學(xué)生說(shuō)題：數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培育的項(xiàng)目化實(shí)踐

吳小兵

摘要：在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，可以通過(guò)推行學(xué)生說(shuō)題項(xiàng)目，有意識(shí)地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在準(zhǔn)備階段，需要指導(dǎo)學(xué)生解題方法，做好說(shuō)題示范引領(lǐng)，并且構(gòu)建學(xué)習(xí)組織框架。在實(shí)踐階段，可以通過(guò)自我診斷加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，通過(guò)概括歸納提升學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，通過(guò)條分縷析促進(jìn)學(xué)生對(duì)解題規(guī)律的感悟。

關(guān)鍵詞：學(xué)生說(shuō)題數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)數(shù)學(xué)概念問(wèn)題本質(zhì)解題規(guī)律

數(shù)學(xué)抽象是指從數(shù)量關(guān)系與空間形式中摒棄個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽離出共同的、本質(zhì)的屬性，目的是獲取數(shù)學(xué)研究對(duì)象。數(shù)學(xué)抽象作為形成數(shù)學(xué)概念的必要手段，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，包括從數(shù)量與圖形的復(fù)雜關(guān)系中抽象出一般的規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征。因而，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，反映了人們對(duì)“可能的量的關(guān)系和形式”的認(rèn)識(shí)層次。

近年來(lái)，筆者所在教研團(tuán)隊(duì)一直致力于初中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培育的研究，特別是在解題教學(xué)中，通過(guò)推行學(xué)生說(shuō)題項(xiàng)目，有意識(shí)地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，取得了一定的成效。所謂“說(shuō)題”，是指在學(xué)會(huì)解題的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析，清楚地表達(dá)如何解題，并說(shuō)明相關(guān)依據(jù)、方法，進(jìn)而歸納總結(jié)經(jīng)驗(yàn)性的解題規(guī)律。學(xué)生說(shuō)題不是直接敘述解題過(guò)程，也不是簡(jiǎn)單匯總各種解答方法，實(shí)質(zhì)上是展現(xiàn)自身對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念、知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法等的掌握程度，體現(xiàn)的是從數(shù)學(xué)問(wèn)題中抽離出核心題設(shè)、過(guò)程、結(jié)論等的關(guān)鍵能力。而采取項(xiàng)目化的方式，可以更好地加強(qiáng)學(xué)生說(shuō)題團(tuán)隊(duì)的整體實(shí)踐，能夠更完整地統(tǒng)籌規(guī)劃、明確任務(wù)、實(shí)施評(píng)價(jià)、總結(jié)應(yīng)用等，從而利于研究的深層次開展。

一、學(xué)生說(shuō)題的項(xiàng)目準(zhǔn)備

（一）學(xué)生解題方法指導(dǎo)

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G.波利亞在他給出的“怎樣解題表”中，將數(shù)學(xué)解題過(guò)程分成了四個(gè)步驟：弄清問(wèn)題;找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系，擬訂計(jì)劃;施行計(jì)劃;驗(yàn)算所得到的解。教師在平時(shí)的教學(xué)中，可專門向?qū)W生詳細(xì)地介紹這幾個(gè)步驟，并提出相應(yīng)的要求：首先，學(xué)會(huì)審題，弄清題意，適當(dāng)圈注關(guān)鍵字眼，既讀懂各類顯性信息，又抓準(zhǔn)隱含的命題意圖與涉及的知識(shí)點(diǎn);然后，集中精力探討解題思路，借助畫圖、演算、推理等方式，大膽猜想，小心驗(yàn)證，注重“由因?qū)Ч迸c“執(zhí)果索因”兩方面的結(jié)合，力求形成比較完備的解題思維鏈;有了解題思路，還要準(zhǔn)確、快速地表達(dá)出來(lái)，解題書寫過(guò)程要盡可能做到精練、整潔、美觀;最后，還應(yīng)養(yǎng)成解后反思的習(xí)慣，一方面是快速驗(yàn)算解題過(guò)程，包括糾正計(jì)算錯(cuò)誤，根據(jù)數(shù)感、直覺找出遺漏之處，以及甄別答案是否合理，另一方面是“由樹見林”，建立相關(guān)模型，形成對(duì)應(yīng)經(jīng)驗(yàn)，抽象出一般的解題規(guī)律。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)解題是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的心智過(guò)程，即使再熟悉一般的解題步驟，也并不意味著遇到具體問(wèn)題時(shí)一定能及時(shí)尋求到正確的解題思路，即數(shù)學(xué)解題需要有相當(dāng)程度的思考與積累。教師在平時(shí)的教學(xué)中，還應(yīng)給予學(xué)生適度的訓(xùn)練，讓其研究解題方法，增強(qiáng)解題能力。

