數(shù)學(xué)分析習(xí)題教學(xué)的探究與反思

張 婧

（伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 新疆·伊寧 835000）

數(shù)學(xué)分析課程是以實(shí)數(shù)的連續(xù)性理論為基礎(chǔ)，以極限為主要工具，定量或定性地研究函數(shù)及其性質(zhì)的一門數(shù)學(xué)課程。通過(guò)數(shù)學(xué)分析的教學(xué)能使學(xué)生獲得極限論、一元、多元函數(shù)微積分學(xué)與無(wú)窮級(jí)數(shù)等方面的系統(tǒng)知識(shí)，為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課程所必須的基本理論、基本方法、基本技能，對(duì)于學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力、獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力、以及自學(xué)能力、創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)起舉足輕重的作用。此外，數(shù)學(xué)分析課程的知識(shí)與中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容聯(lián)系非常緊密，通過(guò)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生將中學(xué)知識(shí)完全消化，并弄清各類知識(shí)的來(lái)龍去脈和歷史淵源，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到高屋建瓴的作用。

數(shù)學(xué)習(xí)題對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)實(shí)現(xiàn)課程的整體教學(xué)目標(biāo)都是至關(guān)重要的，而數(shù)學(xué)分析習(xí)題課建設(shè)已成為數(shù)學(xué)分析教學(xué)研究與改革的重要內(nèi)容。通過(guò)習(xí)題的設(shè)計(jì)與探討，不僅能讓學(xué)生鞏固、深化所學(xué)內(nèi)容，梳理知識(shí)脈絡(luò)，完善知識(shí)體系，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種思維，一種方法，培養(yǎng)一種習(xí)慣和一種解決問(wèn)題的能力。然而要想真正的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用意識(shí)，僅僅依靠給學(xué)生灌輸知識(shí)點(diǎn)讓學(xué)生大量練習(xí)是達(dá)不到目的的。最重要的是教師要探索出一個(gè)科學(xué)合理的習(xí)題課教學(xué)模式，在教學(xué)活動(dòng)中通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自主思考、探索，逐漸培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考與解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)。作者根據(jù)十幾年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及教學(xué)反思，對(duì)數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)談幾點(diǎn)體會(huì)和認(rèn)識(shí)。

1 習(xí)題教學(xué)要注重滲透思想方法

數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中體現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)思想和方法，教師可以通過(guò)習(xí)題的講解與演練，將內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想提升出來(lái)，指導(dǎo)學(xué)生掌握基本的或典型的數(shù)學(xué)方法。

例如在講解極限理論時(shí)，通過(guò)一些典型習(xí)題讓學(xué)生理解有限與無(wú)限的差異。清楚從有限到無(wú)限，是認(rèn)識(shí)上的一次重大飛躍。這種質(zhì)的差異表現(xiàn)在有限量之間的關(guān)系對(duì)無(wú)限量不再保持。如當(dāng)x為有限數(shù)時(shí)，x+1≠x，但當(dāng)x為無(wú)窮大時(shí)，x+1=x（∞+1仍為無(wú)窮大）。

在極限問(wèn)題中，有一些比較典型的解題方法，可以通過(guò)習(xí)題讓學(xué)生理解掌握。

2 習(xí)題教學(xué)要注重層次性

數(shù)學(xué)對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的編排是嚴(yán)格遵循著螺旋上升原則的。是根據(jù)相關(guān)教育教學(xué)理論基礎(chǔ)，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律進(jìn)行編排的。這就使得看似復(fù)雜毫無(wú)章法的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的建立，實(shí)際上是由淺入深，循序漸進(jìn)的。這種對(duì)知識(shí)點(diǎn)的編排方式能使學(xué)生對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)逐步深入理解。并且隨著學(xué)生認(rèn)知水平的不斷發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的理解就更為精確。因此，教師在進(jìn)行習(xí)題選擇時(shí)也要注重習(xí)題的層次，對(duì)習(xí)題做精細(xì)安排。從對(duì)知識(shí)概念理解的考察到簡(jiǎn)單的基本題目再到拓展題目甚至是開(kāi)放題，這樣一步一步的深化知識(shí)，讓學(xué)生由淺入深、逐層遞進(jìn)，逐漸加強(qiáng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與強(qiáng)化。與此同時(shí)，教師還要引導(dǎo)學(xué)生做好習(xí)題的歸納與分類。題海戰(zhàn)術(shù)是不可取的，習(xí)題也是層出不窮，故此要做好習(xí)題的分類整理，確保以后碰到相似題型能夠有規(guī)律可循。例如，在講解關(guān)于多元函數(shù)可微與連續(xù)的關(guān)系的習(xí)題時(shí)，可以先回顧一些一元函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題。使學(xué)生充分理解從一元函數(shù)到多元函數(shù)，不僅僅是變量數(shù)量的增加，這個(gè)數(shù)量上的變化引起了質(zhì)的改變，使得多元函數(shù)的許多性質(zhì)與一元函數(shù)有本質(zhì)的不同。

