高中生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)生成路徑探析

董 偉，朱立明，靳小玲

（唐山師范學(xué)院 教育學(xué)院，河北 唐山 063000）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》）明確提出高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面[1,p4]。其中，數(shù)學(xué)抽象居于首要地位。從詞源角度來看，“抽象”（abstraction）來自拉丁語“abtrahere”，其中“ab”是有“離開”之意，“trahere”有“拖、拉”之意。因此，抽象直觀的意義是把什么東西從什么地方拖出來，使之離開?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》將數(shù)學(xué)明確界定為“研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”，數(shù)學(xué)抽象的對象是圖形、數(shù)量及其關(guān)系，從現(xiàn)實(shí)世界的事物中抽取出數(shù)學(xué)的規(guī)律、結(jié)構(gòu)、概念、本質(zhì)，并用數(shù)學(xué)語言對之予以表征，它是一種數(shù)學(xué)思維過程，也是一種非常重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，人們的生活日益多元化，現(xiàn)代社會(huì)要求人們具有能適應(yīng)未來復(fù)雜多變的社會(huì)生活所必需的品格和關(guān)鍵能力，即核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)凝聚著科學(xué)的精神和理性的思維，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)契合了時(shí)代要求，而數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中最為重要的思維能力，它以獨(dú)特的方式認(rèn)識(shí)世界，是公民無論從事任何職業(yè)都不可缺少的基本素養(yǎng)。因此，如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)尤其是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，成為我們所關(guān)注的一個(gè)基礎(chǔ)教育焦點(diǎn)問題。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》明確了數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)形式，即獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。本文從這四個(gè)方面著手分別對其進(jìn)行解析，并提出相應(yīng)路徑，以期促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升。

1 通過情境創(chuàng)設(shè)，獲得數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)抽象的四個(gè)“表現(xiàn)”形式中處于首要地位。數(shù)學(xué)抽象實(shí)際上是通過對概念的解析構(gòu)建來獲得對事物本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)。有些一線教師為追求高考成績，節(jié)省課堂時(shí)間，只對數(shù)學(xué)概念做最簡單的講解說明，然后讓學(xué)生花大量的時(shí)間做應(yīng)用練習(xí)，這種教學(xué)模式，使得學(xué)生對概念的理解和應(yīng)用處于一種膚淺的層面，無法對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)起到應(yīng)有的作用。

數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)情境緊密相連，高中生雖然處于邏輯思維迅速發(fā)展的階段，但形象思維仍然發(fā)揮著重要作用，從具體形象的場景入手，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知的動(dòng)機(jī)，如教師可以帶一些氣球到課堂中，讓學(xué)生觀察吹氣球的過程，通過教師的引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：氣球半徑增加的速度與氣球內(nèi)空氣容量增加的速度成反比；進(jìn)而誘發(fā)學(xué)生思考：這種現(xiàn)象如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋呢？由此引入了變化率的相關(guān)知識(shí)。這就將數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活建立了關(guān)聯(lián)，這種生動(dòng)形象的情境創(chuàng)設(shè)，容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使他們更自主建立新舊知識(shí)之間的“統(tǒng)覺”聯(lián)系，喚起認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，或改變原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以同化或順應(yīng)當(dāng)前新知識(shí)，完成對事物本質(zhì)屬性即概念的清晰牢固的認(rèn)知與構(gòu)建。除此之外，引入其他學(xué)科的資源設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生從大量具體實(shí)例中抽象出一般的、概括性的知識(shí)，并嘗試讓學(xué)生用自己的語言去凝練總結(jié)共性的本質(zhì)的知識(shí)。這一通過親身操作獲得概念的過程，也是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到提升的過程。

數(shù)學(xué)規(guī)則包含數(shù)學(xué)的公理、定理、法則、公式，數(shù)學(xué)規(guī)則是數(shù)學(xué)命題的一部分，聯(lián)結(jié)著數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)問題解決。每一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)則都是通過對一個(gè)或者多個(gè)數(shù)學(xué)概念概括抽象獲得，例如三垂線定理、對數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)的求導(dǎo)公式，其中都包含了多個(gè)數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念在一定程度上是數(shù)學(xué)規(guī)則形成的基礎(chǔ)，從抽象程度來看，數(shù)學(xué)規(guī)則的抽象要遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)概念抽象程度高得多，它是對數(shù)學(xué)概念的一種形式化、符號化的提煉。學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)規(guī)則的過程中，需要理解數(shù)學(xué)家們所構(gòu)造的數(shù)學(xué)規(guī)則的結(jié)構(gòu)，對其中所包含的一些基本概念進(jìn)行還原，再根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行抽象重構(gòu)，因此，厘清數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，理解數(shù)學(xué)規(guī)則中各要素之間的關(guān)系及其運(yùn)作方式，對數(shù)學(xué)規(guī)則的獲得至關(guān)重要。