（二）教師說(shuō)題示范引領(lǐng)

為了讓學(xué)生更加真切地感知說(shuō)題，盡快進(jìn)入說(shuō)題角色，教師應(yīng)做好示范引領(lǐng)。除了在平時(shí)的解題教學(xué)中就有意識(shí)地加強(qiáng)師生互動(dòng)之外，還應(yīng)擇機(jī)選擇典型問(wèn)題，比較完整地向?qū)W生展示說(shuō)題的實(shí)踐操作過(guò)程。其一般程序主要包括：（1）原題呈現(xiàn);（2）題目立意與背景出處說(shuō)明;（3）解答策略（含參考解答）解釋;（4）蘊(yùn)含的思想方法解讀;（5）拓展引申。

（三）學(xué)習(xí)組織框架構(gòu)建

說(shuō)題需提高學(xué)生的積極性與參與度，所以應(yīng)該建立一定的運(yùn)行框架，以確保組織到位。一般可按數(shù)學(xué)綜合成績(jī)對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行分組，每組6—8人，設(shè)正、副組長(zhǎng)各1名。小組之間應(yīng)盡量做到實(shí)力相當(dāng)，并適當(dāng)兼顧學(xué)生意愿加以調(diào)整，以增強(qiáng)小組的凝聚力。然后，在教室內(nèi)給每個(gè)小組指定集中區(qū)域，各配置一塊小白板，供學(xué)生說(shuō)題時(shí)板演使用。說(shuō)題任務(wù)布置后，一般是先各個(gè)小組在組內(nèi)說(shuō)題，時(shí)機(jī)成熟后教師擇優(yōu)或隨機(jī)抽選部分成員在全班展示說(shuō)題成果。

學(xué)生說(shuō)題應(yīng)堅(jiān)持因材施教的原則，在確保人人參與的基礎(chǔ)上各有側(cè)重。比如，對(duì)于難題，可讓“學(xué)優(yōu)生”完成說(shuō)題的全部環(huán)節(jié)，而“學(xué)困生”只需闡述其中某幾項(xiàng)內(nèi)容;或者在小組內(nèi)采取分工合作的形式，設(shè)法以不同分工調(diào)動(dòng)全體學(xué)生說(shuō)題的積極性，激發(fā)所有層次學(xué)生的求知欲。

二、學(xué)生說(shuō)題的項(xiàng)目實(shí)踐

開展學(xué)生說(shuō)題的關(guān)鍵之一，是讓學(xué)生明確說(shuō)題在學(xué)習(xí)過(guò)程中的意義和作用，弄清本次說(shuō)題的目的和要求，從而引起學(xué)生的重視，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。而說(shuō)題內(nèi)容的選擇要有廣泛性，題目的篩選應(yīng)該具備典型性、靈活性、綜合性等，難度上要先易后難，知識(shí)上要先點(diǎn)后面，程序上要先課本后課外，數(shù)量上要先單一后成批，廣度上要先封閉后開放，并確保各類題型均有涉及。

（一）自我診斷——加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解

作為現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，抽象形成的數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)定理、公式、法則等的基礎(chǔ)。學(xué)生說(shuō)題可作為自我審視、診斷的重要手段，以此發(fā)現(xiàn)對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念理解的不足，加深理解。

例1（2015年江西省中考題改編）已知⊙O是△ABC的外接圓。請(qǐng)根據(jù)下列條件，僅用無(wú)刻度的直尺，分別在圖1和圖2中畫出一條弦，使這條弦將△ABC分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結(jié)論）。

（1）如圖1，AC=BC;

