(fā)現(xiàn)這種混合方式有助于增強(qiáng)管的變形穩(wěn)定性。Bigdeli 等[23]研究了圓形與方形通過(guò)肋桿連接的混合結(jié)構(gòu)，分析了方形截面的邊長(zhǎng)與厚度對(duì)混合結(jié)構(gòu)耐撞性的影響。Xiong 等[24]將多邊形混合多胞結(jié)構(gòu)應(yīng)用于車(chē)輛的保險(xiǎn)杠系統(tǒng)，討論了該結(jié)構(gòu)在實(shí)際工況下的力學(xué)性能。然而，在上述的研究中，針對(duì)混合截面協(xié)同效應(yīng)的分析不夠細(xì)致，混合截面的形狀也不應(yīng)局限于常見(jiàn)的圓形與多邊形之間的組合。

本文進(jìn)一步完善混合截面的設(shè)計(jì)理念，建立基于多邊形截面與星形截面混合設(shè)計(jì)的星形混合多胞管；采用數(shù)值模擬的方法，研究星形混合多胞管在軸向加載條件下的吸能特性和變形模式，并通過(guò)模擬準(zhǔn)靜態(tài)加載實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有限元模型的可靠性；在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論幾何參數(shù)對(duì)耐撞性的影響，基于簡(jiǎn)化超折單元理論[25]推導(dǎo)星形混合多胞管的平均碰撞力理論公式。

1 模型與驗(yàn)證

1.1 幾何設(shè)計(jì)與數(shù)值模型

混合截面的設(shè)計(jì)思路如圖1 所示，將多邊形薄壁管（polygonal thin-walled tubes, PT）的截面與星形薄壁管（star-shaped thin-walled tubes, ST）的截面疊加，從而形成了具有混合截面性質(zhì)的星形混合多胞管（star-shaped hybrid multi-cell tubes, SHM）。薄壁管試件的命名規(guī)律如下：前面的字母為薄壁管的英文縮寫(xiě)，末位的數(shù)字N為多邊形的邊數(shù)或星形的角數(shù)。圖1 中作為示例的星形角度α=120°，薄壁管的壁厚用t表示，所有截面的外接圓尺寸相同，外接圓直徑D=69.28 mm。

圖1 混合截面的設(shè)計(jì)方法Fig.1 Design method of hybrid cross-sections

如圖2 所示，利用ABAQUS 有限元軟件建立薄壁管的數(shù)值模型，試件長(zhǎng)度L=110 mm，通過(guò)S4R 殼單元進(jìn)行建模，厚度方向設(shè)置5 個(gè)積分點(diǎn)。薄壁管試件的上端設(shè)置為移動(dòng)端，采用一塊質(zhì)量為500 kg[26]的剛性板以v=10 m/s 的速度向下沖擊；下端為固定端，在整個(gè)沖擊過(guò)程中保持靜止。管體與剛性板之間采用通用接觸，摩擦因數(shù)為0.2[26]。選取鋁合金AA6061-O 和不銹鋼分別作為薄壁管試件和剛性板的基體材料，相關(guān)的材料參數(shù)如表1 所示，圖3 給出了AA6061-O 的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線[26]。本模型忽略了應(yīng)變率的影響[26-28]。此外，選取PT6 試件開(kāi)展了有限元網(wǎng)格收斂性測(cè)試，計(jì)算結(jié)果如圖4 所示，綜合考慮后選取1.0 mm 進(jìn)行網(wǎng)格劃分，其中A為吸收能量。

表1 有限元模型的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of finite element model

圖2 有限元模型的邊界條件Fig.2 Boundary conditions of finite element model

圖3 鋁合金6061-O 的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線[26]Fig.3 Engineering stress-strain curves of AA6061-O[26]

圖4 TP6 試件的網(wǎng)格收斂性測(cè)試Fig.4 Mesh convergence test on TP6

1.2 耐撞性指標(biāo)

