磁懸浮開關(guān)磁阻電機二階滑模直接懸浮力控制

林文威,孫玉坤,袁 野

(1.國網(wǎng)浙江省瑞安市供電有限責(zé)任公司,溫州325200;2.江蘇大學(xué)電氣學(xué)院,鎮(zhèn)江212013)

0 引 言

磁懸浮開關(guān)磁阻電機(以下簡稱BSRM)借鑒磁軸承原理,利用定轉(zhuǎn)子齒間既產(chǎn)生懸浮力又產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的特點,實現(xiàn)了電機的轉(zhuǎn)動和懸浮,具有運行高效、成本低、容錯能力強和磁軸承能耗低、無機械損耗的特點[1-4]。

目前,相關(guān)學(xué)者先后進行了雙繞組BSRM設(shè)計[6]、模型推導(dǎo)[5]、控制系統(tǒng)[7]、功率變換器[8]的研究。然而,這種定子齒極同時疊繞兩套繞組的電機結(jié)構(gòu)對生產(chǎn)工藝有較高要求;運行時需要同時控制兩套繞組,兩套繞組利用率不高[9]。其次,懸浮繞組采用三相半橋電路,容易產(chǎn)生零點電壓漂移、電流紋波等問題[10]。

針對雙繞組BSRM的上述缺陷,12/8的單繞組BSRM拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)被相關(guān)學(xué)者提出。單繞組BSRM簡化了BRSM繞組結(jié)構(gòu),單個定子齒對應(yīng)一疊繞組,通過同一自由度上的繞組不對稱勵磁,生成轉(zhuǎn)矩和懸浮力,具有運行高效、控制靈活等優(yōu)點。

然而,單繞組BSRM作為一種特殊的開關(guān)磁阻電機,其結(jié)構(gòu)仍然采用“凸極式”,延續(xù)了系統(tǒng)運行中轉(zhuǎn)矩和懸浮力的脈動現(xiàn)象。近年來,針對上述問題相關(guān)學(xué)者開啟了基礎(chǔ)研究,文獻[7]考慮機械不平衡,基于最小均方算法的自適應(yīng)凹陷濾波器進行轉(zhuǎn)子位移補償,減小了懸浮力脈動;文獻[11]在此基礎(chǔ)上,基于坐標(biāo)變換和低通濾波器進行轉(zhuǎn)子偏心補償,實現(xiàn)了不同轉(zhuǎn)速下懸浮力脈動抑制;文獻[12]推導(dǎo)了系統(tǒng)所需徑向力,提出了一種徑向力最小的控制算法,實現(xiàn)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮。磁懸浮電機的轉(zhuǎn)矩和懸浮力脈動研究對單繞組BSRM具有借鑒意義,文獻[13]提出了永磁型無軸承交替極電機的直接懸浮力控制(以下簡稱DSFC),實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮;文獻[14]提出了無軸承永磁薄片電動機直接轉(zhuǎn)矩(以下簡稱DT)和DSFC,實現(xiàn)了轉(zhuǎn)矩和懸浮力的同步抑制。

BSRM的電磁場較為復(fù)雜,相關(guān)研究采用忽略磁飽和的方法進行懸浮力和轉(zhuǎn)矩的建模。由于其轉(zhuǎn)矩和懸浮力存在耦合,方波控制可簡化推導(dǎo)解耦控制算法,假設(shè)電機運行在線性區(qū)間,但忽略了磁飽和,使結(jié)果具有局限性[2,15]。單繞組BSRM的DT/DSFC不需要推導(dǎo)復(fù)雜的解耦算法,可以考慮磁飽和和非線性的影響。

同時,由于BSRM的磁飽和、非線性特性對控制器提出了更高要求,在內(nèi)部變化和外部擾動的作用下極易導(dǎo)致PID控制失效?；？刂凭邆鋵崿F(xiàn)簡單、不依賴精確的數(shù)學(xué)模型、魯棒性強等諸多優(yōu)點,廣泛應(yīng)用于電機的控制領(lǐng)域[16-17]。然而,傳統(tǒng)滑模存在控制不連續(xù)和固有抖振問題,不適用于磁懸浮電機的穩(wěn)定懸浮。高階滑模在一階滑模的基礎(chǔ)上,把非連續(xù)輸入轉(zhuǎn)移到導(dǎo)數(shù)中,消除了抖振問題。Levant[18]首先提出了二階滑模(以下簡稱SOSM)超螺旋算法,該算法無需滑模面一階導(dǎo)數(shù)信息,具有設(shè)計簡單、收斂速度快的優(yōu)點,但是該算法僅適用于相對階為一的系統(tǒng)。

