欠驅(qū)動(dòng)雙擺吊車(chē)滑模控制研究

王 杰，強(qiáng)寶民，何禎鑫，杜文正

(火箭軍工程大學(xué)， 西安 710025)

橋吊作為一種常見(jiàn)的欠驅(qū)動(dòng)設(shè)備，在工業(yè)生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。直觀地講，所謂欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，是指系統(tǒng)的控制輸入變量個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)自由度的一類(lèi)非線性系統(tǒng)，在生產(chǎn)實(shí)踐中很多設(shè)備都具有欠驅(qū)動(dòng)的形式，由于去掉系統(tǒng)部分驅(qū)動(dòng)器，增加了系統(tǒng)自由度，提高了系統(tǒng)靈活性，使得欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在節(jié)約能源、降低價(jià)格、增強(qiáng)系統(tǒng)適應(yīng)性等方面都比全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)越。對(duì)于橋吊系統(tǒng)而言，其工作效率取決于負(fù)載的消擺時(shí)間，在橋吊系統(tǒng)中，由于非直接控制的擺動(dòng)自由度的存在，使得其動(dòng)力學(xué)特性與耦合性相比全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)更為復(fù)雜，給系統(tǒng)的穩(wěn)定控制帶來(lái)了難度。橋吊負(fù)載的殘余擺動(dòng)一方面會(huì)延長(zhǎng)操作時(shí)間，降低工作效率，另一方面會(huì)造成落吊困難。在一般情況下負(fù)載擺動(dòng)呈現(xiàn)單擺特性，當(dāng)?shù)蹉^質(zhì)量相比負(fù)載質(zhì)量不可忽略時(shí)負(fù)載相對(duì)吊鉤會(huì)產(chǎn)生第二級(jí)擺動(dòng)，此時(shí)橋吊系統(tǒng)呈現(xiàn)出雙擺特性。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)橋吊系統(tǒng)的控制問(wèn)題開(kāi)展了很多研究工作，但大多針對(duì)單級(jí)擺動(dòng)。主要控制模式分為開(kāi)環(huán)和閉環(huán)控制，具體而言，主要控制方法有輸入整形[1]、LQR[2]、PID[3]、部分反饋線性化[4]、輸出反饋控制[5]、能量方法[6]、分級(jí)控制[7]以及智能控制[8]等等；當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生雙擺效應(yīng)時(shí)，橋吊系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)不同的固有頻率，且與負(fù)載質(zhì)量及重心配置等因素相關(guān)，使得擺動(dòng)特性更為復(fù)雜。一方面?zhèn)鹘y(tǒng)針對(duì)單級(jí)擺的控制方法控制性能會(huì)大大下降。另一方面，以上控制方法在理想條件下均能夠取得很好的控制效果，但是在工業(yè)生產(chǎn)中，由于大量的外界擾動(dòng)、參數(shù)攝動(dòng)以及風(fēng)載荷、摩擦力的存在，采用傳統(tǒng)的控制方法無(wú)法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及對(duì)干擾的魯棒性?；？刂齐`屬于變結(jié)構(gòu)控制(Variable Structure Control,VSC)，滑模控制與其他控制方法最大的區(qū)別在于其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有時(shí)變的特點(diǎn)，處于動(dòng)態(tài)過(guò)程的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，根據(jù)當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)(如誤差，誤差變化率等)有目的地進(jìn)行變化，迫使系統(tǒng)按照設(shè)計(jì)的“滑動(dòng)模態(tài)”狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)[9]。由于滑動(dòng)模態(tài)可以根據(jù)控制目的進(jìn)行設(shè)計(jì)且與對(duì)象參數(shù)以及外界擾動(dòng)無(wú)關(guān)[10-11]，使得滑?？刂圃谙到y(tǒng)穩(wěn)定性、對(duì)干擾的魯棒性等方面有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)以及不確定系統(tǒng)的控制研究。