薄壁管塑性變形的能量吸收A定義為：

式中：F(x)為瞬時(shí)碰撞力，d為壓縮位移。

比吸能a表示單位質(zhì)量下薄壁管吸收的能量：

式中：m為薄壁管的總質(zhì)量。

碰撞荷載效率 η ，用于評(píng)價(jià)薄壁管的承載穩(wěn)定性：

式中：Fp為初始峰值碰撞力；Fˉ 為平均碰撞力，F(xiàn)ˉ=A/d。

1.3 可靠性驗(yàn)證

通過(guò)模擬準(zhǔn)靜態(tài)加載實(shí)驗(yàn)以檢驗(yàn)有限元模型的可靠性，為了提高有限元軟件的計(jì)算效率，以v=0.5 m/s 的低速加載模擬準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程[26-28]。如圖5 所示，采用六邊形薄壁管，模擬試件與實(shí)驗(yàn)試件的尺寸為：L=120 mm，D=72 mm，t=1.2 mm[28]。此外，還設(shè)置了與實(shí)驗(yàn)相同的邊界條件，試件底部與底板綁定，以最大程度還原實(shí)驗(yàn)過(guò)程。圖5 給出了實(shí)驗(yàn)與模擬之間的數(shù)據(jù)對(duì)比和變形對(duì)比。結(jié)果表明，數(shù)值模擬得出的碰撞力波幅與實(shí)驗(yàn)結(jié)果保持了良好的一致性，F(xiàn)p和Fˉ 的誤差較小，分別為2.87%和5.86%。同時(shí)，二者的變形特征相似，均為漸進(jìn)式折疊變形，有相同的折疊波數(shù)。因此，有限元模型具備足夠的精確度，可以有效地模擬出薄壁管的性能趨勢(shì)和變形規(guī)律。

圖5 實(shí)驗(yàn)與有限元模擬的結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of experimental and finite element simulation results

2 數(shù)值模擬

2.1 混合截面的協(xié)同效應(yīng)

2.1.1 吸能特性

為了分析混合截面設(shè)計(jì)帶來(lái)的性能增強(qiáng)現(xiàn)象，同時(shí)揭示截面之間形成的協(xié)同效應(yīng)，圖6 對(duì)比了多邊形薄壁管、星形薄壁管和星形混合多胞管在不同的多邊形邊數(shù)N（星形角數(shù)）情況下的碰撞力-位移曲線，三種薄壁管的壁厚t=1.0 mm，星形角度α=120°。研究發(fā)現(xiàn)，薄壁管在受到外力沖擊時(shí)，碰撞力首先會(huì)迅速上升達(dá)到較高的局部峰值，隨后減小并保持在相對(duì)較低的平臺(tái)處上下波動(dòng)。與多邊形薄壁管和星形薄壁管相比，星形混合多胞管的碰撞力曲線顯著提升，故采用混合截面設(shè)計(jì)可以增加管的整體剛度，從而產(chǎn)生了更強(qiáng)的力學(xué)響應(yīng)。由式(1)可知，薄壁管吸收的能量等于碰撞力曲線的積分，因此，碰撞力曲線越高，管吸收的沖擊動(dòng)能就越多。

圖6 三種薄壁管的碰撞力-位移曲線Fig.6 Force-displacement curves of three thin-walled tubes

圖7 給出了三種薄壁管的能量吸收曲線，可以清楚地看到，星形混合多胞管的能量吸收曲線始終高于多邊形薄壁管與星形薄壁管的總和，圖中的陰影部分代表了星形混合多胞管通過(guò)協(xié)同效應(yīng)額外吸收的能量。

圖7 三種薄壁管的能量吸收Fig.7 Energy absorption curves of three thin-walled tubes

這里引入?yún)f(xié)同比概念[26]，以描述協(xié)同效應(yīng)在吸能方面的作用體現(xiàn)，協(xié)同比定義為

式中：Sr為協(xié)同比，Sr=0 表明沒(méi)有產(chǎn)生協(xié)同效應(yīng)，Sr值越大，則混合截面的協(xié)同性越好；APT、AST和ASHM分別為多邊形薄壁管、星形薄壁管和星形混合多胞管的能量吸收值。