本文以單繞組BSRM為研究對象,以減小轉(zhuǎn)矩和懸浮力脈動、實現(xiàn)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮為目標(biāo),研究了DT與二階滑模直接懸浮力控制(以下簡稱SOSMDSFC)。采用五電平功率變換器,構(gòu)建分電壓輸入模塊,實現(xiàn)單繞組BSRM的DT/DSFC。改進滑模變量,構(gòu)建適用于二階系統(tǒng)的超螺旋算法,基于此算法設(shè)計轉(zhuǎn)子位移控制器,實現(xiàn)SOSM-DSFC。最后,通過仿真驗證了所提控制方法的有效性。

1 單繞組BSRM的DT/DSFC

1.1 單繞組BSRM結(jié)構(gòu)

三相12/8的單繞組BSRM,分別擁有8個轉(zhuǎn)子極、12個定子極。A相由A1,A2,A3,A4四個繞組構(gòu)成,A,B,C三相繞組沿逆時針相隔30°分布。

如圖1所示,在同一自由度上兩個定子極的繞組的通入差異電流,得到不對稱徑向力合成懸浮力,實現(xiàn)轉(zhuǎn)子在對應(yīng)自由度上的主動懸浮控制。同理,可以進行另一個自由度上的轉(zhuǎn)子位置控制。

單繞組BSRM關(guān)于輸入量轉(zhuǎn)矩電流ima,懸浮力電流isa1,isa2的數(shù)學(xué)模型如下:

圖1 單繞組BSRM分電流模型

式中:Jt為轉(zhuǎn)動慣量;Kfα,Kfβ為懸浮力系數(shù),以電流為輸入量的單繞組BSRM數(shù)學(xué)模型具有強耦合性。

1.2 單繞組BSRM分電壓控制

假設(shè)一個控制周期內(nèi)繞組電流不變,根據(jù)機電能量轉(zhuǎn)化原理,得到單繞組BSRM轉(zhuǎn)矩方程:

式中:i為繞組電流;ψa為A相總磁鏈;θ為轉(zhuǎn)子角度。繞組電流和磁鏈的關(guān)系如下:

式中:R是電阻值;U表示母線電壓;ω表示電機轉(zhuǎn)速;L是電感值。

磁鏈和電流保持一個時延的關(guān)系,磁鏈變化時繞組電流近似為一個恒定值,結(jié)合式(2)和式(3),通過控制磁鏈沿θ變化的速度及方向,從而實現(xiàn)對轉(zhuǎn)矩的控制。

由麥克斯韋應(yīng)力原理可以得到,單繞組BSRM的單個齒極徑向力表示為:

式中:μ0表示真空磁導(dǎo)率;S表示定、轉(zhuǎn)子極重合面積。針對A1齒極,根據(jù)磁鏈計算方程,結(jié)合式(4)得到A1磁極上徑向力表達式,同理,可以得到其余齒極徑向力:

式中:ψA1為單個齒極產(chǎn)生的磁鏈;N為繞組匝數(shù)。結(jié)合單繞組BSRM磁鏈公式:

構(gòu)建單繞組BSRM分電壓控制模型,如圖2所示。

將單個定子繞組上等效成懸浮力電壓分量Usa和轉(zhuǎn)矩電壓分量Uma,其中任意時刻同相的轉(zhuǎn)矩電壓分量相同,同一自由度上的懸浮力電壓分量,互為相反數(shù)。

圖2 單繞組BSRM分電壓模型

將懸浮力電壓Usa、轉(zhuǎn)矩電壓Uma引入磁鏈計算公式,得到A相4個磁極上的磁鏈表達式:

式中:ψA1,ψA2,ψA3,ψA4表示A1,A2,A3,A4產(chǎn)生的磁鏈。根據(jù)式(7)得到A相磁鏈:

分析式(2)和式(8),可以看出,單輸入量Uma可以控制輸出轉(zhuǎn)矩,解決了傳統(tǒng)單繞組BSRM控制模型難以解耦的問題。以α方向為例,根據(jù)式(5)得到α方向的懸浮力公式:

將式(7)代入式(9),得到關(guān)于電壓的懸浮力數(shù)學(xué)公式:

根據(jù)式(2)、式(8)確定轉(zhuǎn)矩電壓Uma,建立了懸浮力和懸浮力電壓分量Usa的一對一輸入輸出關(guān)系。

由此可以看出,將單個定子極上電壓等效為懸浮力電壓分量Usa、轉(zhuǎn)矩電壓Uma,分別對應(yīng)輸出轉(zhuǎn)矩和懸浮力,建立分電壓控制,可實現(xiàn)單繞組BSRM解耦。

1.3 單繞組BSRM的DT/DSFC原理

在單繞組BSRM分電壓控制的基礎(chǔ)上,根據(jù)式(8),同相繞組上的總磁鏈只和轉(zhuǎn)矩電壓有關(guān),對單繞組BSRM建立空間電壓矢量。圖3為單繞組BSRM空間電壓矢量圖。

表1為轉(zhuǎn)矩電壓合成表。空間電壓矢量U1,U2,U3,U4,U5,U6由三個轉(zhuǎn)矩電壓矢量合成,對應(yīng)的Uma,Umb,Umc開關(guān)狀態(tài)如表1所示。

圖3 單繞組BSRM空間電壓矢量圖

表1 轉(zhuǎn)矩電壓合成表

圖4為單繞組BSRM等效磁鏈?zhǔn)疽鈭D。根據(jù)合成磁鏈的方向,判斷磁鏈所在扇形區(qū)域。

圖4 單繞組BSRM磁鏈變化

表2為空間電壓矢量選擇表。磁鏈和轉(zhuǎn)矩的變化組合有四種,可以通過空間電壓矢量進行控制,根據(jù)圖4判斷磁鏈所在的扇形區(qū)域,再通過表2選擇空間電壓矢量。

表2 空間電壓矢量選擇

單繞組BSRM的懸浮力根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度變化周期為45°,為了防止懸浮力斷續(xù),每相懸浮力電壓導(dǎo)通周期為15°。根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力原理可知,定子和轉(zhuǎn)子極重合與徑向力成正比,所以選擇懸浮力電壓分量的開通區(qū)間為(-7.5°,7.5°]。分析式(10),懸浮力電壓Usa為狀態(tài)1時可以增大懸浮力,為狀態(tài)-1時則相反,在懸浮力電壓不導(dǎo)通區(qū)間,為狀態(tài)0。建立懸浮力電壓狀態(tài)選擇如表3所示,根據(jù)轉(zhuǎn)子位置角和懸浮力狀態(tài)參考表3進行懸浮力電壓控制。

表3 懸浮力電壓狀態(tài)選擇

單繞組BSRM方波控制算法中的三電平功率變換器僅提供1,0,-1電平狀態(tài),而單繞組BSRM同時輸入懸浮力電壓分量和轉(zhuǎn)矩電壓分量時,每個極組合后共存在-2,-1,0,-1,-2五種電平狀態(tài),難以支撐DT/DSFC策略的實現(xiàn)。五電平拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),具備多種勵磁速率,文獻[12]將其應(yīng)用在開關(guān)磁阻電機上,抑制了轉(zhuǎn)矩脈動,提高了控制效率,可以滿足單繞組BSRM的DT/DSFC的需要。

圖5 五電平拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)導(dǎo)通圖

圖5 為五電平拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)電壓狀態(tài)導(dǎo)通圖。電壓狀態(tài)量SA1和懸浮力電壓狀態(tài)量SA1s、轉(zhuǎn)矩電壓狀態(tài)量SA1m有如下關(guān)系:

圖5(a)為SA1=2導(dǎo)通圖;T1,T2,T3,T4開通;電壓值為2U。圖5(b)為SA1=1導(dǎo)通圖;T1,T2,T3開通;T4關(guān)斷;電壓值為U。圖5(c)為SA1=0導(dǎo)通圖;T3,T4開通;T1,T2關(guān)斷;電壓值為0。圖5(d)為SA1=-1導(dǎo)通圖;T2開通;T1,T3,T4關(guān)斷;電壓值為-U。圖5(e)為SA1=-2導(dǎo)通圖;T1,T2,T3,T4均關(guān)斷;電壓值為-2U。

1.4 DT/DSFC控制框圖

圖6為單繞組BSRM的DT/DSFC原理圖。目標(biāo)轉(zhuǎn)速與實際轉(zhuǎn)矩通過PI控制器得到參考轉(zhuǎn)矩,經(jīng)轉(zhuǎn)矩滯環(huán)控制器輸入開關(guān)信號邏輯判斷模塊,參考磁鏈和實際磁鏈經(jīng)磁鏈滯環(huán)控制器同樣輸入到開關(guān)信號邏輯判斷模塊。兩個徑向自由度的目標(biāo)位置和實際位置分別經(jīng)PID控制器輸出參考懸浮力,與實際懸浮力經(jīng)懸浮力滯環(huán)控制器輸入開關(guān)信號邏輯判斷模塊。開關(guān)信號邏輯判斷模塊輸出五電平拓?fù)淇刂菩盘?實現(xiàn)單繞組BSRM的DT/DSFC控制。

圖6 單繞組BSRM的DT/DSFC原理圖

2 SOSM-DSFC

為了進一步抑制由懸浮力脈動導(dǎo)致的轉(zhuǎn)子徑向位移的抖動,增強轉(zhuǎn)子位置的魯棒性,提高轉(zhuǎn)子位置懸浮精度,利用超螺旋算法為單繞組BSRM的DT/DSFC轉(zhuǎn)矩子系統(tǒng)設(shè)計高階滑模控制器。

2.1 超螺旋算法

考慮到單輸入不確定非線性系統(tǒng):

式中:x表示狀態(tài)量,u表示系統(tǒng)輸入;f(x),g(x)表示非定性函數(shù);s(x,t)表示滑模變量。SOSM超螺旋算法如下:

式中:u1(t)表示滑模變量;v(t)表示滑模變量對時間的導(dǎo)數(shù)。當(dāng)s0趨于無窮大,控制器簡化如下:

當(dāng)ρ=0.5時為SOSM。

2.2 SOSM位移控制器

以α方向為例,單繞組BSRM的徑向位移方程可以表示如下:

式中:r為轉(zhuǎn)子在α方向上的徑向位移;v為轉(zhuǎn)子在α方向運動分速度;FL為α方向上外界干擾力;M為電機轉(zhuǎn)子和負(fù)載的質(zhì)量;χ為徑向摩擦系數(shù)。SOSM中的超螺旋算法只需要關(guān)于滑動量s的信息,不需要s關(guān)于時間導(dǎo)數(shù)s·的信息,然而該算法只適用于相對階為1的情形,而式(17)的相對階為2。因此需要對傳統(tǒng)的滑模面進行改進[6],引入位移誤差的高階導(dǎo)數(shù),不同于原算法滑模面s=e,設(shè)計新的滑模面如下:

為設(shè)計超螺旋控制器,對設(shè)計的滑模面求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù),代入徑向位移方程,可以得到如下關(guān)系式:

式中:ud表示干擾項,設(shè)計控制律:

定理1:一階非線性微分方程如式(21)所示,假設(shè)不確定項f(t)≤κ}z1|1/2,?t≥0,其中:κ=滿足如下條件:

且λ1,λ2為大于零的常數(shù),則s,s·可以在有限時間內(nèi)收斂到零。

將式(17)代入式(20)得:

分析式(21)和式(23)可以看出,兩者的微分方程形式完全一樣,證明控制律式(20)作用下式(23)的解s,s·可以在有限時間內(nèi)收斂到零,其穩(wěn)定性可參考文獻[14],此處不再進行詳述。