本文針對(duì)一類(lèi)雙擺吊車(chē)系統(tǒng)的消擺控制問(wèn)題，采用耦合線性滑?？刂品椒?Coupling Conventional sliding mode control,CSMC)；并改進(jìn)等速趨近律得到一種非線性趨近規(guī)律，能夠大大削弱抖振現(xiàn)象；針對(duì)不同工況條件進(jìn)行了仿真分析；模擬外界干擾進(jìn)行了魯棒性測(cè)試。研究表明，本文基于非線性趨近律的耦合線性控制方法能夠在干擾存在以及不同工況條件下取得良好的控制效果。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立

如圖1所示為橋吊模型。在大多數(shù)工況下，“臺(tái)車(chē)-吊繩-負(fù)載系統(tǒng)”質(zhì)量集中于臺(tái)車(chē)和負(fù)載之上，一方面吊鉤遠(yuǎn)小于負(fù)載質(zhì)量；另一方面二級(jí)吊繩長(zhǎng)度一般忽略不計(jì)，此時(shí)系統(tǒng)便只會(huì)呈現(xiàn)單擺動(dòng)力學(xué)特性。當(dāng)實(shí)際工況的系統(tǒng)模型配置不滿(mǎn)足以上假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生如圖2所示雙擺特性?？紤]臺(tái)車(chē)與軌道的摩擦力，根據(jù)歐拉-拉格朗日法建立雙擺系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型[12]如下：

(1)

(2)

m3gl2Sθ=0

(3)

其中：m1,m2,m3為臺(tái)車(chē)、吊鉤、負(fù)載質(zhì)量；l1,l2為一級(jí)、二級(jí)吊繩長(zhǎng)度；φ,θ為吊繩相對(duì)鉛垂方向的偏角；C,S代表余弦和正弦函數(shù)；b為摩擦阻力系數(shù)；U為控制輸入。

圖1 雙擺橋吊模型

為方便進(jìn)行仿真操作，將上式寫(xiě)成矩陣形式：

(4)

2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

針對(duì)式(1)～式(3)橋吊系統(tǒng)，取欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)為q=[x,φ,θ]Τ，根據(jù)系統(tǒng)控制要求，得系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)為qd=[xd,0,0]Τ。定義位置誤差：e=x-xd，設(shè)計(jì)雙擺吊車(chē)系統(tǒng)耦合滑模面：

(5)

其中，λ,α,β為控制器參數(shù)。

求取系統(tǒng)滑模面函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

(6)

設(shè)系統(tǒng)控制量為：

u=ueq+usw

(7)

利用等效控制原理，將式(1)代入式(6)得等效控制量：

(8)

為了獲得整個(gè)系統(tǒng)的控制輸入量，需要確定切換控制部分，且切換控制量usw的選取應(yīng)使如下所示的滑模到達(dá)條件成立：

(9)

利用等速趨近律求解滑?？刂破鞯那袚Q控制量，即

(10)

其中，ε為嚴(yán)格正實(shí)數(shù)。

將式(1)、式(7)、式(8)代入式(10)得：

usw=-εsgn(S)

(11)

進(jìn)而求得基于等速趨近律的傳統(tǒng)滑模控制器總輸入：

(12)

為進(jìn)一步削弱系統(tǒng)狀態(tài)高頻切換引起的抖振現(xiàn)象，采用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)：

(13)

其中，Δ為邊界層厚度。

本文在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上提出了式(14)所示非線性趨近律：

(14)

其中，k,ε為正實(shí)數(shù)，p為介于[0,1]區(qū)間的正實(shí)數(shù)，γ為正實(shí)數(shù)，χ為正整數(shù)。由式(14)求得：

(15)

其中，Q(S′)=p+(1-p)exp(-γ|S′|χ)>0。

式(15)表明滑模到達(dá)條件式(9)成立，因此整個(gè)控制系統(tǒng)處于穩(wěn)定可控狀態(tài)。此時(shí)系統(tǒng)控制輸入為:

(16)

3 穩(wěn)定性分析

定理對(duì)于二維定繩長(zhǎng)雙擺吊車(chē)系統(tǒng)，若采用式(5)所示設(shè)計(jì)線性滑模面，并采用式(16)所示總滑模控制量，則整個(gè)橋式起重機(jī)系統(tǒng)的滑模面是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明：構(gòu)造Lyapunov能量函數(shù)