（2）如圖2，直線l與⊙O相切于點(diǎn)D，l∥AB。

本題的說(shuō)題重點(diǎn)如下：

作為一道幾何作圖題，本題與常見的尺規(guī)作圖題最大的區(qū)別是僅允許使用無(wú)刻度的直尺，本題著重考查了圓中相關(guān)概念及有關(guān)定理的應(yīng)用。從“題眼”切入，一是要找“弦”，二是要平分三角形的面積，而最常見的能平分三角形面積的線是其中線，這就要找弦的中點(diǎn)，自然將問(wèn)題引向垂徑定理及其推論。第（1）問(wèn)相對(duì)直接，由AC=BC可知對(duì)應(yīng)的兩條劣弧相等，根據(jù)垂徑定理的推論，只要過(guò)點(diǎn)C作⊙O的直徑，即過(guò)AB的中點(diǎn)，即可平分△ABC的面積。第（2）問(wèn)涉及的概念較多，如圖3，首先根據(jù)切線的定義，連接DO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E，由DE⊥l，可知DE⊥AB ，根據(jù)垂徑定理，可得E為AB的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)C、E作弦CF即可平分△ABC的面積。

作為一道中檔題，本題測(cè)試的得分率卻不高。究其原因，是“圓”這一部分圖形概念較多（如弦、直徑、弧、等弧、圓心角、圓周角、切線等），且是圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)（如弦、直徑、弧、等弧是垂徑定理及其推論的基礎(chǔ)等）;學(xué)生對(duì)相關(guān)概念，往往能再認(rèn)，卻不能主動(dòng)提取再現(xiàn)，換言之，即對(duì)相關(guān)概念的理解還不夠深刻。比如，部分學(xué)生畫出的是直線，表明對(duì)“弦”這一概念的認(rèn)識(shí)有偏差。而在練后反思階段，讓學(xué)生在小組內(nèi)將此題說(shuō)給同伴聽，不少學(xué)生邊說(shuō)邊悟，發(fā)現(xiàn)自身在概念理解上存在較大的漏洞，很快找到了問(wèn)題的癥結(jié)所在，加深了對(duì)概念的理解。

（二）歸納概括——提升對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)

作為解題教學(xué)的一種形式，學(xué)生說(shuō)題的主要目的除了鞏固、強(qiáng)化相關(guān)概念等知識(shí)之外，更重要的是學(xué)會(huì)解題。為此，學(xué)生在說(shuō)題時(shí)，要學(xué)會(huì)歸納概括，提升對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而掌握基本題型，以不變應(yīng)萬(wàn)變，解決一類問(wèn)題。而這一過(guò)程，實(shí)際上也是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程。

例2（2019年江蘇省南通市中考題）已知：二次函數(shù)y=x2-4x+3a+2（a為常數(shù)）。

（1）請(qǐng)寫出該二次函數(shù)圖像的三條性質(zhì);

（2）在同一直角坐標(biāo)系中，若該二次函數(shù)的圖像在x≤4的部分與一次函數(shù)y=2x-1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍。

本題的說(shuō)題重點(diǎn)如下：

作為一道函數(shù)綜合題，本題從二次函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)圖像的位置關(guān)系（交點(diǎn)問(wèn)題）。第（1）問(wèn)相對(duì)簡(jiǎn)單，可以結(jié)合二次函數(shù)的增減性、最值等回答，如：當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)x=2時(shí)，y取最小值3a-2。第（2）問(wèn)考查二次函數(shù)與一次函數(shù)圖像的位置關(guān)系，即考查二者解析式聯(lián)立的方程組解的情況，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況，這里也就是（常數(shù)項(xiàng)）含參數(shù)的一元二次方程（即x2-4x+3a+2=2x-1，即x2-6x+3a+3=0）在一定的范圍內(nèi)（即x≤4）根的情況，而這類題目是有一般的解法（結(jié)論）的。具體到本題，由于x2-6x+3a+3=0在x≤4時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可知Δ=36-4（3a+3）>0且x=4時(shí)x2-6x+3a+3≥0，解得a<2且a≥53，即a的取值范圍為53≤a<2。

可見，在本題的說(shuō)題中，要學(xué)會(huì)歸納概括，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，即含參數(shù)的一元二次方程根的情況，也即含參數(shù)的二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的情況，從而運(yùn)用這類問(wèn)題的一般解法，即讓函數(shù)圖像動(dòng)起來(lái)，發(fā)現(xiàn)與交點(diǎn)情況相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)（可讓學(xué)生研究得到一般結(jié)論），解決本題（乃至更多的題目）。