星形混合多胞管的協(xié)同比均超過(guò)了30%，在多邊形邊數(shù)N=6 時(shí)獲得了最高的協(xié)同比，達(dá)到了33.43%。上述結(jié)果表明，混合截面產(chǎn)生的協(xié)同效應(yīng)明顯增強(qiáng)了星形混合多胞管的吸能性能，協(xié)同比的大小與多邊形邊數(shù)N有關(guān)，六邊形截面與六角星形截面之間的組合擁有最好的截面協(xié)同性。

表2 詳細(xì)比較了三種薄壁管的耐撞性指標(biāo)值。不難發(fā)現(xiàn)，薄壁管的耐撞性與多邊形邊數(shù)N是正相關(guān)的，N越大，薄壁管的碰撞力水平越高。得益于協(xié)同效應(yīng)的積極作用，SHM4 吸收的能量A要比對(duì)應(yīng)N相同的多邊形薄壁管與星形薄壁管之和多出0.40 kJ，而SHM6 和SHM8 則分別多出0.68 和0.78 kJ。值得注意的是，星形薄壁管的η 要高于星形混合多胞管，這是由于其Fp相對(duì)較低導(dǎo)致的結(jié)果，但也可以說(shuō)明，星形截面具有更好的承載穩(wěn)定性。此外， PT8、ST8 和SHM8 的比吸能a均為同類(lèi)型薄壁管中的最高，且SHM8 擁有最佳的能量吸收效率，其比吸能a比起ST8 高出12.35%，相比于PT8 則達(dá)到了60.62%。因此，采用混合截面設(shè)計(jì)的星形混合多胞管表現(xiàn)出了明顯的性能優(yōu)勢(shì)，通過(guò)協(xié)同效應(yīng)額外吸收的能量會(huì)隨著N的增加而增加，薄壁管的綜合耐撞性得到了有效改善。

表2 三種薄壁管的耐撞性指標(biāo)值Table 2 Crashworthiness indicators of three thin-walled tubes

2.1.2 變形模式

選取N=8 時(shí)，三種薄壁管的變形過(guò)程進(jìn)行分析，如圖8 所示，壓縮位移d的記錄點(diǎn)分別為總位移的10%、30%、50%和70%，圖中的lobes 表示折疊波數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，三種薄壁管的壓潰褶皺均從初始接觸的上端逐步發(fā)展，隨著塑性坍塌過(guò)程的進(jìn)行，相鄰管壁的變形相互干擾、交替折疊，表現(xiàn)出漸進(jìn)式折疊變形模式。當(dāng)d=77 mm 時(shí)，三種薄壁管最終產(chǎn)生的折疊波數(shù)量有所不同，PT8 和ST8 分別產(chǎn)生了3 個(gè)和4 個(gè)折疊波數(shù)，而SHM8 的折疊波數(shù)達(dá)到4～5 個(gè)。通過(guò)對(duì)SHM8 變形過(guò)程細(xì)節(jié)的觀察，發(fā)現(xiàn)其折疊波的形成伴隨著混合截面之間強(qiáng)烈的協(xié)同效應(yīng)：內(nèi)外兩層管壁同時(shí)受壓并發(fā)生塑性屈曲，內(nèi)層的星形管壁對(duì)外層的多邊形管壁具有約束作用，限制其延伸與扭轉(zhuǎn)，從而縮短了折疊波長(zhǎng)度，獲得了產(chǎn)生更多折疊波數(shù)量的潛力。