(17)

(18)

由式(14)可知，ε<ε/Q(S′)<ε/p，故式(18)可化簡(jiǎn)得

(19)

對(duì)式(19)積分運(yùn)算可得

(20)

代入式(17)進(jìn)而有

(21)

V(0)<∝

(22)

為進(jìn)一步確定滑?？刂破鲄?shù)的取值范圍，需將式(1)～式(3)雙擺系統(tǒng)寫(xiě)成狀態(tài)空間的形式。根據(jù)式(6)滑模到達(dá)充分條件得

(23)

將式(23)代入式(2)、式(3)得

(24)

(25)

雙擺橋吊系統(tǒng)狀態(tài)可記為

將式(23)～式(25)寫(xiě)成狀態(tài)空間形式如下

(26)

其中，P(m),R(n),Q如下所示

(27)

(28)

Q=βu6+αu4+λu2

(29)

通過(guò)對(duì)平衡點(diǎn)附近的狀態(tài)空間系統(tǒng)進(jìn)行線性化，可以得到一個(gè)線性系統(tǒng)如式(29)所示，其雅可比矩陣如式(30)所示

(30)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，原系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的必要條件是線性化后的系統(tǒng)(29)是穩(wěn)定的[15]，即其系統(tǒng)矩陣H為Hurwitz矩陣，此時(shí)要求

λ>0,α>0,β<0

(31)

綜上，采用式(16)所示滑模面，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且此時(shí)要求滿(mǎn)足式(31)的參數(shù)要求。

4 仿真分析

為進(jìn)一步分析本文橋吊防擺控制方法的有效性，本文采用Matlab/Simulink進(jìn)行數(shù)值仿真試驗(yàn)驗(yàn)證。將本文控制方法與分層滑?？刂品椒▽?duì)比分析收斂情況；分析各種控制方法到達(dá)滑模狀態(tài)所需時(shí)間；最后對(duì)系統(tǒng)對(duì)干擾的魯棒性進(jìn)行試驗(yàn)分析。

仿真試驗(yàn)取臺(tái)車(chē)預(yù)期位置為4 m，橋吊系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為：臺(tái)車(chē)、吊鉤、負(fù)載質(zhì)量m1,m2,m3為30 kg，10 kg，2.5 kg，一二級(jí)吊繩l1,l2為3 m，0.3 m。控制器參數(shù)見(jiàn)表1、表2。

表1 改進(jìn)趨近律參數(shù)

表2 滑模控制器參數(shù)

針對(duì)滑?？刂破魅鐖D2(a)所示高頻抖振問(wèn)題，本文利用式(14)改進(jìn)趨近率仿真結(jié)果如圖2(b)所示，可見(jiàn)改進(jìn)非線性趨近律能夠有效削弱系統(tǒng)抖振現(xiàn)象，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。

采用本文線性耦合滑模控制方法，對(duì)比分層滑模(Hierarchical sliding mode,HSMC)，圖3之橋吊系統(tǒng)響應(yīng)曲線顯示CSMC較HSMC方法系統(tǒng)狀態(tài)波動(dòng)范圍小，不會(huì)造成負(fù)載發(fā)生大幅擺動(dòng)，安全性較高；如圖4相平面圖仿真結(jié)果顯示，兩種控制方法均能夠在有限時(shí)間內(nèi)完成狀態(tài)收斂；本文提出的線性滑?？刂破髂軌蛟谳^短的時(shí)間內(nèi)完成系統(tǒng)狀態(tài)收斂，系統(tǒng)狀態(tài)過(guò)度平緩，不會(huì)造成臺(tái)車(chē)控制力矩突變或大幅切換的現(xiàn)象，系統(tǒng)平順性較好；采用PID控制方法系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖5所示，該控制方法雖能夠控制臺(tái)車(chē)準(zhǔn)確定位，但一級(jí)擺角收斂時(shí)間較長(zhǎng)，無(wú)法消除二級(jí)擺殘余擺動(dòng)，實(shí)際工程運(yùn)用效果欠佳。三種控制方法系統(tǒng)收斂時(shí)間見(jiàn)圖6所示。