（三）條分縷析——促進(jìn)對(duì)解題規(guī)律的感悟

學(xué)生說(shuō)題，尤其是說(shuō)比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，還要學(xué)會(huì)條分縷析：先追本溯源，理順條件與結(jié)論之間的關(guān)系;再化繁為簡(jiǎn)，抓住解題的關(guān)鍵，自然生成解題的策略。這可以促使學(xué)生充分感悟解題規(guī)律，提煉獲取可遷移的解題思想與經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力。這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)可能有一定的難度——他們常常說(shuō)不清思路是怎么來(lái)的。而這一過(guò)程實(shí)際上同樣是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程。

例3（2012年四川省攀枝花市中考題改編）如圖4，在形狀和大小不確定的△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，點(diǎn)Q在CE上且BQ平分∠CBP，設(shè)BP=y，PE=x。

（1）當(dāng)CQ=12CE時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）當(dāng)CQ=13CE時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（3）當(dāng)CQ=1nCE（n為不小于2的常數(shù)）時(shí)，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

本題的說(shuō)題重點(diǎn)如下：

作為一道幾何圖形中數(shù)量關(guān)系的探索題，本題條件比較繁雜，分析起來(lái)有一定的難度;而設(shè)問(wèn)結(jié)論做出了從特殊到一般的鋪墊，在一定程度上降低了難度。對(duì)此，首先可以理清各個(gè)條件之間的關(guān)系，看看解題的關(guān)鍵在哪里。將各個(gè)條件聯(lián)系起來(lái)看，不難發(fā)現(xiàn)：首先是△ABC，BC=6，點(diǎn)A不確定，這可能最終導(dǎo)致y與x的變化;然后是中位線EF，顯然EF∥BC且EF=3，EF的位置隨著點(diǎn)A變化而變化;接著是BP、CE、BQ三條線段及P、D、Q三個(gè)新增點(diǎn)，盡管根據(jù)先給出的條件會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P、D是不受點(diǎn)A控制的動(dòng)點(diǎn)，但是，看到后給出的條件則會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q是線段CE的等分點(diǎn)，是受點(diǎn)A控制的動(dòng)點(diǎn)，而點(diǎn)P、D使BQ平分∠CBP，是受點(diǎn)Q控制的動(dòng)點(diǎn)，也就是受點(diǎn)A控制的動(dòng)點(diǎn)。這樣就基本理順了問(wèn)題的來(lái)龍去脈，點(diǎn)A的變化最終導(dǎo)致y與x的變化，而決定y與x關(guān)系的可能主要是點(diǎn)Q為線段CE的等分點(diǎn)，BQ平分∠CBP，EF∥BC。這樣就出現(xiàn)了“分線段成比例+角平分線+平行線”的基本圖形，從而不難想到構(gòu)造“8字型”和等腰三角形，利用平行線分線段成比例定理（或相似三角形性質(zhì)）和等腰三角形性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。具體來(lái)說(shuō)，即延長(zhǎng)BQ，交射線EF于點(diǎn)G（如圖5），則有EGBC=EQQC，BP=GP，所以x+y=EG=EQQC·BC。由此，所有小問(wèn)均迎刃而解，答案分別為y=-x+6，y=-x+12，y=-x+6（n-1）。

可見，在本題的說(shuō)題中，要學(xué)會(huì)條分縷析，自然生成解題的策略，即由三角形中位線（平行線）的大背景以及三個(gè)新增點(diǎn)之間的決定關(guān)系，聚焦到“分線段成比例+角平分線+平行線”的基本圖形，構(gòu)造“8字型”和等腰三角形……從而感悟一般的解題規(guī)律，即抓住基本圖形，尋找變中不變。

總之，學(xué)生說(shuō)題的表現(xiàn)形式是“解說(shuō)”，內(nèi)在實(shí)質(zhì)是“促思”。說(shuō)題項(xiàng)目的開展，可以有效改善數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)生態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生從紛繁復(fù)雜的各類問(wèn)題（信息）中抽絲剝繭，抓住本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，錘煉抽象思維，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

*本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期立項(xiàng)課題“農(nóng)村初中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培塑的實(shí)踐研究”（編號(hào)：2019JK13L170）、江蘇省第五期“333工程”科研資助立項(xiàng)項(xiàng)目“數(shù)學(xué)‘深度學(xué)習(xí)教學(xué)改進(jìn)項(xiàng)目實(shí)踐研究”（編號(hào)：BRA2020203）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] G.波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.