圖8 PT8、ST8 和SHM8 的變形過(guò)程Fig.8 Deformation processes of PT8, ST8 and SHM8

圖9 全方位比較了三種薄壁管壓潰后（d=77 mm）的頂面、側(cè)面和剖面變形視圖，從中可以看到，薄壁管產(chǎn)生的折疊波數(shù)量與多邊形邊數(shù)N有著密切的關(guān)系，當(dāng)N=4 時(shí)折疊波數(shù)最少，N=6 時(shí)數(shù)量居中，而當(dāng)N=8 時(shí)折疊波的數(shù)量最多。同時(shí)，混合截面的協(xié)同效應(yīng)增強(qiáng)了管的折疊變形能力，星形混合多胞管的折疊波數(shù)要比多邊形薄壁管多出1～2 個(gè)，材料利用效率明顯提高。折疊波的數(shù)量決定了薄壁管在壓潰過(guò)程中形成的塑性鉸數(shù)，對(duì)于管的吸能性能有著直接性的影響[15]。綜上所述，協(xié)同效應(yīng)在變形模式中的體現(xiàn)，歸因于內(nèi)外兩層管壁的同步變形，以及管壁之間形成的約束作用，并取決于多邊形邊數(shù)N的大小。隨著N的增加，參與折疊變形的角單元數(shù)量隨之增多，內(nèi)外壁接觸的面積加大，促進(jìn)了塑性鉸的形成，耗散沖擊動(dòng)能的能力顯著提升。

圖9 三種薄壁管壓潰后的變形視圖Fig.9 Deformation views of three thin-walled tubes after collapse

2.2 參數(shù)分析

2.2.1 壁厚對(duì)耐撞性的影響

壁厚的大小決定了薄壁管的剛度，因此，有必要討論壁厚對(duì)星形混合多胞管耐撞性的影響。壁厚的變化范圍定義在0.8～1.6 mm 之間，星形角度α 固定為120°。如圖10 所示，星形混合多胞管的Fp和Fˉ 會(huì)隨著壁厚的增加而呈現(xiàn)出線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)，且與多邊形的邊數(shù)N有關(guān)，N越大，曲線的增長(zhǎng)幅度就越大。其中，SHM8 的Fp在壁厚1.6 mm 時(shí)達(dá)到了最高的106.56 kN，比起壁厚0.8 mm 時(shí)提升了157.58%，說(shuō)明該管在初始階段的承載能力得到了明顯改善。如圖11 所示，壁厚的增加對(duì)于提高星形混合多胞管的η和a同樣有著促進(jìn)的作用。研究發(fā)現(xiàn)，星形混合多胞管在N=8 時(shí)的吸能效率明顯優(yōu)于N=4 和N=6 時(shí)。SHM8 的 η 最大值出現(xiàn)在壁厚1.4 mm 時(shí)，達(dá)到了83.52%，之后有所減小，故星形混合多胞管的 η 存在上限，繼續(xù)增加壁厚則不利于獲得較好的承載穩(wěn)定性。此外，SHM8 的a在壁厚1.6 mm 時(shí)取得最大值31.20 kJ/kg，比起壁厚0.8 mm 時(shí)多了41.68%，相較于同等厚度情況下的SHM4 高出69.03%?？梢哉J(rèn)為，壁厚會(huì)對(duì)星形混合多胞管的能量吸收產(chǎn)生顯著的影響，適當(dāng)?shù)脑黾颖诤窕蛟黾佣噙呅芜厰?shù)N，都是提升耐撞性的有效方法。

圖10 不同壁厚條件下星形混合多胞管的初始峰值碰撞力 Fp 和平均碰撞力FˉFig.10 Initial peak impact force ( Fp ) and average impact force ( Fˉ ) of the SHM tubes with different wall thicknesses

2.2.2 星形角度對(duì)耐撞性的影響

星形角度是星形混合多胞管特有的參數(shù)指標(biāo)，具備一定的研究意義。星形角度α 的變化范圍定義在100°～140°之間，壁厚t固定為1.0 mm。從圖12 中不難發(fā)現(xiàn)，隨著星形角度的增加，F(xiàn)p和Fˉ 出現(xiàn)了小幅度的下降。該現(xiàn)象可從幾何學(xué)層面并結(jié)合折疊變形機(jī)理[25]進(jìn)行解釋?zhuān)切谓嵌鹊脑黾邮沟忙?角兩側(cè)折邊趨向于平直，由折邊組成的角單元約束變形的效果減弱，進(jìn)而降低了角單元膜能量的耗散水平。其中，對(duì)于SHM8 的Fˉ 影響最為突出，當(dāng)α＞120°后，SHM8 的Fˉ 下降幅度明顯大于SHM4 和SHM6，SHM8 在α=140°時(shí)的Fˉ 相較于α=100°時(shí)減小了17.70%，同等情況下，SHM4 只減小了6.85%。由此可知，星形角度的變化對(duì)于N較小的星形混合多胞管影響不顯著。此外，如圖13 所示，多邊形邊數(shù)N與吸能效率之間的規(guī)律并沒(méi)有改變，SHM8 的a依然優(yōu)于SHM4 和SHM6。但值得注意的是，星形混合多胞管的η和a會(huì)隨著星形角度的增加表現(xiàn)出先增加后減小，在α=120°時(shí)取得最大值。因此，星形混合多胞管最佳的星形角度為120°，角度過(guò)大或過(guò)小都不利于能量吸收。