3 仿真結(jié)果分析

3.1 DT/DSFC仿真結(jié)果分析

為了驗證單繞組BSRM的DT/DSFC有效性,針對同一臺12/8的單繞組BSRM樣機,基于MATLAB/Simulink進行仿真實驗。樣機的基本參數(shù)如表4所示。參考磁鏈設(shè)為0.015 Wb,磁鏈的滯環(huán)比較寬度為0.001 Wb,懸浮力的滯環(huán)寬度為0.1 N,轉(zhuǎn)矩的滯環(huán)寬度為0.1 N·m,單繞組BSRM帶負(fù)載起動,外加負(fù)載為0.3 N·m,目標(biāo)轉(zhuǎn)速設(shè)定為6 000 r/min,徑向干擾力為0。

表4 樣機參數(shù)

圖7為單繞組BSRM的DT/DSFC電流波形。和開關(guān)磁阻電機的DTC電流波形相近,同相繞組電流會有細微的差別,從而產(chǎn)生懸浮力。由于電流在此系統(tǒng)中并不是一個控制量,故電流呈現(xiàn)不規(guī)整形狀。

圖7 DT/DSFC的單繞組BSRM電流

圖8 為傳統(tǒng)的方波控制和DT/DSFC的單繞組BSRM起動轉(zhuǎn)速波形。方波控制的單繞組BSRM轉(zhuǎn)速在2.5 s上升到穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速,穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速為5 503 r/min;DT/DSFC在1.5 s上升到穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速,最后保持5 988 r/min的轉(zhuǎn)速運行,與傳統(tǒng)的方波控制策略相比較,動態(tài)響應(yīng)速度提高了40%,消除了485 r/min的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速誤差。DT/DSFC可以實現(xiàn)單繞組BSRM轉(zhuǎn)速的精確控制,并且提高了轉(zhuǎn)速動態(tài)性能。

圖8 DT/DSFC和方波控制的轉(zhuǎn)速動態(tài)響應(yīng)

圖9 為單繞組BSRM轉(zhuǎn)矩脈動。對比圖9(a)、圖9(b)可以看出,DT/DSFC可以有效抑制轉(zhuǎn)矩脈動。

圖9 單繞組BSRM轉(zhuǎn)矩脈動

圖10 為單繞組BSRM的DT/DSFC和方波控制的懸浮力脈動波形。對比圖10(a)、圖10(c)看出,DT/DSFC的α方向上懸浮力在-11～11 N變動,抑制了懸浮力脈動。對比圖10(b)、圖10(d)看出,DT/DSFC的β方向上懸浮力在-11～11 N變動,抑制了懸浮力脈動。

圖10 DT/DSFC和方波控制的懸浮力脈動

相對于三相合成懸浮力,單相懸浮力脈動對定子形變和噪聲具有更直接的影響。圖11(a)為傳統(tǒng)方波控制的A1,B1,C1定子齒上的懸浮力,懸浮力在-11～11 N區(qū)間波動,脈動幅值為22 N;圖11(b)為DT/DSFC的A1,B1,C1定子齒上的懸浮力,懸浮力在-4～6 N區(qū)間波動,脈動幅值為10 N,懸浮力脈動減小了54.5%。

圖11 單繞組BSRM三相懸浮力

圖12 為單繞組BSRM的DT/DSFC和方波控制的轉(zhuǎn)子位移波形。對比圖10(a)、圖10(c)看出,DT/DSFC的α方向上轉(zhuǎn)子位移在-0.04～-0.01 mm變動。對比圖10(b)、圖10(d)看出,DT/DSFC的β方向上懸浮力在0.005～0.035 mm變動,DT/DSFC實現(xiàn)了單繞組BSRM兩徑向自由度高精度位置控制,抑制了轉(zhuǎn)子位移抖動。

圖12 DT/DSFC和方波控制的轉(zhuǎn)子位移

3.2 DT/SOSM-DSFC結(jié)果分析

在DT/DSFC策略的基礎(chǔ)上,引入SOSM位移控制器,基于MATLAB/Simulink仿真平臺建立控制模型,考慮磁飽和的影響,利用有限元仿真數(shù)據(jù),建立單繞組BSRM三維插值非線性數(shù)學(xué)模型,如圖13所示,保持仿真參數(shù)不變,展開相關(guān)研究。