3 習(xí)題教學(xué)要適當(dāng)補(bǔ)充拓展

在數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中，有些構(gòu)造性函數(shù)具有特殊性質(zhì)，在數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中起到了很重要的作用。例如Dirichlet函數(shù)及其推廣函數(shù)。這些函數(shù)對(duì)于澄清數(shù)學(xué)分析中很多模糊概念，起到了重要作用。例如在討論函數(shù)的最小正周期問(wèn)題時(shí)，學(xué)生所熟悉的三角函數(shù)通過(guò)中學(xué)學(xué)習(xí)的周期公式，很容易求出最小正周期。但對(duì)于是否所有函數(shù)都有最小正周期問(wèn)題，對(duì)于初學(xué)數(shù)學(xué)分析的同學(xué)們，雖然大家直覺(jué)判斷答案應(yīng)該是否定的，但如何準(zhǔn)確分析這一問(wèn)題還是存在困惑。而通過(guò)Dirichlet函數(shù)的定

4 習(xí)題教學(xué)強(qiáng)化錯(cuò)題反思

美國(guó)心理學(xué)家桑代克認(rèn)為嘗試錯(cuò)誤這一現(xiàn)象是一種普遍存在的，這也成為人類解決問(wèn)題的一種方式或途徑。但人類嘗試錯(cuò)誤決非盲目，通常是有目的的。在教學(xué)中，錯(cuò)誤往往可以暴露出學(xué)生對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)中的盲點(diǎn)與誤區(qū)，因而課堂和習(xí)題中的錯(cuò)誤很可能成為教學(xué)中的巨大財(cái)富。習(xí)題課上教師可以利用作業(yè)中的錯(cuò)題或者巧妙設(shè)計(jì)錯(cuò)例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極地思考、探究。例如在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo)運(yùn)算后，會(huì)遇到一些求導(dǎo)數(shù)值的題目，設(shè)的值。對(duì)于這個(gè)題目，很多同學(xué)會(huì)直接對(duì)求導(dǎo)，即，然后帶值計(jì)算。但是，由題設(shè)條件僅在 連續(xù)，不一定可導(dǎo)，因此不確定是否存在，這樣計(jì)算實(shí)際上是有問(wèn)題的。正確的解法是，由題設(shè)條件可知，于是根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義這道題雖然兩個(gè)解法結(jié)果恰巧一致，但是卻反映了學(xué)生對(duì)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)定義是否做到能夠深刻理解與應(yīng)用。教師對(duì)這些錯(cuò)例進(jìn)行分析與講解，不但有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)基本概念的理解和論證方法的掌握，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想。

5 習(xí)題教學(xué)要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性

在數(shù)學(xué)分析習(xí)題教學(xué)中教師應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)和思考的主動(dòng)性與積極性。改變陳舊的以老師主講學(xué)生記筆記的習(xí)題教學(xué)模式，采用以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的互動(dòng)式教學(xué)模式。在教學(xué)過(guò)程中，教師充當(dāng)導(dǎo)演的角色，指導(dǎo)每個(gè)學(xué)生在習(xí)題課上發(fā)揮他們的潛能。教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容在習(xí)題課前先讓學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容做出小結(jié)以及整理自己在課堂內(nèi)容及課后習(xí)題中的疑惑之處。教師可以通過(guò)學(xué)生所列疑問(wèn)點(diǎn)設(shè)計(jì)習(xí)題。在習(xí)題課上教師先讓學(xué)生以小組形式先進(jìn)行討論，然后每一小組選出代表在黑板上講解，必要時(shí)再由小組成員加以補(bǔ)充。教師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生討論發(fā)言，分析解題過(guò)程，總結(jié)解題方法，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生一題多解。教師可以將學(xué)生習(xí)題課表現(xiàn)和學(xué)生的平時(shí)成績(jī)結(jié)合起來(lái)，這樣不僅能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和能動(dòng)性，還有助于加強(qiáng)學(xué)生研究問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。

6 結(jié)束語(yǔ)

習(xí)題教學(xué)作為課堂教學(xué)的一種形式，是教學(xué)過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)。通過(guò)習(xí)題課教學(xué)不但能夠加深學(xué)生對(duì)基本概念和定理的認(rèn)識(shí)，啟發(fā)學(xué)生深入思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。如何充分發(fā)揮習(xí)題課在教學(xué)環(huán)節(jié)的重要作用，不斷提升數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)質(zhì)量，將是教師在今后教學(xué)實(shí)踐中仍需不斷探索和思考的重要課題。