類比教學(xué)法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

袁安鋒 魏宗紅

(1.北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)與交叉科學(xué)研究所 北京 100101；2.山東省莒縣陵陽(yáng)街道中心初中 山東日照 276521)

數(shù)學(xué)是一門研究事物數(shù)量關(guān)系等內(nèi)容的學(xué)科，是很多學(xué)科的基石，它在人類社會(huì)發(fā)展進(jìn)程中發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學(xué)由于具有抽象的特點(diǎn)，加上數(shù)學(xué)往往是從定義、定理到計(jì)算，與數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)定理的過(guò)程相反，導(dǎo)致有些學(xué)生接受起來(lái)有點(diǎn)困難，不明白為何而學(xué)習(xí)。因此，選擇學(xué)生容易接受的方式來(lái)進(jìn)行教學(xué)就非常有必要。人類對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)并非一蹴而就，而是要經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)知的螺旋式發(fā)展過(guò)程，類比教學(xué)法則集中體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。

一、類比教學(xué)法的定義和意義

類比教學(xué)法也稱類比遷移，是指人們?cè)谟龅揭粋€(gè)新問題的時(shí)候，首先與過(guò)去已經(jīng)解決的類似的問題進(jìn)行比較，用解決已有問題的方法去解決新問題。類比法是人們發(fā)現(xiàn)真理的一種重要方法，是一種推理方式，還是一種學(xué)習(xí)策略。數(shù)學(xué)上的類比是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類未知對(duì)象上的一種合情推理，它能夠解決一些看似復(fù)雜困難的問題。

類比教學(xué)法在數(shù)學(xué)教學(xué)中尤為重要。首先，類比教學(xué)法可以降低數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性，有利于學(xué)生接受。數(shù)學(xué)中有許多抽象的數(shù)學(xué)概念，尤其是大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，直接給出數(shù)學(xué)概念就比較突兀，而且非常抽象，學(xué)生往往不容易接受。類比就可以把這些抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為可以理解或形象化的知識(shí)，將一些新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，這樣學(xué)生能更好地理解和接受，可降低學(xué)習(xí)難度，消除學(xué)生內(nèi)心的畏難情緒。其次，類比教學(xué)法還有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力，鍛煉學(xué)生解決問題的能力。學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，還可以學(xué)會(huì)處理問題的能力和做人做事的基本道理。比較、分析、綜合推理等思維過(guò)程和形式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題的意識(shí)和能力有很大幫助。

二、類比教學(xué)法的具體應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的類比

在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中，也有很多可以類比的知識(shí)。“一元二次方程”章節(jié)中，將一元一次方程與一元二次方程進(jìn)行類比，首先比較這兩類方程的概念及一般形式，進(jìn)而找出兩類方程的差別：未知數(shù)的最高次數(shù)從一次變?yōu)榱硕?，這樣的學(xué)習(xí)方法不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還能深化學(xué)生的理解。講授“一元一次不等式”時(shí)，先復(fù)習(xí)一元一次方程和不等式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，就可以體會(huì)一元一次不等式的解法，通過(guò)類比感受其中的異同點(diǎn)，從而得到求一元一次不等式的解題方法。

高等數(shù)學(xué)[1]中也有很多可以類比的知識(shí)點(diǎn)。比如，一元函數(shù)微分學(xué)和二元函數(shù)微分學(xué)就可以進(jìn)行類比，二元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念和計(jì)算分別類比一元函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分。教師只需要講清楚區(qū)別就可以了。高等數(shù)學(xué)中涉及積分概念有七個(gè)：定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分。這些積分的概念大致相同，都可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”四步得到，區(qū)別就是積分區(qū)域或者積分區(qū)間不同。因此，學(xué)習(xí)后面6個(gè)概念時(shí)，就可以利用定積分的概念進(jìn)行類比，學(xué)生自主總結(jié)其他6種類型的積分概念，理解積分概念的本質(zhì)。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[2]課程中，離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量是兩類重要的隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量可以用分布律來(lái)描述，連續(xù)型隨機(jī)變量可以用概率密度函數(shù)來(lái)描述。表面上看這兩類隨機(jī)變量有很大的區(qū)別，實(shí)際上，兩者沒有質(zhì)的區(qū)別，兩者的聯(lián)系與區(qū)別主要在于求和與積分的聯(lián)系與區(qū)別。而積分本質(zhì)上是和式的極限。這樣，把兩者統(tǒng)一起來(lái)類比就容易了。

線性代數(shù)[3]中線性方程組的通解問題、高等數(shù)學(xué)中的一階線性微分方程的通解、高階線性微分方程的通解，這三類問題有一個(gè)共同的結(jié)論：非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解和本身的一個(gè)特解之和。教師在授課時(shí)可以進(jìn)行類比講授，加深學(xué)生的理解。

（二）數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與生活常識(shí)類比

線性代數(shù)課程中有一個(gè)非常重要的概念：極大線性無(wú)關(guān)組，學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)候感覺比較抽象。其實(shí)可以把這個(gè)向量組類比于一個(gè)小型后勤企業(yè)：假設(shè)張三可做水工和電工，李四可以做電工和木工，王五可以做水工。如果企業(yè)面臨裁員，問怎么裁員才會(huì)不影響公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn)（水、電、木工齊全）。顯然王五的工作可以被張三代替，王五可以被裁掉，留下張三和李四，但是張三和李四不能再裁員了。當(dāng)然也可以裁掉張三，留下李四和王五。這樣找極大線性無(wú)關(guān)組類似于裁掉可以被他人替代的人（對(duì)于向量），當(dāng)然由例子也知道極大線性無(wú)關(guān)組是不唯一的。

三、類比教學(xué)中的注意事項(xiàng)

最后需要強(qiáng)調(diào)的是，類比不是相同，學(xué)生有時(shí)會(huì)理解成相同的知識(shí)，或者學(xué)生把已學(xué)知識(shí)作為標(biāo)準(zhǔn)，負(fù)面遷移，進(jìn)而陷入學(xué)習(xí)誤區(qū)。針對(duì)這些可能出現(xiàn)的弊端，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別和聯(lián)系，正確引導(dǎo)學(xué)生，合理運(yùn)用類比，在教學(xué)中提高學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

總之，類比教學(xué)法能起到很好的效果，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科，類比可以降低內(nèi)容的抽象性，學(xué)生一旦養(yǎng)成了類比的習(xí)慣，掌握了一定的方法要領(lǐng)，思路就會(huì)變寬，思維就會(huì)變活躍，學(xué)生會(huì)終生受益。當(dāng)然，可以類比的知識(shí)點(diǎn)有很多，教師要多研究多思考，加強(qiáng)教學(xué)設(shè)計(jì)，提高執(zhí)教能力。