圖14(a)為DT/SOSM-DSFC在α方向上懸浮力脈動波形,懸浮力范圍為-3～4 N,脈動幅度為7 N;圖14(c)為DT/SOSM-DSFC在β方向上懸浮力脈動波形,懸浮力范圍為-3～4 N,脈動幅度為7 N;α,β方向相較于圖10(c)、圖10(d)的DT/DSFC懸浮力脈動均減小了46.1%。

圖14(b)、圖14(d)為 DT/SOSM-DSFC 在α,β方向上轉(zhuǎn)子徑向位移波形,轉(zhuǎn)子幾乎穩(wěn)定在中心位置,只存在微小的抖動。

圖13 單繞組BSRM三維插值非線性數(shù)學(xué)模型

圖14 DT/SOSM-DSFC的單繞組BSRM懸浮力及轉(zhuǎn)子位移

圖15 為α方向轉(zhuǎn)子位移起浮響應(yīng)波形。給定α方向轉(zhuǎn)子初始位移為0.05 mm,目標(biāo)轉(zhuǎn)子位置為0;圖15(a)為DT/DFSC的α方向轉(zhuǎn)子位移起浮響應(yīng)波形,轉(zhuǎn)子在1 s后回到穩(wěn)定狀態(tài),但是在起浮過程中出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象,最大超調(diào)位移為0.065 mm;圖15(b)為DT/SOSM-DFSC的α方向轉(zhuǎn)子位移起浮響應(yīng)波形,轉(zhuǎn)子在1 s內(nèi)回到穩(wěn)定狀態(tài),只存在微小的位移抖動?？梢?DT/SOSM-DFSC具有良好的轉(zhuǎn)子位移起浮響應(yīng)能力。

圖15 單繞組BSRM位移起浮響應(yīng)

為了驗證控制策略的魯棒性,對系統(tǒng)施加徑向干擾力,觀察轉(zhuǎn)子徑向位移波動。單繞組BSRM徑向穩(wěn)定懸浮后,1 s時在α方向上施加5 N的干擾力,圖16為徑向干擾下DT/DSFC轉(zhuǎn)子位移、懸浮力波形。圖16(a)為轉(zhuǎn)子位移波形,轉(zhuǎn)子中心位置在徑向干擾下出現(xiàn)的位移偏差為0.06 mm,且在一定時間內(nèi)沒有回到原先位置;圖16(b)為徑向干擾下對應(yīng)的懸浮力波形,懸浮力在1 s變大,且懸浮力脈動范圍放大到16 N。

圖16 徑向干擾下DT/DSFC轉(zhuǎn)子位移、懸浮力擾動波形

圖17 為徑向干擾下DT/SOSM-DSFC轉(zhuǎn)子位移、懸浮力波形。圖17(a)為轉(zhuǎn)子位移波形,轉(zhuǎn)子中心位置在徑向干擾下出現(xiàn)的位移偏差為0.012 mm,在1.25 s回到目標(biāo)位置;圖17(b)為懸浮力波形,在突加干擾力下懸浮力脈動在短時間內(nèi)出現(xiàn)放大的現(xiàn)象,穩(wěn)態(tài)脈動幅值與未加干擾保持一致。

圖17 徑向干擾下DT/SOSM-DSFC轉(zhuǎn)子位移、懸浮力擾動波形

4 結(jié) 語

本文研究了單繞組BSRM的DT/SOSM-DSFC控制,在DT/DSFC的基礎(chǔ)上,引入位移高階導(dǎo)數(shù)項改進超螺旋算法,基于此算法設(shè)計了轉(zhuǎn)子位移控制器。仿真結(jié)果表明,與傳統(tǒng)的方波控制比較,DT/DSFC可以消除轉(zhuǎn)矩和懸浮力脈動,DT/SOSM-DSFC進一步消除了懸浮力脈動,抑制轉(zhuǎn)子位移抖動,提高了轉(zhuǎn)子懸浮精度,增強了動態(tài)懸浮性能,在外界擾動下具有良好的魯棒性。