圖12 不同星形角度條件下星形混合多胞管的初始峰值碰撞力 Fp 和平均碰撞力FˉFig.12 Initial peak crushing force ( Fp ) and average impact force ( Fˉ ) of the SHM tubes with different star angles

圖13 不同星形角度條件下星形混合多胞管的碰撞載荷效率 η 和比吸能aFig.13 Efficiency of impact load (η) and specific absorbed energy (a) of the SHM tubes with different star angles

2.2.3 幾何參數(shù)變化時(shí)的變形模式

圖14(a)給出了不同壁厚條件下星形混合多胞管壓潰后的變形視圖?？梢钥闯?，由于壁厚的增加，星形混合多胞管的剛度得到了明顯提升，管壁抵抗彎曲變形的能力隨之增強(qiáng)。然而，壓潰后產(chǎn)生的折疊波數(shù)量會(huì)因N的不同，而表現(xiàn)出不同程度的減少。SHM4 和SHM6 的折疊波數(shù)量變化較小，而SHM8 在t=1.6 mm 時(shí)的折疊波數(shù)要比壁厚為0.8 mm 時(shí)減少了2 個(gè)。同時(shí)注意到，SHM8 在壁厚1.6 mm 時(shí)折疊波的規(guī)律性較差，這也是其 η 下降的主要原因，因此，薄壁管的壁厚不宜太大。圖14(b)比較了星形角度變化時(shí)的變形情況，視圖上的差異主要發(fā)生在橫截面處，較小的星形角度促進(jìn)了管內(nèi)部空間的利用率，有利于保持良好的變形穩(wěn)定性。在對(duì)折疊波數(shù)量的影響上，SHM4 和SHM6 基本不變，只有SHM8 在α＞120°后，折疊波的數(shù)量減少了1 個(gè)，故SHM8 對(duì)幾何參數(shù)的變化最為敏感。總體來(lái)說(shuō)，星形角度的變化產(chǎn)生的影響相對(duì)較小，而壁厚的變化對(duì)于星形混合多胞管耐撞性的影響非常顯著。

圖14 不同幾何參數(shù)的星形混合多胞管變形視圖Fig.14 Deformation views of the SHM tubes with different geometric parameters

3 理論預(yù)測(cè)

3.1 平均碰撞力公式

理論預(yù)測(cè)是一種便捷的手段，可用于分析薄壁管在特定階段的力學(xué)性能。本節(jié)基于簡(jiǎn)化超折單元理論[25]，推導(dǎo)星形混合多胞管在漸進(jìn)式折疊變形模式下的平均碰撞力理論公式。

如圖15 所示，假設(shè)星形混合多胞管的每個(gè)折疊波長(zhǎng)度為2H，由塑性鉸線和折疊區(qū)域組成[25]。根據(jù)能量守恒，外力做功等于薄壁管塑性變形產(chǎn)生的總彎曲能量B和總膜能量M，即

圖15 折邊的變形示意圖Fig.15 Schematic of the flange deformation

式中： μ 為有效碰撞因數(shù)，其取值為0.7[15]。

彎曲能量B取決于折邊的轉(zhuǎn)動(dòng)角度 θ 和固定鉸線的長(zhǎng)度b，其計(jì)算公式如下[25]

式中：m0為全塑性彎矩，m0=σ0t2/4 ，t為壁厚， σ0為材料的流動(dòng)應(yīng)力[15,29]， σ0=(σy+σu)/2 ， σy為初始屈服應(yīng)力， σu為極限應(yīng)力。