2 基于深度學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史源遠(yuǎn)流長，凝結(jié)了古往今來無數(shù)勞動(dòng)人民以及數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家的智慧。數(shù)學(xué)不僅以一種獨(dú)特的語言傳遞了客觀世界運(yùn)行的規(guī)則和定律，而且它兼具思想與智慧之美。數(shù)學(xué)思想“是對數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法的根本認(rèn)知，是對數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法進(jìn)一步的抽象和概括”[2]。通俗來說，數(shù)學(xué)思想是人們在長期認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)過提煉和升華而來的超越知識(shí)和形式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，它是數(shù)學(xué)的靈魂，具有廣泛的指導(dǎo)意義。數(shù)學(xué)思想能幫助我們在科學(xué)和日常生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。作為高中的基礎(chǔ)性學(xué)科，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)不能只定位于基本運(yùn)算公式和定理的掌握，還要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思維的感悟，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)從知識(shí)教學(xué)為本到以思想感悟?yàn)橐谋举|(zhì)性飛躍。

“數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯體系，更重要的是通過知識(shí)反映所包含的數(shù)學(xué)思想方法。”[3]如何實(shí)現(xiàn)從注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)本位的教學(xué)到注重?cái)?shù)學(xué)思想教學(xué)的跨越式發(fā)展，深度學(xué)習(xí)模式或?yàn)槲覀兲峁┝艘环N解決思路。郭元祥認(rèn)為深度學(xué)習(xí)是基于知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，以實(shí)際問題的解決和高階思維的發(fā)展為主要旨趣，為學(xué)科思想和意義系統(tǒng)的理解而學(xué)[4]，而數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是通過超越表層知識(shí)深挖知識(shí)背后思想的教學(xué)，學(xué)生在這種教學(xué)模式下，數(shù)學(xué)思想得到了浸潤，進(jìn)而提升了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯嚴(yán)密、高度關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，教師首先需要自己理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，尊重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)邏輯發(fā)展的連貫性，深入挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中蘊(yùn)藏的思想觀念。教師如何利用數(shù)學(xué)課堂揭示數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的思想方法，德國數(shù)學(xué)家克萊因提出可以從“高觀點(diǎn)”來講解數(shù)學(xué)知識(shí)，即用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法來指導(dǎo)初等或中等數(shù)學(xué)的教學(xué)，因?yàn)榍罢叩闹R(shí)結(jié)構(gòu)和邏輯性更為深厚，高中教師可以從高等數(shù)學(xué)中體會(huì)知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，站在一定高度審視數(shù)學(xué)教學(xué)，更容易把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，將抽象、晦澀的知識(shí)變得簡單易懂，有利于對學(xué)生思想高度的引導(dǎo)[5]。教師深厚的數(shù)學(xué)功底可以幫助學(xué)生開闊眼界，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)思想方式思考問題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

3 借助學(xué)科融合，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)本身是抽象的，數(shù)學(xué)知識(shí)是在對具體的現(xiàn)實(shí)原型進(jìn)行抽象之后而得來的，我們稱這個(gè)抽象過程為數(shù)學(xué)建模，也就是通常意義上的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。數(shù)學(xué)建模源于對現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象，換句話說，就是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題、用數(shù)學(xué)科學(xué)方法構(gòu)建模型解決現(xiàn)實(shí)問題的能力和素養(yǎng)[6]。在數(shù)學(xué)建模過程中，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建既會(huì)滲透數(shù)學(xué)學(xué)科多個(gè)模塊的知識(shí)，也會(huì)涉及跨學(xué)科的知識(shí)。事實(shí)上，大多數(shù)數(shù)學(xué)模型都以相應(yīng)學(xué)科背景為基礎(chǔ)而命名，如我們所熟悉的醫(yī)藥學(xué)中的專家診斷模型和疾病靶向模型，生物學(xué)中的基因復(fù)制模型和種群增長模型，地質(zhì)學(xué)中的地下水模型和板塊構(gòu)造模型，管理學(xué)中的人力資源模型和投入產(chǎn)出模型等等。在化學(xué)、物理學(xué)這些自然科學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用非常普遍。