圖2 滑?？刂戚斎肭€

圖3 橋吊系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)相圖

圖5 基于PID控制橋吊系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖6 系統(tǒng)狀態(tài)收斂時(shí)間

對(duì)兩種滑模控制方法的滑模面進(jìn)行仿真分析如圖7所示，線性滑模面能夠在2 s內(nèi)到達(dá)滑模狀態(tài)，且不會(huì)產(chǎn)生大幅抖振現(xiàn)象；分層滑模控制器第二層滑模面能夠在0.2 s內(nèi)到達(dá)滑模狀態(tài)，但第一層滑模面仍處于趨近狀態(tài)，且此時(shí)第二層滑模面有較為明顯的抖振現(xiàn)象。

圖7 控制器滑模面

對(duì)于不同工況條件下負(fù)載質(zhì)量不一，第二級(jí)吊繩長(zhǎng)度小范圍變動(dòng)的情況，進(jìn)行仿真分析得到如圖8所示，仿真結(jié)果表明本文控制方法對(duì)不確定系統(tǒng)同樣適用，圖8(a)、圖8(b)仿真結(jié)果顯示，在吊繩長(zhǎng)度變化情況下以及負(fù)載質(zhì)量不一的情況下，臺(tái)車(chē)定位能力與消擺能力穩(wěn)定且有極強(qiáng)的魯棒性能?？梢?jiàn)本文提出的線性滑模控制方法在不同工況條件下均有良好的適應(yīng)性。

在大多數(shù)工業(yè)轉(zhuǎn)運(yùn)場(chǎng)合中，一級(jí)吊繩長(zhǎng)度一般為定值，二級(jí)吊繩長(zhǎng)度會(huì)因貨物尺寸、外型而會(huì)產(chǎn)生較大變化。因此本文僅考慮二級(jí)吊繩的長(zhǎng)度變化問(wèn)題。

在系統(tǒng)魯棒性測(cè)試中，對(duì)于橋式起重機(jī)復(fù)雜的工況條件，本文在11～12 s采用高斯噪聲對(duì)臺(tái)車(chē)運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行干擾，模擬運(yùn)行中出現(xiàn)的啃軌現(xiàn)象；在15～16 s對(duì)負(fù)載擺角采用正弦信號(hào)模擬短時(shí)強(qiáng)風(fēng)的影響。兩種干擾信號(hào)定義如下：

(32)

dt2=Bsin(t)

(33)

仿真試驗(yàn)取噪聲信號(hào)幅值A(chǔ)=1.5，B=1.5,參數(shù)ci=11.5，bi=0.3，得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖9所示。

仿真結(jié)果表明，本文線性滑?？刂品椒ㄔ诮鉀Q欠驅(qū)動(dòng)橋吊系統(tǒng)的防擺控制問(wèn)題時(shí)，在短時(shí)間內(nèi)讓系統(tǒng)重回穩(wěn)定狀態(tài)，能夠快速消除外界干擾和系統(tǒng)不確定性的影響，對(duì)外界各種形式的干擾有較強(qiáng)的魯棒性。

圖8 不同工況系統(tǒng)響應(yīng)

圖9 系統(tǒng)魯棒性測(cè)試

5 結(jié)論

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)橋吊系統(tǒng)的控制問(wèn)題，分析了現(xiàn)有滑?？刂品椒ù嬖诘母哳l抖振問(wèn)題，利用改進(jìn)趨近規(guī)律的滑?？刂品椒ㄏ魅趿讼到y(tǒng)抖振；利用線性滑模完成了欠驅(qū)動(dòng)雙擺吊車(chē)的消擺控制問(wèn)題，與分層滑模以及PID控制對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文控制方法的消擺快速性、系統(tǒng)穩(wěn)定性以及控制安全性；在魯棒性分析中通過(guò)模擬兩種外界干擾信號(hào)，驗(yàn)證了系統(tǒng)對(duì)外界干擾的魯棒性。