在理想的軸向變形過(guò)程中，折邊受壓后會(huì)完全變平，即 θ =π/2 。因此，總彎曲能量B為

式中：C為總截面的周長(zhǎng)。

膜能量M是角單元在發(fā)生塑性屈曲時(shí)耗散的能量，為此，對(duì)星形混合多胞管的角單元進(jìn)行了劃分，如圖16 所示。共有兩種類(lèi)型的角單元，即二面角單元（2-panel）和四面角單元（4-panel）。表3 給出了星形角度α=120°時(shí)，β 和γ 的角度值。

表3 角單元的角度Table 3 Angle of corner elements

圖16 角單元?jiǎng)澐峙c3D 視圖Fig.16 Classification of corner elements and 3D views

二面角單元(2-panel)作為最常見(jiàn)的角單元，其膜能量M2計(jì)算公式為[15,29]

式中：f(α)=[1.1tan(α/2)]/[tan(α/2)+0.05/tan(α/2)] 。

四面角單元（4-panel）可將其視為兩個(gè)角度不同的二面角單元之間的疊加，其模能量M4為

式中：f(β)=1.1tan(β/2)/[tan(β/2)+0.05/tan(β/2)]，f(γ)=1.1tan(γ/2)/[tan(γ/2)+0.05/tan(γ/2)] 。

接著，將上述的角單元膜能量計(jì)算公式乘以對(duì)應(yīng)的角單元數(shù)量N（即多邊形邊數(shù)N），可得總膜能量

即

將式(7)和式(11)代入式(5)，得

根據(jù)靜力平衡條件，令 ?Fˉ/?H=0 ，由此可求出半波長(zhǎng)

3.2 誤差對(duì)比

圖17 對(duì)星形混合多胞管的平均碰撞力理論公式的精確度進(jìn)行了驗(yàn)證，并標(biāo)注了最大誤差。結(jié)果表明，理論預(yù)測(cè)值與有限元模擬值的吻合度較好，誤差在合理范圍內(nèi)，最大誤差均未超過(guò)6%。同時(shí)也注意到，隨著壁厚的增加，二者之間的誤差可能會(huì)進(jìn)一步加大。因此，該理論公式可以有效地預(yù)測(cè)出星形混合多胞管的平均碰撞力變化趨勢(shì)，且在壁厚較小時(shí)的預(yù)測(cè)精確度更高。

圖17 理論預(yù)測(cè)值與有限元模擬值的對(duì)比Fig.17 Comparison between theoretical predictions and finite element simulations

4 結(jié) 論

分別采用數(shù)值模擬和理論預(yù)測(cè)的方法，研究了星形混合多胞管在軸向加載條件下的耐撞性，主要得出以下結(jié)論。

(1) 星形混合多胞管的多邊形截面與星形截面之間產(chǎn)生了協(xié)同效應(yīng)，額外吸收了更多的沖擊動(dòng)能。此外，星形混合多胞管的協(xié)同比均超過(guò)了30%，當(dāng)多邊形邊數(shù)N=6 時(shí)，混合截面的協(xié)同性最好，協(xié)同比達(dá)到了33.43%。

(2) 星形混合多胞管的耐撞性與多邊形邊數(shù)N有著密切的關(guān)系，N的增加有助于形成更多的折疊波數(shù)，并使碰撞力曲線和能量吸收效率得到了有效的改善。當(dāng)N=8 時(shí)，星形混合多胞管獲得了最佳的綜合耐撞性。

(3) 壁厚對(duì)于星形混合多胞管的耐撞性有顯著的影響，初始峰值碰撞力和平均碰撞力會(huì)隨著壁厚的增加而線性增長(zhǎng)。SHM8 在壁厚為1.6 mm 時(shí)的能量吸收值最高，最大比吸能為31.20 kJ/kg。

(4) 星形角度的變化對(duì)耐撞性的影響相對(duì)較小，星形混合多胞管的碰撞荷載效率和比吸能會(huì)隨著星形角度的增加表現(xiàn)出先增大后減小，在星形角度α=120°時(shí)擁有最佳的碰撞荷載效率和比吸能。