線性斜積半流非一致指數(shù)膨脹性的Datko-Pazy型定理

岳田 宋曉秋

摘要：主要目的是基于Lyapunov范數(shù)研究Banach空間中線性斜積半流的非一致指數(shù)膨脹性.借助Datko-Pazy方法，得到了線性斜積半流滿足非一致指數(shù)膨脹的若干連續(xù)與離散形式的充要條件.所得結(jié)果推廣和完善了指數(shù)穩(wěn)定性與指數(shù)二分性理論中的一些已有結(jié)果（如Datko、Pazy、Preda等）.作為應用，運用所得到的主要結(jié)果研究了線性斜積半流的非一致指數(shù)二分性.

關(guān)鍵詞：線性斜積半流;非一致指數(shù)膨脹性;非一致指數(shù)二分性;Datko-Pazy型定理

中圖分類號：O175.24

文獻標志碼：A

文章編號：1000-5641（2020）06-0030-08

0引言

眾所周知，近年來關(guān)于微分系統(tǒng)定性理論的研究取得了突破性的進展，尤其是在指數(shù)漸近行為方面（指數(shù)穩(wěn)定、指數(shù)膨脹、指數(shù)二分、指數(shù)三分），自Datko與Pazy建立了Datko-Pazy型定理后，大量公開問題的解決使得相關(guān)理論被不斷拓展和完善.區(qū)別于指數(shù)穩(wěn)定性與指數(shù)二分性，關(guān)于發(fā)展方程的指數(shù)膨脹性問題獲得了極大的關(guān)注，已經(jīng)成為微分動力系統(tǒng)漸近行為分析的一個重要分支.2010年，Barreira與Valls通過定義合適的范數(shù)（又稱Lyapunov范數(shù)），討論了演化過程非一致指數(shù)穩(wěn)定性與容許性之間的聯(lián)系.此后，通過Lyapunov范數(shù)來獲取非一致指數(shù)漸近行為成為一種有力的技術(shù)手段，如文獻[8]針對具有非一致指數(shù)增長的演化族，研究了其非一致指數(shù)穩(wěn)定性與函數(shù)空間對（L^p（X），L^q）的容許性之間的聯(lián)系，獲得了刻畫非一致指數(shù)穩(wěn)定的Perron型結(jié)論.

在無限維空間中討論由自治微分方程所生成的動力系統(tǒng)的不變流形的線性化問題時，會經(jīng)常使用（半）流上的上閉鏈這個概念，如經(jīng)典的Navier-Stokes、Taylor-Couette、Bubnov-Galerkin方程都可用半流上的上閉鏈作為漸近化模型.故作為單參數(shù)算子半群、演化族（演化算子）、演化過程的推廣，由半流和上閉鏈構(gòu)成的線性斜積（半）流，是動力系統(tǒng)漸近行為分析方面的一類重要工具，如文獻[9]借助穩(wěn)定性理論中的Datko-Pazy型方法，討論了斜積半流一致指數(shù)穩(wěn)定的特征，建立了其一致指數(shù)穩(wěn)定的若干充要條件;文獻[10]基于Lyapunov范數(shù)通過選取合適的測試函數(shù)，得到了線性斜積半流非一致指數(shù)二分性的容許性刻畫.值得一提的是，文獻[11]與文獻[12]基于Lyapunov范數(shù)將Datko-Pazy相關(guān)經(jīng)典結(jié)論擴展到了線性斜積半流，并分別給出了其非一致指數(shù)穩(wěn)定與非一致指數(shù)二分的Datko型條件的連續(xù)型刻畫.下面給出本文所需使用的一些符號、概念以及注記.