學(xué)科融合的理念是在承認(rèn)學(xué)科之間存在差異的前提下，強(qiáng)調(diào)學(xué)科之間的相互融合、滲透和交叉，使課程內(nèi)容跨越學(xué)科之間的界限，最大程度體現(xiàn)知識(shí)的全貌。如對邏輯推理和定量分析能力要求較高的高中物理，與數(shù)學(xué)有高度的相似性，很多物理問題都需要借助數(shù)學(xué)知識(shí)來解答，教師在教學(xué)實(shí)踐中要注意融合數(shù)學(xué)知識(shí)和物理知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生有意識(shí)地用數(shù)學(xué)模型去解決常見的物理問題。學(xué)科融合還應(yīng)避免簡單拼湊不同學(xué)科知識(shí)的傾向，要以解決問題為根本取向，把相關(guān)學(xué)科知識(shí)有機(jī)地組織在一起。這對教師提出了高要求，教師在日常生活中要注意多涉獵不同學(xué)科門類的知識(shí)，養(yǎng)成跨學(xué)科思維的方法和能力，不斷培養(yǎng)學(xué)生基于學(xué)科融合的視角認(rèn)知事物并探究問題的能力。

4 應(yīng)用建構(gòu)理論，內(nèi)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

布爾巴基學(xué)派是一個(gè)數(shù)學(xué)家群體，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上有巨大的影響力，他們最先引進(jìn)了“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”這一概念，認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，數(shù)學(xué)的各種理論之間的關(guān)系是可以系統(tǒng)化的，數(shù)學(xué)各分支應(yīng)按結(jié)構(gòu)性質(zhì)來劃分，他們首次提出數(shù)學(xué)是由序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)組成的觀點(diǎn)。與其他數(shù)學(xué)派別相比，布爾巴基學(xué)派提出了一種嶄新的數(shù)學(xué)思想，即結(jié)構(gòu)主義思想。結(jié)構(gòu)主義思想對反映數(shù)學(xué)知識(shí)的整體脈絡(luò)及其內(nèi)部關(guān)聯(lián)起著重要的作用，引領(lǐng)了20 世紀(jì)30 年代以來數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。簡單來說，結(jié)構(gòu)就是全部核心知識(shí)相互關(guān)聯(lián)而構(gòu)成的整體體系[7]?！缎抡n標(biāo)（2017 版）》明確提出，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系是最高層次的抽象，這種抽象，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展、數(shù)學(xué)體系的建構(gòu)、完善等過程有進(jìn)一步深刻和清晰的認(rèn)知。高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系分為三個(gè)部分：（1）陳述性知識(shí)，比如概念、公理、性質(zhì)等方面；（2）結(jié)構(gòu)性內(nèi)容，數(shù)學(xué)是具有嚴(yán)密的邏輯性的，這就決定了數(shù)學(xué)知識(shí)不是雜亂無章的，是按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)構(gòu)成的條理清楚、層次分明的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)；（3）策略性內(nèi)容，即能提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、剖析和解決問題能力的內(nèi)容，如函數(shù)和方程的呈現(xiàn)，化歸和轉(zhuǎn)化的理念等。

如何讓這些由數(shù)學(xué)研究者和數(shù)學(xué)教材編撰者所搭建起來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系內(nèi)化到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，本文認(rèn)為依據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論可以很好地解決這一問題。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論流派認(rèn)為，學(xué)習(xí)是促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過程，而不是教師將知識(shí)簡單傳遞給學(xué)生的過程。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和思想的過程中，須經(jīng)過主動(dòng)感知、消化和改造，將新的內(nèi)容合理地納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，進(jìn)而自己建構(gòu)相較以往更加完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)源于數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，又高于數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有主觀能動(dòng)性、開放性、主體多層次性，是一種網(wǎng)狀知識(shí)結(jié)構(gòu)，它既包含底層知識(shí)，如概念、定理等，又包含中層知識(shí)，如解題方法，還包括高層次知識(shí)，如數(shù)學(xué)方法論、數(shù)學(xué)觀等[8]。個(gè)體的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榱己玫恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，必須要經(jīng)過學(xué)生主動(dòng)地對知識(shí)信息加工整理、分類概括。具體到課堂教學(xué)，教師要以學(xué)生為中心，可以采用“問題解決”的教學(xué)模式，具體程序?yàn)椋菏紫?，提出問題。引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而提出有障礙性和探索性的問題。其次，分析問題。采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)生討論交流，開展自主性探究活動(dòng)。再次，解決問題。教師引導(dǎo)學(xué)生實(shí)地解決問題。最后，認(rèn)知升華階段。教師引導(dǎo)學(xué)生對問題解決的全過程進(jìn)行總結(jié)分析提煉，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

5 結(jié)語

“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)模型表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！盵1,p2]這是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，而數(shù)學(xué)抽象就是觀察世界的眼睛，思考世界的大腦，表達(dá)世界的語言。教師應(yīng)經(jīng)由多種路徑，采取多種形式，提升高中生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。